давление определяют как отношение силы f действующей на площадку s к
Элементы гидростатики
Основным отличием жидкостей от твердых (упругих) тел является способность легко изменять свою форму. Части жидкости могут свободно сдвигаться, скользя друг относительно друга. Поэтому жидкость принимает форму сосуда, в который она налита. В жидкость, как и в газообразную среду, можно погружать твердые тела. В отличие от газов жидкости практически несжимаемы.
На тело, погруженное в жидкость или газ, действуют силы, распределенные по поверхности тела. Для описания таких распределенных сил вводится новая физическая величина – давление.
Давление определяется как отношение модуля силы действующей перпендикулярно поверхности, к площади S этой поверхности:
В системе СИ давление измеряется в паскалях (Па):
Часто используются внесистемные единицы: нормальная атмосфера (атм) и миллиметр ртутного столба (мм Hg):
1 атм = 101325 Па = 760 мм Hg. |
Французский ученый Блез Паскаль в середине XVII века эмпирически установил закон, названный законом Паскаля:
Давление в жидкости или газе передается во всех направлениях одинаково и не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.
Для иллюстрации закона Паскаля на рис. 1.15.1 изображена небольшая прямоугольная призма, погруженная в жидкость. Если предположить, что плотность материала призмы равна плотности жидкости, то призма должна находиться в жидкости в состоянии безразличного равновесия. Это означает, что силы давления, действующие на грани призмы, должны быть уравновешены. Это произойдет только в том случае, если давления, т. е. силы, действующие на единицу площади поверхности каждой грани, одинаковы: p1 = p2 = p3 = p.
Рисунок 1.15.1. Закон Паскаля: p1 = p2 = p3 = p |
Давление жидкости на дно или боковые стенки сосуда зависит от высоты столба жидкости. Сила давления на дно цилиндрического сосуда высоты h и площади основания S равна весу столба жидкости mg, где m = ρghS – масса жидкости в сосуде, ρ – плотность жидкости. Следовательно
Такое же давление на глубине h в соответствии с законом Паскаля жидкость оказывает и на боковые стенки сосуда. Давление столба жидкости ρgh называют гидростатическим давлением.
Если жидкость находится в цилиндре под поршнем (рис. 1.15.2), то действуя на поршень некоторой внешней силой можно создавать в жидкости дополнительное давление p0 = F / S, где S – площадь поршня.
Таким образом, полное давление в жидкости на глубине h можно записать в виде:
Если на рис. 1.15.2 поршень убрать, то давление на поверхность жидкости будет равно атмосферному давлению: p0 = pатм.
Рисунок 1.15.2. Зависимость давления от высоты столба жидкости |
Из-за разности давлений в жидкости на разных уровнях возникает выталкивающая или архимедова сила
Рис. 1.15.3 поясняет появление архимедовой силы. В жидкость погружено тело в виде прямоугольного параллелепипеда высотой h и площадью основания S. Разность давлений на нижнюю и верхнюю грани есть:
Поэтому выталкивающая сила будет направлена вверх, и ее модуль равен
где V – объем вытесненной телом жидкости, а ρV – ее масса.
Архимедова сила, действующая на погруженное в жидкость (или газ) тело, равна весу жидкости (или газа), вытесненной телом. Это утверждение, называемое законом Архимеда, справедливо для тел любой формы. (Тело впернутое в воду выпирает на свободу силой выпертой воды телом впернутым туды! так легче запомнить)
Рисунок 1.15.3. Архимедова сила. FА = F2 – F1 = S(p2 – p1) = ρgSh, F1 = p1S, F2 = p2S |
Из закона Архимеда вытекает, что если средняя плотность тела ρт больше плотности жидкости (или газа) ρ, тело будет опускаться на дно. Если же ρт > S1, то F2 >> F1. Устройства такого рода называют гидравлическими машинами (рис. 1.15.5). Они позволяют получить значительный выигрыш в силе. Если поршень в узком цилиндре переместить вниз под действием внешней силы на расстояние
то поршень в широком цилиндре переместится на расстояние
поднимая тяжелый груз.
Таким образом, выигрыш в силе в n раз обязательно сопровождается таким же проигрышем в расстоянии. При этом произведение силы на расстояние остается неизменным:
Это правило выполняется для любых идеальных машин, в которых не действуют силы трения. Оно называется «золотым правилом механики».
Рисунок 1.15.5. Гидравлическая машина. Гидравлические машины, используемые для подъема грузов, называются домкратами. Они широко применяются также в качестве гидравлических прессов. В качестве жидкости обычно используются минеральные масла. Давление определяют как отношение силы f действующей на площадку s к3б. ГИДРОСТАТИКА (продолжение 3-й темы-лекции) 3.5. Сила давления жидкости на криволинейные стенки. 3.6 Сила давления жидкости па плоскую стенку 3.7. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью. 3.8. Равномерное вращение сосуда с жидкостью 3.5. Сила давления жидкости па плоскую стенку Давление жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом, определяется по основному уравнению гидростатики Ось Ох направим перпендикулярно плоскости стенки от точки ее пересечения со свободной поверхностью жидкости, а ось Оу — перпендикулярно оси Ох в плоскости стенки. Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS (давление действующее в точке, одинаково для произвольно расположенной площадки) где Р0 — давление на свободной поверхности, h — глубина расположения площадки dS . Для определения полной силы F ж проинтегрируем полученное выражение по всей площади S : Последний интеграл здесь hc = ( Sinα ) yc — глубина расположения центра тяжести площади S , или Полная сила давления жидкости F ж на плоскую стенку равна произведению площади стенки S на гидростатическое давление Рс в центре тяжести этой площади. 1.В частном случае, когда давление Р0 является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, сила F изб ж избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе F ж давления от веса жидкости, т. е. 2. В общем случае давление Р0 может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку 6удем рассматривать как сумму двух сил: F 0 от внешнего давления Р0 и силы F ж от веса жидкости, т. е. Рассмотрим вопрос о точках приложения этих сил, называемых центрами давления*. Для нахождения точки приложения силы давления F ж от веса жидкости (точка D ) применим теорему механики согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, т. е. где у D — координата точки приложения силы. Таким образом, точка приложения силы F ж расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними Если давление Р0 равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами а × b (рис. 3.9) и одна из его сторон а лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления D находится па расстоянии b /3 от нижней стороны. Ранее указывалось, что в жидкостях возможны лишь распределенные силы. Поэтому центры давления можно рассматривать лишь условно. 3.6. Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Нахождение силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае приводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов. Чаще всего рассматривают цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии. Сила давления жидкости в этом случае сводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии. Возьмем цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис.3.10), и определим силу давления жидкости на эту поверхность в двух случаях: жидкость расположена сверху (рис. 3.10а); жидкость расположена снизу (рис. 3.10б). Условие равновесия объема АВС D в вертикальном направлении имеет вид где Р0 давление на свободной поверхности жидкости; S г — площадь горизон- тальной проекции поверхности АВ; G — вес выделенного объема жидкости. Условие равновесия того же объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости па поверхности ЕС и АВ взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь ВЕ т. е. на вертикальную проекцию поверхности АВ – S в. Тогда Когда жидкость расположена снизу (рис.3.10), гидростатическое давление во всех точках поверхности АВ имеет n е же значения, что и в первом случае, но направление его будет противоположным, и суммарные силы F в и F г определятся теми же формулами (3.18) и (3/19), но с обратным знаком. При этом под величиной G следует понимать так же, как и в первом случае вес жидкости в объеме АВС D , хотя этот объем и не заполнен жидкостью. Положение центра давления на цилиндрической стенке можно легко найти, если известны силы F в и F г и определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести выделенного объема АВС D . Задача значительно облегчается в том случае, когда рассматриваемая цилиндрическая поверхность является круговой. Равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности, так как любая элементарная сила давления нормальна к поверхности, т. е. направлена по радиусу. Изложенный способ определения силы давления на цилиндрические поверхности применим и к сферическим поверхностям, причем равнодействующая сила в этом случае также проходит через центр поверхности и лежит в вертикальной плоскости симметрии. Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости па криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда. Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом V (рис. 3.11). В этом и заключается закон Архимеда, обычно формулируемый так: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости вытесненной телом и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тел. Сила F А называется архимедовой силой, или силой поддержания, а точка ее приложения, т. е. центр тяжести объема V — центром водоизмещения. В зависимости от соотношения веса G тела и архимедовой силы возможны три случая: 1) G > F А — тело тонет; 2) G F А — тело всплывает и плавает на поверхности жидкости в частично погруженном состоянии; 3) G = F А тело плавает в полностью погруженном состоянии. Для равновесия плавающего тела, кроме равенства G = F А должен быть равен нулю суммарный момент. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной вертикали с центром водоизмещения. Условие устойчивого равновесия тела, плавающего в полностью погруженном состоянии, заключается в следующем: центр тяжести тела должен находиться ниже центра водоизмещения. Устойчивость равновесия тел плавающих на поверхности жидкости здесь не рассматривается. 3.7. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью. При движении сосуда на частицы жидкости, кроме сил тяжести действуют еще силы инерции, под действием этих сил жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем. Относительным покоем называется равновесие жидкости в движущемся сосуде, находящейся под действием сил тяжести и инерции. При относительном покое положение свободной поверхности и поверхностей уровня, отличается от их положения для жидкости в неподвижном сосуде. Для определения формы и положения этих поверхности учитывается основное свойство поверхности уровня. Поверхности уровня – это поверхности равного давления. Пользуясь полным дифференциалом давления d Р рассмотрим взаимодействие сил при относительном покое жидкости в сосуде. Так как вдоль поверхности уровня d Р=0, Первый случай: сосуд, движущийся прямолинейно и равноускоренно; Второй случай: сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. На рис.3.12 изображен сосуд, движущийся вниз с ускорением а по плоскости наклонённой под углом α к горизонту. Оси координат оси координат связаны с движущимся телом. Единичная массовая сила инерции равна ускорению а и направлена в противоположную сторону (з-н Ньютона). F = Fx + Fy + Fz = m а, F / m = Fx / m + Fy / m + Fz / m = X + Y + Z = а. Все выделенные составляющие являются векторными величинами. Проекции массовых сил, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженным на массу выделенного объема. Проекции сумм массовых сил на оси Подставляя эти выражения в выражение для дифференциала, получим полагая Р – const , получаем уравнение изобарических поверхностей, к где коэффициент в линейном уравнении равен тангенсу угла β Если сосуд движется без трения только под действием силы тяжести, то j = gSinα β = 0, то есть свободная поверхность параллельна плоскости движения. Полагая в формуле (3.21) х = 0, z = z 0, P = P 0, получим C = P 0+ ( ρgCosa ) z 0. Формула для определения давления в любой точке жидкости, находящейся в относительном покое при прямолинейном движении Можно также использовать суммарную массовую единичную силу q . где последний член представляет собой полную массовую силу q – суммарная единичная массовая сила, действующая на выделенный объем жидкости массой М= ρldS – масса, а l — расстояние от точки М до свободной поверхности. После сокращения на dS получим 3.8. Равномерное вращение сосуда с жидкостью Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг его вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее изменится. В центральной части уровень жидкости опустится, у стенок она поднимется, и вся свободная поверхность жидкости станет поверхностью вращения (рис.3.13). На жидкость будут действовать две массовые силы: единичная сила тяжести Fg = g и единичная центробежная сила F цб = ω 2 r . Проекции этих сил на оси координат дадут следующие выражения X = (V 2 /r) Cos(r^x) = ω 2 r Cos(r^x)= ω 2 X Подставляя это выражение в выражение для дифференциала давления вынеся знак дифференциала за скобки, получим после интегрирования получим выражение для определения давления в любой точке и уравнение поверхностей уровня свободной поверхности получит вид Уравнение свободной поверхности получит вид P Пользуясь этими уравнениями можно определить положение свободной поверхности в сосуде, максимальную высоту Н подъема жидкости и высоту z 0 = h расположения вершины параболоида при данной угловой скорости ω. Для этого необходимо использовать еще уравнение объемов: объем неподвижной жидкости равен её объему во время вращения. Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к оси вращения (или на кольцевую часть этой стенки). Для этого необходимо выразить сначала силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr ; а затем выполнить интегрирование в требуемых пределах. При большой угловой скорости жидкости можно получить весьма значительную суммарную силу давления на стенку. Этот эффект используется в некоторых фрикционных муфтах, где для осуществления сцепления двух валов требуется создание больших сил нормального давления. Способ, указанный выше, применяют для определения силы осевого давления жидкости на рабочие колеса центробежных насосов, а также на крышки центрифуг.
|