гиромагнитное отношение спиновых моментов

Гиромагнитное отношение спиновых моментов

Проблема атома водорода и водородоподобных ионов не исчерпывается моделью кулоновского поля. Различные физические факторы приводят к частичному снятию вырождения по орбитальному квантовому числу. В этой главе мы рассмотрим два из них: спин–орбитальное взаимодействие и увеличение массы движущегося электрона. Для учёта первого процесса необходимо ввести понятие внутреннего магнитного момента электрона, тесно связанного с его собственным механическим моментом, или спином. Внутренний момент был открыт в специально поставленных опытах по исследованию магнитомеханических явлений. По своим проявлениям он значительно отличается от рассмотренного в двенадцатой главе орбитального момента.

18.1. Магнитомеханические явления

Движущийся по замкнутой орбите электрон, подобно электрическому току, возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле, равное полю магнита с моментом

где S — площадь, охватываемая орбитой электрона, а τ — период обращения. Энергия взаимодействия атома с магнитным полем определяется напряжённостью поля Н и магнитным моментом атома μ. Перепишем формулу (1.3.3) первой главы:

.

В силу пропорциональности магнитного и механического моментов это означает зависимость энергии от проекции орбитального момента, или, иными словами, — снятие вырождения по магнитному квантовому числу. Перейдём к количественному описанию в рамках классической механики.

Площадь кеплерова эллипса можно выразить через момент вращения

,

откуда следует связь между модулями механического и магнитного моментов электрона:

.

Магнитный момент любой заряженной частицы направлен вдоль той же прямой, что и механический, причём у частицы с отрицательным зарядом — в противоположную сторону. Величина

называется гиромагнитным отношением. Из (1.1) следует, что в случае орбитального движения электрона его гиромагнитное отношение равно

Все полученные здесь результаты могут быть кратко изложены в векторной форме:

Знак перед γ определяется зарядом частицы. Например, у электрона он отрицательный. Отметим, что (1.4) непосредственно получается из общих определений механического и магнитного моментов:

Здесь m — масса частицы, q — её заряд (для электрона m = m_e, q = –e).

Наличие связи между механическим и магнитным моментами неоднократно проверялось в разных экспериментах. На рис.18.1.1 схематически изображён опыт Эйнштейна и де Гааза.

Стержень из вещества с парамагнитными свойствами подвешивался на кварцевой нити с прикреплённой к ней зеркальцем. Стержень помещался внутри катушки, по которой пропускали переменный ток. Зеркало освещается узконаправленным пучком света, который отражается на экране в виде светового пятна. Если частота тока совпала с частотой крутильных колебаний, то пятно расплывается в полоску света. Этот опыт показал, что электроны обладают одновременно магнитным и механическим моментами.

Барнетт выполнил в некотором смысле обратный эксперимент. В нём раскручивался, а потом быстро останавливался проводящий цилиндр. В момент остановки в образце появлялся электрический ток.

Магнитный момент квантуется аналогично механическому. Подставляя в (1.1) условие квантования (15.1.7) и меняя обозначение n_φ на m_l, получим

Знак здесь, в отличие от (1.4), не имеет значения, так как квантовое число m_l принимает равные по модулю положительные и отрицательные значения.

Таким образом, магнитный момент стационарной орбиты является целым кратным от магнетона Бора (1.3.4). В силу (1.4) связь между абсолютной величиной и проекцией момента (12.3.5), распространяется и на магнитный момент атома. Следовательно, проекция вектора μ на направление внешнего магнитного поля может иметь 2l+1 значение.

Сказанное иллюстрирует рис.18.1.2.

Важную роль в развитии атомной физики сыграли опыты Штерна и Герлаха по исследованию отклонения атомных пучков в неоднородном магнитном поле. Схема опыта приведена на рис.18.1.3. В сосуде, где создан глубокий вакуум, печка K испускает атомы некоторого химического элемента. С помощью диафрагм B и B’ создаётся резко ограниченный

,

Опыты Штерна и Герлаха действительно обнаружили расщепление атомного пучка и, тем самым, подтвердили квантование момента. Они же показали, что атомы иногда проявляют свойства, необъяснимые в модели орбитального момента. В экспериментах с водородом, щелочными металлами, серебром, золотом отсутствовала несмещённая компонента, и число пучков оказывалось равным двум, то есть, чётным. У всех перечисленных элементов собственный орбитальный момент равен нулю, поэтому следовало ожидать только одной — несмещённой компоненты. Кроме того, расстояние между следами пучков на фотопластинке в этих случаях становилось вдвое больше.

На рис. 18.1.4 приведены два случая. Слева — расщепление, объясняемое в модели орбитального момента при l =2: видно пять компонент с несмещённым пучком в центре. Справа — расщепление на два пучка, причём тому же самому значению магнитного поля отвечает вдвое бóльшее расстояние между ними, чем на левом рисунке.

18.2 Внутренний момент электрона

Чётное число проекций момента возможно только в том случае, если его абсолютная величина имеет полуцелое значение. В 1925 г. Уленбек и Гаудсмит предложили гипотезу спина, или внутреннего момента электрона. По аналогии с l введём безразмерный вектор s, абсолютная величина которого может быть равна нулю и положительному целому либо полуцелому числу:

(2.1) s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, …

Целому значению s, как и l, соответствует нечётное число проекций, среди которых обязательно присутствует компонента, равная нулю. В случае полуцелого спина набор проекций получается чётным, и нулевой компоненты нет. Результаты опытов Штерна и Герлаха для перечисленных выше элементов получают своё объяснение при s = ½.

Гиромагнитное отношение электрона γ_e в случае внутреннего момента вдвое больше, чем для орбитального:

Спин — новая характеристика частицы, наряду с массой и зарядом. Он является более фундаментальной величиной, чем орбитальный момент, который может принять разные значения, в зависимости от условий эксперимента. Спин любой частицы всегда сохраняет своё значение, меняться может лишь его проекция на выбранное направление.

Итак, внутренний механический момент системы выражается через безразмерный вектор s:

квадрат модуля которого равен

Спину s соответствует набор проекций, аналогичный (12.3.5):

но s может принимать полуцелое значение и тогда среди чисел ряда (2.4) отсутствует нуль.

В отличие от орбитального момента, спин любой системы частиц ограничен. Поэтому при переходе в классическую область он стремится к нулю вместе с постоянной Планка. Таким образом, спин является чисто квантовым понятием, не имеющим аналога в классической механике.

18.3 Волновая функция с учётом спина

Полное определение состояния частицы подразумевает указание не только её координат, но и направления спина. Последнюю задачу выполняет переменная спина σ. Она пробегает весь возможный набор проекций s z при заданном значении s. Таким образом, волновая функция зависит от четырёх переменных:

Суммирование ведётся по всем возможным проекциям спина. Если вероятность частице иметь то или иное значение s z не зависит от её координат, то волновую функцию (3.2) можно представить в виде произведения:

Здесь ψ( r ) — координатная волновая функция (только её мы и рассматривали во всём предыдущем материале), а столбец

описывает спин. Квадраты модулей компонент c ₁ и c ₂ равны вероятностям того, что проекция спина равна +½ и –½, соответственно. Условие нормировки спиновой части волновой функции описывается равенством:

Действительно, (3.5) означает, что в данном состоянии электрон имеет проекцию спина m s с вероятностью , а вероятность иметь другую проекцию, согласно свойствам символа Кронекера, равна нулю. Чтобы не перегружать запись сложными индексами в одной строке, мы ввели дополнительное обозначение:

В дальнейшем мы будем пользоваться обеими системами обозначений для символа Кронекера.

18.4 Полный момент электрона

Внутренний s и орбитальный l моменты электрона складываются в его полный момент j :

Возможные значения j при заданных l и s определяются правилом сложения моментов. Проекция момента j z просто равна сумме проекций l z и s z :

Формулу (4.2) иллюстрирует рис.18.4.1:

Сначала рассмотрим случай равного нулю орбитального момента. Его проекция принимает единственное (нулевое) значение, следовательно, проекция полного момента повторяет значения проекции спина, их два:

Две такие проекции может иметь только момент, равный половине:

1. l =1. Выпишем в таблицу все 6 возможных значений суммы m l + m s :

Источник

Свойства ядер: спин, магнитный момент и другие

Конспект лекции

Аннотация: знакомство со свойствами атомных ядер. Традиционное изложение темы.

Рис.1. Момент импульса. Рис.2. Проекции момента импульса.

О спинах и магнитных моментах атомов речь шла в лекции Механический и магнитный моменты атома. Атом в магнитном поле. Вспомним: движущаяся частица с импульсом p обладает относительно точки О моментом количества движения (или моментом импульса)

.

Для микрочастиц (квантовая механика) момент количества движения квантован. Для движения, изображенного на рис.1,

Напомним правило сложения моментов

Если частица участвует в нескольких движениях, моменты импульсов складываются. Пусть

Тогда квантовое число суммарного момента может принимать значения (их несколько!) от суммы квантовых чисел слагаемых до модуля разности

Это и есть нужное правило. Для нуклона в ядре полный момент импульса J складывается из орбитального и спинового моментов, и по этому правилу квантовое число полного момента имеет два значения:

Посмотрим, чему равны спины самых легких ядер

Видно, что спины ядер не получаются простым арифметическим суммированием спинов нуклонов. Если, например, протонов два, то их спины направлены противоположно, и вклад в суммарный спин равен нулю.

Закономерности, выявленные для спинов ядер

Магнитные моменты ядер

Орбитальное движение протона в ядре, как и движение электрона в атоме, создает магнитный момент

Естественной единицей измерения ядерных магнитных моментов является ядерный магнетон μ_я

Он в 1836 раз меньше магнетона Бора. Магнитные моменты ядер на несколько порядков меньше таковых для атомных оболочек.

У протонов и нейтронов есть и собственные магнитные моменты, пропорциональные механическим спиновым. Их можно записать в виде

Итак, магнитный момент ядра складывается из орбитальных магнитных моментов протонов и спиновых моментов протонов и нейтронов.

Энергия взаимодействия U ядра, имеющего магнитный момент μ, и внешнего магнитного поля с индукцией B равна

Заметим, что она зависит от взаимной ориентации магнитного момента и вектора индукции.

Определение спинов и магнитных моментов ядер путем исследования сверхтонкой структуры атомных спектров

Тонкая структура, напомним, обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем, создаваемым орбитальным движением электронов в атоме.

Сверхтонкая структура вызвана магнитным моментом ядра и тем же магнитным полем электронов

В зависимости от ориентации спина ядра (а, следовательно, и магнитного момента) скалярное произведение принимает разные значения: энергетический уровень расщепляется, каждому подуровню соответствует своя частота излучения.

Полный механический момент атома F складывается из момента электронной оболочки I и спина ядра J

Механический момент электронной оболочки в свою очередь равен сумме орбитального L и спинового S моментов

Индукция магнитного поля B_эл, создаваемая электронной оболочкой, пропорциональна механическому моменту этой оболочки I: B_эл

I, а магнитный момент ядра μ пропорционален спину ядра J: μ

J. Получаем, что энергия в (2) будет пропорциональна скалярному произведению механических моментов ядра и электронной оболочки

где квантовое число полного момента может принимать значения

Столько же значений будет и у скалярного произведения (I·J) и у энергии U_яд: уровни с различными F будут обладать, вообще говоря, разной энергией.

Число этих уровней равно 2I + 1 при I ≤ J и 2J + 1 при J ≤ I. Во втором случае подсчет числа линий в спектре расщепления позволяет непосредственно определить спин, а затем и магнитный момент ядра. А в первом случае приходится анализировать отношения интервалов между линиями. Рис.3. Метод Раби.

Измерение магнитных моментов ядер методом магнитного резонанса

В качестве примера рассмотрим измерение магнитного момента нейтрона (метод Раби). Принципиальная схема метода изображена на рисунке 3. Пучок нейтронов пропускается через два намагниченных до насыщения ферромагнетика 1 и 3. Поля в них неоднородные, и градиенты поля направлены в противоположных направлениях. Однородное магнитное поле не влияет на движение нейтральной частицы. В неоднородном поле траектория нейтрона, обладающего магнитным моментом, искривляется по градиенту или против в зависимости от ориентации магнитного момента. Первый ферромагнетик искривляет траектории нейтронов, а второй фокусирует их на детектор, заполненный газом BF₃. В промежутке между ферромагнетиками установлен магнит 2 с сильным однородным полем. Там же находится катушка К, создающая слабое высокочастотное поле. В однородном магнитном поле B у нейтрона появляется дополнительная энергия (1). Поскольку спин нейтрона s = 1/2, она имеет два значения для двух возможных ориентаций спина нейтрона, происходит расщепление энергии нейтрона на два подуровня в зависимости от ориентации спина. Если подобрать частоту переменного поля так, чтобы энергия квантов была равна разности энергий подуровней

При определении магнитных моментов ядер этим методом используют молекулярные пучки, чтобы суммарный магнитный момент электронных оболочек был равен нулю. Иначе не определить магнитный момент ядра на фоне превышающего на порядки магнитного момента оболочки.

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)

Ядерный магнитный резонанс – резонансное поглощение электромагнитных волн атомными ядрами, происходящее при изменении ориентации векторов их собственных моментов количества движения (спинов). Ядра исследуемого вещества должны обладать не равным нулю магнитным моментом.

В качестве простейшего вещества возьмем водород. Во внешнем магнитном поле ядро, обладающее магнитным моментом, как любой магнит, начинает чувствовать это магнитное поле, и если его спиновое число равно 1/2, то появляются два направления его преимущественной ориентации: по направлению и против направления магнитного поля. Скалярное произведение в (1) будет, следовательно, иметь два значения, и энергия протона будет больше в том случае, если его магнитный момент (и спин) направлен в сторону, противоположную полю. Эту энергию обозначим E₂. Если магнитный момент (спин) протона направлен в ту же сторону, что и поле, то энергия протона, обозначаемая E₁, будет меньше (E₁ Рис.4. Медицинская установка.

ЯМР широко используется в физике, химии и биохимии для исследования структуры твёрдых тел и сложных молекул. В медицине с помощью ЯМР с разрешением 0.5–1 мм получают пространственное изображение внутренних органов человека.

Форма ядра. Квадрупольный момент ядра

Начнем издалека. Моментами функции f(x) называются интегралы вида

Рис.5. Диполи.

Если известны моменты для большого числа n, то можно восстановить вид функции f(x) (точно при n → ∞).

Плотность заряда выражена через квадрат модуля волновой функции и заряд ядра Ze. Рис.6 Квадруполь.

Электрический дипольный момент ядер в основном состоянии равен нулю, т.к. квадрат волновой функции основного состояния ядра является четной функцией координат, z – нечетная функция. Интеграл по трехмерному пространству от произведения четной и нечетной функций всегда равен 0. Первый момент n = 1 распределения заряда не добавляет информации об этом распределении.

Для ядра собственный квадрупольный момент Q₀ определяют в системе координат, связанной с ядром (ось ζ направлена вдоль спина) Рис.7 Форма ядра.

При отличии от нуля квадрупольного электрического момента в неоднородном электрическом поле происходит расщепление спектральных линий за счет дополнительной энергии взаимодействия этого момента с полем

Несферичность ядра проявляется также в наличии линий вращательного спектра как в молекулах. Рис.9 Дейтрон.

Четность. Симметричен ли мир?

Представим себе такую ситуацию: Вы летите на космическом корабле к планете, с жителями которой установлена связь. В пути произошла поломка, и Вы просите жителей планеты изготовить деталь, чертеж которой передали. Как указать, что резьба на винтах должна быть правая? Возможно ли это?

Повторная операция пространственной инверсии переводит волновую функцию ψ(х,у,z) саму в себя:

Отсюда следует p 2 = 1 и p = ±1.

В случае сильных и электромагнитных взаимодействий четность сохраняется (закон сохранения четности). Если система была, например, в четном состоянии, то при взаимодействии она и будет оставаться в этом состоянии. Это накладывает ограничение на возможные процессы.

Рассмотрим пример ядерной реакции с двумя вариантами конечного состояния

Ядро 8 Be распадается на две α-частицы за время τ

При малых энергиях взаимодействия происходят при l = 0, т.е. четность начального состояния -1. α-частицы имеют положительную четность. Следовательно, вариант α + α подавлен из-за не сохранения четности.

При наложении магнитного поля интенсивность излучения отдельных спектральных линий остаётся симметричной относительно плоскости, перпендикулярной полю, хотя и перестаёт быть одинаковой во всех направлениях. Излучение вдоль поля такое же, как и в противоположном направлении. Если представить себе установку для наблюдения эффекта Зеемана в виде кругового проводника с током и с образцом, помещенным в центре круга, то зеркальная симметрия этой установки становится очевидной.

Рис.9 β-распад 60 Co в магнитном поле.

Таким образом было доказано, что в слабых взаимодействиях четность не сохраняется.

Есть возможность отличить правое от левого!

Следует помнить, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета.

Капельная модель ядра

Когда мы не можем начать изучение физического явления с основополагающих принципов (они неизвестны), мы ищем какое-либо хорошо изученное явление с подобными свойствами и на основе известного развиваем модель неизвестного. Пример: планетарная модель атома Н.Бора.

Пока знаний недостаточно, чтобы построить точную теорию атомного ядра. Создано большое число моделей атомного ядра. Каждая из них объясняет ряд свойств ядра. Ни одна, к сожалению, не объясняет всей совокупности экспериментальных фактов.

В основе модели жидкой капли (Нильс Бор, 1936 г.) служит сходство ядерной материи с жидкостью. К таким свойствам следует отнести: несжимаемость ядра, постоянство ядерной плотности: ρ

Соображения, которые привели к получению этой формулы, приведены в лекции Введение. Энергия связи ядра. Массы и размеры ядер.

Первое слагаемое говорит о том, что, если нуклоны как молекулы в жидкости взаимодействуют только с ближайшими соседями, энергия связи пропорциональна числу нуклонов. Нуклоны на поверхности слабее связаны с остальными, энергию поверхностного натяжения надо вычесть. Это второе слагаемое. Отталкивание протонов уменьшает энергию связи (третье слагаемое). Последние два слагаемых добавлены, чтобы учесть, что минимальна энергия при равенстве числа протонов и нейтронов, и спаривание нуклонов (они не вытекают из модели жидкой капли).

Формула (5) позволяет по известным A и Z вычислять энергию связи ядра с погрешностью

100 это дает относительную ошибку

Используя формулу (5) с известными коэффициентами можно легко найти условие, связывающее A и Z всех β-стабильных ядер. Действительно, формула (5) при постоянном A дает зависимость массы ядра от его заряда. Эта зависимость имеет параболический характер. Наиболее устойчивое ядро имеет наименьшую массу, и, следовательно, соответствующее ему Z₀ может быть найдено методом определения минимума кривой. Дифференцируя выражение (5) по Z при постоянном A и приравнивая производную к нулю, получим формулу:

Капельная модель позволяет рассмотреть и некоторые свойства ядерных реакций. При попадании в ядро бомбардирующей частицы (протона, нейтрона и т. д.) ее кинетическая энергия в течение очень короткого времени должна перераспределяться между всеми нуклонами ядра. Если новое ядро испытывает распад, то его называют промежуточным, а испускание частицы при распаде рассматривают как процесс, эквивалентный испарению молекулы с поверхности жидкой капли. Очевидно, что этот распад не должен зависеть от того, каким образом было получено промежуточное ядро; в частности, направление скорости испускаемых частиц не должно быть связано с направлением скорости ранее влетевшей частицы. Эта гипотеза о независимости распада промежуточного ядра от способа его образования, обоснованная Н. Бором, получила ряд экспериментальных подтверждений, однако наблюдались и некоторые отклонения.

Оболочечная модель ядра

В природе существует ряд ядер, которые обладают аномально большой энергией связи, т.е. обладают повышенной устойчивостью. Это такие ядра, у которых Z или число нейтронов N = 2, 8, 20, 50, 82, 126. Этот ряд чисел называют «магическим». Особо устойчивы ядра, у которых и Z и N равны магическим числам (дважды магические ядра). Рассмотрим, например, ряд ядер, каждое следующее из которых получается из предыдущего присоединением одного нуклона

Магические ядра имеют много изотопов, их содержание в естественной смеси изотопов повышено. Например, ₂₀ 40 Ca (Z = 20 и N = 20) составляет 97% в естественной смеси, а олово (Z = 50) имеет 10 стабильных изотопов.

Магические ядра имеют очень малые сечения захвата нейтронов (на порядки меньшие, чем у соседних ядер).

Для магических ядер характерно сферически симметричное распределение заряда (квадрупольный момент Q = 0). Рис.10 U(r)ядра.

Теоретические предпосылки модели оболочек.

Чем в атоме обусловлены электронные оболочки? Во-первых, электроны движутся в кулоновском поле ядра U(r). Это поле можно считать центральным, т.е. зависящим только от расстояния от центра. Взаимодействие с ядром является определяющим. Энергия электрона определяется в основном главным квантовым числом n. Разные значения орбитального момента при данном n вносят небольшие изменения в энергии. Плюс для электронов выполняется принцип Паули: в определенном состоянии (заданном набором квантовых чисел) может находиться только один электрон. Совокупность электронов с одним квантовым числом n, имеющих близкие энергии, составляет оболочку. При n = 1 l = 0, а спин может быть ориентирован двояким способом. Получаем, что при n = 1 (К-оболочка) замкнутая оболочка содержит два электрона. И так далее.

30 МэВ) потенциальной ямы. Можно считать, что нуклон движется в среднем (не зависящем от времени) поле, образуемом наложением полей других нуклонов. Радиус действия ядерных сил мал, и суммарный потенциал мало меняется внутри ядра (при переходе от точки к точке внутри ядра) и быстро спадает к краю ядра Ядро примерно шар, и потенциал сферически симметричен U = U(r) (рис.10).

Нуклоны имеют спин 1/2 и подчиняются принципу Паули. Выполнены все условия, приводящие к оболочкам в атомах.

и учетом спин-орбитального взаимодействия

Нуклон сверх заполненной оболочки относительно слабо связан с ядром. Это иллюстрирует таблица, в которой приведены значения энергии связи ядра, приходящейся на 1 нуклон G_я/A, энергия для отрыва нейтрона от ядра E_n, и энергия для отрыва протона E_p.

Объяснение реальных свойств ядер

Вычисление спинов и четностей ядер. Для замкнутой оболочки спин равен нулю, и спин ядра обусловлен только спинами нуклонов вне замкнутой оболочки. Например, ядро 17 O имеет сверх замкнутой оболочки 1 нейтрон (он девятый), находящийся в d_5/2 состоянии. Полный момент его j = 5/2, и спин ядра 5/2, а четность (-1) 2 положительная. Правда тут надо сделать замечание, что параметры потенциала подбирались так, чтобы давать правильные спины и четности определенного ряда ядер.

В рассматриваемой одночастичной модели для нечетных ядер с нечетным A магнитный момент ядра должен быть обусловлен магнитным моментом неспаренной нечетной частицы. В следующей таблице приведены спины и магнитные моменты ядер, у которых заполняется первая оболочка.

Наблюдается довольно хорошее совпадение экспериментальных и теоретических значений магнитных моментов. Чем сложнее ядро, тем труднее становится подсчет μ_теор. Но можно утверждать, что теоретические значения не противоречат экспериментальным.

При этом нейтрон, находящийся в 1s_1/2 состоянии, превращается в протон. Для этого протона есть вакансия в 1s_1/2 состоянии. Такой процесс происходит с большой вероятностью и относится к разрешенным.

При этом 73-й нейтрон, находящийся в 1h_11/2 состоянии, превращается в 51-й протон в 1g_7/2 состоянии. Эти состояния отличаются спинами Δj = 2 и четностью. Такой переход, согласно теории β-распада, относится к запрещенным, характеризующимися большими периодами полураспада. Оболочечная модель правильно предсказывает характер β-распада.

Есть и свойства ядер, которые не объясняются в рамках оболочечной модели. Например, она дает резко заниженные значения квадрупольных моментов. Неудачным будет попытка описать свойства возбужденных ядер, т.к. в этом случае надо отказаться от неизменности состояний при столкновении внутри ядра.

Обобщенная модель ядра

Модель рассматривает заполненную оболочку как остов, и в ее поле вращается дополнительный нуклон. Остов ядра деформируется валентным нуклоном, что приводит к появлению квадрупольного электрического момента ядра Q. Модель правильно описывает поведение квадрупольного электрического момента для разных ядер. В несферических ядрах возможно появление колебательных и вращательных уровней, и их можно рассчитать в рамках модели.

Есть и другие модели ядер. Каждую модель можно использовать лишь в ограниченных пределах.

Если есть какие-либо замечания, напишите мне.

Источник