двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов

Вычисление двойных интегралов: теория и примеры

Что значит вычислить двойной интеграл?

Записывается двойной интеграл так:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Случай прямоугольной области:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Случай криволинейной области:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Сведение двойного интеграла к повторному

Случай прямоугольной области

Пусть для такой функции существует двойной интеграл

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.,

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

На чертеже строим область интегрирования:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.,

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

На чертеже строим область интегрирования:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случай криволинейной или треугольной области

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.,

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Вычисляем первое слагаемое:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Вычисляем второе слагаемое:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Вычисляем третье слагаемое:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.,

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

На чертеже строим область интегрирования:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Вычислить двойной интеграл

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.,

если область D ограничена прямыми

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Пример 6. Вычислить двойной интеграл

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.,

если область D ограничена прямыми

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования

Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:

1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;

2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.

Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y 0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной

Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x 0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.

До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Вычисляется этот двойной интеграл так:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Смена порядка интегрирования

Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.

Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.(нижний) и двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.(верхний).

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.

Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.

Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.

Для двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Для двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Для двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:

Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов..

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Так что же такое двойной интеграл?

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.,

которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.

Источник

Двойной интеграл с примерами решения и образцами выполнения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой обласдвойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.ти D плоскости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей» двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.площади которых обозначим через двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.(см. рис. 214).

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

В каждой области двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.выберем произвольную точку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.умножим значение двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.функции в этой точке на двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.и составим сумму всех таких произведений:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; у) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; Dобласть интегрирования; х и у — переменные интегрирования; dx dy (или dS) — элемент площади.

Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема:

Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечания:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностьюдвойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов., снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов., площади которых равны A двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.через двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов., получим

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.и высотой двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Объем этого цилиндра приближенно равен объему двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.цилиндрического столбика, т. е. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Тогда получаем:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.неограниченно увеличивается двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.а каждая площадка стягивается в точку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.за объем V цилиндрического тела, т. е.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

или, согласно равенству (53.2),

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.есть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.площади которых обозначим через двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.. В каждой области двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.возьмем произвольную точку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.и вычислим плотность в ней: двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.мало отличается от значения двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Считая приближенно плотность в каждой точке области двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.постоянной, равной двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов., можно найти ее массу двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Так как масса m всей пластинки D равна двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Для ее вычисления имеем приближенное равенство

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

или, согласно равенству (53.2),

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Итак, двойной интеграл от функции двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.считать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

3.Если область D разбить линией на две области двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.такие, что двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.а пересечение двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

4.Если в области D имеет место неравенство двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.то и двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Если в области D функции f(x;y) и двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.удовлетворяют неравенству двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.то и

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.— соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точкадвойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов., что двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Величину

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

называют средним значением функции f(x; у) в области D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.где функция двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривымидвойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов., причем функции двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.непрерывны и таковы, что двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.для всех двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.(см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.по области D. Следовательно,

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Это равенство обычно записывается в виде

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область D ограничена прямыми двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.кривыми

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

для всех двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.т. е. область Dправильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

Замечания:

Пример:

Вычислить двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.где область D ограничена линиями удвойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Решение:

На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.. Получаем:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Ответ, разумеется, один и тот же.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

В качестве инь возьмем полярные координаты двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Они связаны с декартовыми координатами формулами двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.(см. п. 9.1).

Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Формула замены переменных (53.11) принимает вид:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.и кривыми двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.где двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Внутренний интеграл берется при постоянном двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Замечания:

Пример:

Вычислить двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.где область D — круг двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Заметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

или, в полярных координатах,

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.находится по формуле

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

а координаты центра масс фигуры по формулам

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Замечание:

Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

находим уравнение линии их пересечения:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.) и ограниченных сверху соответственно поверхностями двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.Используя формулу (53.4), имеем

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Переходя к полярным координатам, находим:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Пример:

Найти массу, статические моменты двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.— коэффициент пропорциональности.

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Находим статические моменты пластинки:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Двойной интеграл

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов фото. картинка двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть фото двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов. смотреть картинку двойные интегралы и их свойства повторные интегралы приложение двойных интегралов.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *