деление отрезка в данном отношении доказательство
Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.
В этой статье мы разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении. Сначала мы получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого приведем подробные решения нескольких характерных примеров.
Навигация по странице.
Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
Начнем с постановки задачи на плоскости.
Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.
В силу операции сложения векторов можно записать равенства 
и 
. Их мы используем в следующем абзаце.
Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении 
, то 
, откуда 
. Векторы 
и 
лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что 
, поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство 
. Подставив в него 
, имеем 
. Тогда равенство можно переписать как 
, откуда в силу свойств операций над векторами получаем 
.
Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами 
и 
в координатах. Так как 
и 
, то 
, следовательно, 
.
Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве.
Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.
Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения.
Пришло время применить полученные формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.
.
В данном примере 
. Так как точка С делит отрезок АВ в данном отношении, то справедливы формулы 
и 
, из которых получаем 
и 
соответственно. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А :
.
Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.
Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:
.