деление комплексных чисел в показательной форме

Правила деления комплексных чисел

Деление комплексных чисел — основные правила

Частным двух комплексных чисел \(z_<1>=a_<1>+b_ <1>i\) и \(z_<2>=a_<2>+b_ <2>\) i называют число z, заданное соотношением: \(z=\frac>>=\frac a_<2>+b_ <1>b_<2>>^<2>+b_<2>^<2>>+\frac b_<1>-a_ <1>b_<2>>^<2>+b_<2>^<2>> i\)

Общий алгоритм для деления комплексных чисел на практике:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В каких формах это можно делать

Комплексные числа делят разными методами, подтвержденными доказательствами. Существуют алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы для подобных операций. В каждом перечисленном случае необходимо использовать определенную формулу.

Формула деления в алгебраической форме

Когда требуется выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, в первую очередь числитель и знаменатель умножают на число, сопряженное к знаменателю. Таким образом, удается исключить комплексность в знаменателе:

Формула деления в тригонометрической форме

Деление в тригонометрической форме подразумевает деление модулей комплексных чисел. После выполнения данной операции определяют разность аргументов:

Формула деления в показательной форме

Показательная форма деления комплексных чисел в тригонометрии предполагает деление модулей и вычисление разности аргументов в экспоненте:

Примеры решения задач

Необходимо найти частное пары комплексных чисел:

\(z_1 = 3+i\) и \(z_2 = 2-3i\)

Заметим, что комплексные числа заданы в алгебраической форме. В связи с этим целесообразно использовать в действиях соответствующую формулу.

Сопряженное комплексное число к знаменателю:

Нужно домножить и разделить на сопряженное комплексное число к знаменателю дроби. Таким образом, получится исключить комплексность в знаменателе:

Далее следует привести подобные слагаемые и записать вывод с ответом:

Требуется выполнить деление комплексных чисел:

Комплексные числа в условии задачи записаны в тригонометрической форме. По этой причине необходимо использовать в расчетах соответствующую формулу. В данном случае следует определить деление модулей и разность аргументов:

Следующим шагом является деление чисел:

Нужно найти частное комплексных чисел:

Решение: Согласно формуле деления в показательной форме определяем разность аргументов и частное модулей:

При подстановке в формулу полученных значений уравнение будет преобразовано следующим образом:

В первую очередь следует домножить числитель и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю:

Данным числом является:

Затем следует перемножить комплексные числа, как алгебраические двучлены, с учетом:

Необходимо найти частное:

\(=2 \cdot\left[\cos \frac<\pi><2>+i \sin \frac<\pi><2>\right]=2 \cdot(0+i)=2 i\)

Необходимо разделить два комплексных числа:

С помощью соответствующей формулы можно записать уравнение:

Ответ: \( z_ <1>\div z_ <2>= 1+i\)

Необходимо вычислить частное комплексных чисел:

\(z_<1>=\sqrt <2>\left( \cos \frac<\pi> <2>+ i \sin \frac<\pi> <2>\right)\)

\(z_<2>=\sqrt <2>\left( \cos \frac<\pi> <4>+ i \sin \frac<\pi> <4>\right)\)

Используя соответствующую формулу, запишем:

\(z_ <1>\div z_ <2>= \frac>> (\cos ( \varphi _ <1>— \varphi _<2>) + i \sin ( \varphi _ <1>— \varphi _<2>)) = \frac<\sqrt<2>><\sqrt<2>> \left( \cos \left( \frac<\pi><2>-\frac<\pi> <4>\right) + i \sin \left( \frac<\pi><2>-\frac<\pi> <4>\right) \right) =\)

\(= 1 \cdot \left( \cos \frac<\pi> <4>+ i \sin \frac<\pi> <4>\right) = \cos \frac<\pi> <4>+ i \sin \frac<\pi><4>\)

Ответ: \( z_ <1>\div z_ <2>= \cos \frac<\pi> <4>+ i \sin \frac<\pi><4>\)

Требуется разделить два комплексных числа:

Используя соответствующую формулу деления комплексных чисел, можно решить уравнение:

Источник

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Тогда оказывается справедливым равенство:

(3)

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Главное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримеры

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

то по формуле (10) получаем:

Источник

Как легко умножать и делить комплексные числа.

Ситуация немного усложняется, если у вас два числа, записанных в алгебраической форме. Однако и здесь разобраться можно за несколько минут. Можно вообще схитрить и сначала перевести числа из алгебраической формы в показательную. А затем поступить так, как описано выше.

Пример умножения двух чисел в алгебраической форме записи:

Трюк в том, что, если умножить любое комплексное число на его сопряженное, то мы всегда получим сумму квадратов двух чисел (можете проверить это, подставив комплексно-сопряженные числа в пример умножения, описанный выше):

Зная это, можно легко делить два числа в алгебраической форме:

Вот и все. Подведем итоги, записав алгоритм действий

Для комплексных чисел в показательной форме при их умножении:

Для комплексных чисел в показательной форме при их делении:

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их умножении:

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их делении:

Источник

Деление комплексных чисел в показательной форме

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник