вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа

Вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. называются комплексно сопряженными.

вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. в тригонометрической и показательной формах.

вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа.

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа.

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа фото. картинка вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть фото вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа. смотреть картинку вычислить значение функции в точке ответ представить в алгебраической форме комплексного числа.

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *