геометрические приложения чисел фибоначчи

08.11.202209.11.2022 admin 0 Comments

Геометрическая последовательность. Числа Фибоначчи

Разделы: Математика

Цели урока:
1) закрепить знания по теме «Последовательности»;
2) ознакомить с приложением последовательностей;
3) ввести понятие чисел Фибоначчи и золотого сечения;
4) развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Орг момент (3 мин)

Здравствуйте. Сегодняшний урок посвящен использованию последовательностей в природе. Мы рассмотрим примеры, где встречаются последовательности в жизни и природе.

II. Применение геометрической прогрессии (13 мин)

Далее учащимся предлагается решить задачу.
ЗАДАЧА.
Предположим, что в кабинете, где проходит урок математики, численность
бактерий равняется 1000 ед. на м2, тогда какой будет численность к концу рабочего дня?
При благоприятных условиях деление клеток у многих бактерий может происходить через каждые 20-30 минут.

Решение:
Вычислим последовательно численность колонии бактерий 1-ого, 2-ого, 3-его, 4-ого, 5-ого, 6-ого поколений.
Имеем, для геометрической прогрессии:

Если рассматривать, что общая продолжительность учебных занятий 5 часов, то за это время колония бактерий даст 10 поколений. И тогда численность 10 поколения можно рассчитать по формуле

Мы можем рассчитать численность бактерий в кабинете к концу учебных занятий, используя формулу суммы 10 членов геометрической прогрессии:

III. Последовательность Фибоначчи (25 мин)

Учащимся предлагается решить следующую задачу.
Задача.
Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.

В итоге получается такая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго. Её суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.

Исследуем свойства этой последовательности.
Найдем отношение какого-либо члена последовательности к предшествующему
3:2=1,5
5:3=1,(6)
8:5=1,6
13:8=1,625
21:13=1,615
34:21=1,619
55:34=1,618
89:55=1,618
Откуда видно, что отношение какого-либо члена последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618, через pаз то превосходя, то не достигая его.

Найдем теперь отношение к последующему члену.
2:3=0,(6)
3:5=0,6
5:8=0,625
8:13=0,615
13:21=0,619
21:34=0,618
34:55=0,618
55:89=0,618
89:144=0,618

Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0,618, что обратно пропорционально 1,618.
Если мы будем делить элементы последовательности через одно, то получим числа 2,618 и 0,382, которые так же являются обратно пропорциональными. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.

Но зачем нам эти коэффициенты? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы. Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение, которое не уступает по значимости теореме Пифагора.

IV. Итоги урока (3 мин).

Учащимся предлагается ответить на вопросы.
1) Где можно встретить архимедову спираль в природе? (раковина улитки, спиральный галактики, подсолнечник)
2) В какой последовательности размножаются бактерии?
3) Почему бактерии не заполняют все пространство?
4) как связано золотое сечение с последовательностью Фибоначчи?

Источник

Геометрические приложения чисел Фибоначчи

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 19 Февраля 2012 в 20:36, курсовая работа

Описание

Цель работы. Определить ряд Фибоначчи и изучить наиболее важные ее свойства.
Задачи работы.
Рассмотреть задачу о кроликах из “Книги об абаке”;
Дать определение ряда Фибоначчи и вывести формулу для общего члена;
Рассмотреть основные свойства чисел Фибоначчи;
Рассмотреть геометрические приложения чисел Фибоначчи.

Содержание

Введение……………………………………………………………………….. 5
1. Фибоначчи: «Книга об абаке» (1202) и задача о кроликах………………. 7
2. Определение последовательности Фибоначчи и формула общего
члена (формула Бине)…………………………………………………………

10
3. Основные теоретико-числовые свойства последовательности Фибоначчи………………………………………………………………………
16
4. Числа Фибоначчи и цепные дроби………………………………………… 18
5. Геометрические приложения чисел Фибоначчи………………………….. 20
Заключение…………………………………………………………………….. 25
Список литературы……

Работа состоит из 1 файл

реферат Числа Фибоначчи.doc

где и – некоторые постоянные. Поэтому принято говорить, что (3) является общим решением уравнения (2).

Предварительно докажем, что если решения и и уравнения (2) непропорциональны, то

(т.е. что эта непропорциональность обнаруживается уже, в первых, двух членах, последовательностей и )

Доказательство (4) ведется от противного. Пусть для непропорциональных решений и уравнения (2)

Написав производную пропорцию, мы получаем

или, принимая во внимание, что и являются решениями уравнения (2),

Аналогично убеждаемся (индукция!) в том, что

Таким образом, из (5) следует, что последовательности и пропорциональны, а это противоречит предположению. Значит, справедливо (4).

Тогда на основании лемм 1 и 2 даст нам последовательность V.

(Условие (4) означает, что общий знаменатель этих дробей отличен от нуля.) Подставив вычисленные значения и в (3), мы и получим требуемое представление последовательности V.

Значит, для описания всех решений уравнения (2) нам достаточно найти какие-нибудь два его непропорциональных решения.

Будем искать эти решения среди геометрических прогрессий. В соответствии с леммой 1 достаточно ограничиться рассмотрением только таких прогрессий, у которых первый член равен единице. Итак, возьмем прогрессию

Чтобы она была решением уравнения (2), необходимо, чтобы при всяком n выполнялось

Мы получили, таким образом, две геометрические прогрессии, являющиеся решениями уравнения (2).

Поэтому все последовательности вида

являются решениями уравнения (2). Так как найденные нами прогрессии имеют разные знаменатели и потому непропорциональны, формула (8) при различных и дает нам все решения уравнения (2).

В частности, при некоторых и формула (8) должна дать нам и ряд Фибоначчи. Для этого, как указывалось выше, нужно определить и из уравнений

Решив эту систему, мы получаем

Формула (9) называется формулой Бине (по имени математика, который ее вывел).

3. Основные теоретико-числовые свойства последовательности Фибоначчи

1) Вычислим сначала сумму первых n чисел Фибоначчи. Именно, докажем. что

В самом деле, мы имеем:

Cложив все равенства почленно, мы получим

и нам остается вспомнить, что u₂=1.

2) Сумма чисел Фибоначчи с нечетными номерами:

Для доказательства этого равенства напишем

Сложив эти равенства почленно, мы получим требуемое.

3) Сумма чисел Фибоначчи с четными номерами:

6) (Большой интерес представляет вопрос об арифметической природе чисел Фибоначчи, об их делителях.)

При n составном и отличном от 4, u_n есть составное число.

7) Соседние числа Фибоначчи взаимно просты.

8) Если простое число р имеет вид 5t ± 1, то u_p-i делится на р. Если р имеет вид 5t ± 2, то u_p+i делится на р.

9) Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры – с периодом 1500, последние четыре – с периодом 15000, последние пять – с периодом 150000 и т. д.

10) Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N 2 + 4 или 5N 2 − 4 является квадратом.

4. Числа Фибоначчи и цепные дроби

Предположим, что у нас есть два взаимно простых натуральных числа p и q – два числа, не имеющих общих делителей. Тогда существуют целые числа r и s такие, что pr+qs=1. Эти числа обычно ищутся с помощью алгоритма Евклида. Берется большее из чисел p и q и с остатком делится на меньшее. Остаток является суммой двух изначальных чисел с целыми коэффициентами. Затем берется меньшее число и остаток и с ними проделывается то же самое. Так как изначальные два числа были взаимно простые, то на каждом шаге мы будем получать два взаимно простых числа и алгоритм можно продолжать. В конце концов, мы дойдем до единицы. Оказывается, этот алгоритм можно формализовать и сделать более наглядным с помощью так называемых цепных дробей.

Рассмотрим два взаимно простых числа, например, 100 и 31. Попытаемся найти целые числа r и s такие, что 100r+31s=0. Для этого рассмотрим дробь и будем ее преобразовывать следующим образом: как только возникает дробь, большая единицы, будем выделять из нее целую часть, а остаток обращать. Число, обратное к остатку, снова будет больше единицы, и мы с ним проделаем то же самое. Процесс закончится, когда мы получим целое число. Итак,

Как мы видим, любую дробь можно разложить в цепную дробь; при этом процесс завершится. Оказывается, точно так же можно разлагать в цепные дроби и иррациональные числа. В этом случае, очевидно, мы будем получать бесконечную цепную дробь.

Рассмотрим, например, такую дробь:

5. Геометрические приложения чисел Фибоначчи

Разделим отрезок АВ единичной длины (рис. 1) на две части так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.

Обозначим для этого искомую длину большей части отрезка через х. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1-х, и условие нашей задачи дает нам пропорцию

каждое. Такое деление (точкой С₁) называется делением в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делением или золотым пропорцией (сечением).

Если взять отрицательный корень этого уравнения, то делящая точка С₂ окажется вне отрезка АВ (такое деление в геометрии называется внешним делением), как это видно на рис.1. Легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением:

Фактическое построение точки, делящей отрезок золотым сечение, осуществляется без труда.

Источник

Золотое сечение и числа Фибоначчи

Человек стремится к знаниям, пытается изучить мир, который его окружает. В процессе наблюдений появляются многочисленные вопросы, на которые, соответственно, требуется найти ответы. Человек ищет эти ответы, а находя их, появляются другие вопросы.

Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.

Леонардо был рожден в Пизе. Впоследствии получил прозвище Фибоначчи, что означает «хорошо рожденный сын». Когда Леонардо жил со своим отцом в странах Северной Африки, он изучал математику с арабскими учителями. Получив весь необходимый материал, он создал собственную книгу – «Книгу абака». Именно этот человек становится первым средневековым учёным, познакомившим Европу с арабской системой счисления, которой мы пользуемся всю нашу жизнь[1].

Основная задача, поясняющая возникновение ряда чисел Фибоначчи – задача о кроликах. Вопрос задачи звучит так: «Сколько пар кроликов в один год рождается от одной пары?». К задаче дано пояснение, что пара через месяц рождает ещё одну пару, а по природе кролики начинают объектом рождать потомство на второй месяц после своего рождения. Автор даёт нам решение задачи. Получается, что в первый месяц первая пара родит ещё одну. Во второй месяц первая пара родит ещё одну – будет три пары. В третий месяц родят две пары — изначально данная и рождённая в первый месяц. Получается пять пар. И так далее. Используя такую же логику в рассуждении, мы получим, что в четвёртый месяц будет 8 пар, в пятый– 13, в шестой – 21, в седьмой 34, в восьмой — 55, в девятый — 89, в десятый 144, в одиннадцатый – 233, в двенадцатый — 377[2](рис. 1).

Из этой задачи и можно вывести саму последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… В основе этой последовательности лежит алгоритм: начиная с «1, 1» следующим числом будет сумма двух предыдущих чисел. Разделив любой член данной последовательности на член, который стоит перед ним, мы получим величину, называемую «пропорцией Золотого сечения» — примерно 1, 618[3].

В эпоху Возрождения художники открыли некие зрительные центры, которые, влияя на психику человека, невольно приковывают наше внимание. Данные точки не зависят от формата картины. Их всего четыре, они делят картину в пропорциях Золотого сечения- примерно 3/8 и 5/8 (рис.2).

Для того чтобы привлечь внимание зрителя к определенному элементу картины, необходимо совместить его с одним из зрительных центров. Данное открытие назвали «золотое сечение картины»[4].

Правило золотого сечения используется в стоматологии, именно они используются при художественной реставрации зубов, их восстановлении. Рассмотрим эстетическое восстановление передних зубов, фронтального зубного ряда (рис. 3)[5].

Золотые пропорции включают в себя такие моменты:

— как ширина верхнего переднего зуба относится к ширине нижнего;

— как соотносятся между собой по ширине:

2 резца в нижнем фронтальном ряду;

двое резцов в верхнем ряду;

— какое имеется расстояние между премолярами и т.д.

Так же правило золотого сечения используется в косметологии и пластической хирургии. У людей с красивыми лицами существует идеальная пропорция между расстояниями от медиального угла глаза до крыла носа и от крыла носа до подбородка. Это явление называется «динамической симметрией» или «динамическим равновесием».

Расстояние от линии смыкания губ до крыльев носа пропорционально расстоянию от линии губ до низшей точки подбородка в соотношении 1: 1,618. Ещё существует множество соотношений на лице, которые представлены на рисунке 4[6].

Числа Фибоначчи и Золотое сечение чтобы также используется и в психологии. Например, чтобы выяснить, как развивается механизм творчества, В.В. Клименко воспользовался математикой, а именно законами чисел Фибоначчи и пропорцией «золотого сечения» — законами природы и жизни человека. Если развернуть в ряд числа Фибоначчи, то получим: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т.д. Отношение между числами Фибоначчи составляет 0,618. Развитие человека также происходит соответственно данной пропорции и подчиняется закону ее чисел, разделяя нашу жизнь на этапы с теми или иными доминантами механизма творчества [7].

Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет:

• 0 —начало отсчета — ребёнок родился. У него еще отсутствуют не только психомоторика, мышление, чувства, воображение, но и оперативный энергопотенциал. Он — начало новой жизни, новой гармонии;

• 1 — ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение;

• 2 — понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями;

• 3 — действует посредством слова, задаёт вопросы;

• 5 — «возраст грации» — гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребёнку охватить мир во всей его целостности;

• 8 — на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление силами своей критичности направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии…

Закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.

В заключении отмечу, что данная работа является законченным исследованием и при этом имеет ряд перспектив. В дальнейшем возможно исследовать как числа Фибоначчи используются в биологии, химии, как это можно использовать и применять на практике в бытовых условиях.

1. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. – 5-е изд. – М.: Наука, 1978 – 144с.

Источник

Числа фибоначчи и геометрия

§ 3. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ГЕОМЕТРИЯ

[16]Последовательность Фибоначчи стремится к постоянному соотношению. Это отношение иррационально, представляет собой число с бесконечной последовательность десятичных чисел в дробной части. Члены последовательности связаны между собой соотношениями. Если член последовательности разделить на предшествующий ему, то величина будет колебаться примерно Ф = 1,618. Число Фи. При делении каждого числа Фибоначчи на последующее отношение стремится к 0,382. Эти соотношения называются фибоначчиевыми коэффициентами. Золотое сечение не проходится в школьном курсе математики, поэтому оно известно далеко не всем. Золотое сечение с древности рассматривалось, как эстетически самое благоприятное отношение. Через Золотое сечение числа Фибоначчи проявляют свои свойства. Посколько целое всегда состоит из частей, то части находятся в определенном отношении к друг другу и к целому. Принц Золотого сечения – это принцип гармоничной пропорции. Рассмотрим пример деления отрезка:

1. Разделим отрезок АВ единичной длины на две части точкой C так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком. Обозначим искомую длину большей части отрезка через х. Тогда условие нашей задачи дает пропорцию:

Положительным корнем является . Получаем, что отношения в пропорции равны (). Это деление и есть Золотое сечение или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Отрезки Золотой пропорции выражаются бесконечными и рациональными дробями b = 0,618; a = 0,382. Числа 0,618: 0,382 – коэффициенты последовательности Фибоначчи. На этой последовательности базируются все геометрические фигуры.

Рассмотрим правильный пятиугольник.

[17]Можно доказать, что точка С делит отрезок AD золотым сечением. То есть: . Таким образом, среди отрезков ВС, АВ, AC, AD каждый последующий в α раз больше предыдущего.

Рассмотрим прямоугольник, у которого отношение сторон равно α. Такие прямоугольники будем называть прямоугольниками золотого сечения. Можно доказать, что, вписав в такой прямоугольник наибольший возможный квадрат, мы снова получим прямоугольник золотого сечения.

Можно говорить и о треугольниках золотого сечения: остроугольном — с углами 36°, 72° и 72° и тупоугольном— с углами 108°, 36° и 36°. Интересно, что остроугольный треугольник золотого сечения разбивается на меньшие три треугольника золотого сечения. Соотношение длины боковой стороны к длине основания такого треугольника равно 1,618.

В Природе мы часто видим, что расположение предметов можно описать соотношениями чисел Фибоначчи и соответствующими величинам Золотого деления. Например, это спирально закрученные раковины и спиралевидная паутина, и спирально закрученный торнадо, и спиралевидная молекула ДНК.

Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.

Золотое сечение применяли художники и архитекторы, астрономы описывали закономерности планет солнечной системы.

Числа Фибоначчи появляются также в вопросах, связанных с исследованием путей в различных геометрических конфигурациях.

[16]Фибоначчи. [Электронный ресурс]. Числа Фибоначчи. Режим доступа: http:// Свободный. Данные соответствуют – 01.05.2012г.

Источник