дифференциальные уравнения со специальной правой частью примеры

Дифференциальные уравнения со специальной правой частью примеры

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: \[\left( x \right) = \left( x \right) + \left( x \right).\] Вместо постоянных \(\) и \(\) будем рассматривать вспомогательные функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right).\) Будем искать эти функции такими, чтобы решение \[y = \left( x \right)\left( x \right) + \left( x \right)\left( x \right)\] удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью \(f\left( x \right).\)

Неизвестные функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right)\) определяются из системы двух уравнений: \[\left\< \begin \left( x \right)\left( x \right) + \left( x \right)\left( x \right) = 0\\ \left( x \right) \left( x \right) + \left( x \right) \left( x \right) = f\left( x \right) \end \right..\]

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

\(f\left( x \right) = \left[ <\left( x \right)\cos\left( <\beta x>\right) + \left( x \right)\sin\left( <\beta x>\right)> \right]>,\) где \(<\left( x \right)>\) и \(<\left( x \right)>\) − многочлены степени \(n\) и \(m,\) соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

В случае \(1,\) если число \(\alpha\) в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель \(,\) где \(s\) − кратность корня \(\alpha\) в характеристическом уравнении.

В случае \(2,\) если число \(\alpha + \beta i\) совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель \(x.\)

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида \[ <\left( x \right)>\;\;\text<и/или>>\;\; <\left[ <\left( x \right)\cos\left( <\beta x>\right) + \left( x \right)\sin\left( <\beta x>\right)> \right]>,> \] то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

Источник

7.1. Уравнения с правой частью специального вида

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

, (7.1)

Где , , …, , – вещественные числа.

Уравнение (7.1) можно проинтегрировать рассмотренным ранее методом вариации произвольных постоянных, который сводится к составлению и решению системы линейных уравнений относительно функций, а также к интегрированию этих функций. Таких трудоемких операций можно избежать в некоторых случаях благодаря особому виду уравнения (7.1).

Поскольку общее решение соответствующего однородного уравнения (5.1) мы уже умеем находить, то получение общего решения уравнения (7.1) в силу теоремы подраздела 6.2 сводится к нахождению какого-нибудь частного его решения. Оказывается, что эта задача решается весьма просто при некоторых специальных видах функции в правой части уравнения (7.1). Далее рассматриваются следующие случаи.

1. Уравнения с правой частью в виде полинома.

В этом случае правая часть уравнения (7.1) представима в виде

,

Где – многочлен степени с известными коэффициентами.

2. Правая часть в виде произведения полинома и экспоненты.

В данном случае правая часть уравнения (7.1) имеет вид

,

Где – многочлен степени с известными коэффициентами, – некоторое число.

3. Правая часть в виде произведения полинома, экспоненты и гармонической функции.

В этом случае правая часть уравнения (7.1) имеет один из видов:

, ,

,

Где – многочлен степени с известными коэффициентами, и – многочлены известных степеней с известными коэффициентами, и – некоторые числа.

Для всех этих случаев на основании значений корней характеристического многочлена уравнения (7.1) и вида его правой части можно записать частное решение с точностью до коэффициентов входящих в него многочленов. Значения этих коэффициентов находятся путем составления и решения системы линейных алгебраических уравнений. Такой метод нахождения частного решения уравнения (7.1) называется Методом неопределенных коэффициентов.

Источник

Дифференциальные уравнения со специальной правой частью примеры

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

где a₁, …, a_n — действительные числа, α — действительное число, P_m (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

где Q_m (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

где α и b — действительные числа, P₁ и P₂ — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

Укажем вид частного решения уравнения (14.2) в двух случаях:

где Q₁ и Q₂ — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P₁ и P₂ тождественно равен нулю.

f (x) = 8e3x ⇒ α = 3, β = 0, s = 0.
При этом число α ±βi = 3 не является корнем характеристического урав-
нения. Поэтому частное решение y

неоднородного уравнения надо искать
в виде

Источник

Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Зміст

4.1 Основные определения

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Если f ( x ) =0, уравнение (4.1) называется однородным, в противном случае – неоднородным. Например, уравнения

– линейные однородные дифференциальные уравнения (сокращенно ЛОДУ), т.к. их правые части равны нулю. Уравнения (4.2) и

– ЛНДУ (линейные неоднородные дифференциальные уравнения).

4.2 Решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

По определению, ЛОДУ 2-го порядка имеет вид

План нахождения общего решения этого уравнения:

1) Написать характеристическое уравнение для (4.3)

3) В зависимости от значений p ₁ и p ₂ найти общее решение y :

ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

5.1 Теорема об общем решении ЛНДУ

По определению линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) 2-го порядка имеет вид

Сопоставим ему однородное уравнение

Теорема. Общее решение уравнения (5.1) есть сумма общего решения уравнения (5.2) и частного решения уравнения (5.1):

где y _O.O. – общее решение соответствующего однородного уравне­ния (5.2), а y _Ч.Н. – частное решение уравнения (5.1).

Здесь о.о. означает «общее однородное», а ч.н. – «частное неоднородное».

Способ нахождения решения y _O.O. указан в п. 4.2. Способ нахождения y _Ч.Н. зависит от правой части f ( x ) уравнения (5.1). Мы рассмотрим три случая:

5.2 Уравнения с правой частью вида f(x) = Ae^γx

В этом случае уравнение (5.1) имеет вид

где A и γ – числа. Тогда его частное решение

5.3 Уравнения с правой частью вида P(x)e^αx

Пример. Решить уравнение y’ ‘ + 3 y’ = 9 x

2) Так как α = 0 совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то k = 1.

5.4 Уравнения с правой частью вида (Pcosβx+Qsinβx)e^αx

Рассмотрим решение ЛНДУ с правой частью вида

Общее решение ЛНДУ находят по формуле (5.3). Нахождение ее слагаемого y O.O. рассмотрено в разделе 4.2, а слагаемое y _Ч.Н. для правой части вида (5.7) имеет вид

Правая часть уравнения имеет вид (5.10) с P = 2, Q = 6, α = 0, β = 1.

2) Так как α + i β = i не равно ни одному корню характеристического уравнения, то k = 0.

3) По формуле (5.8) частное решение

4) Найдем числа A и B (неопределенные коэффициенты). Для этого найдем производные y’ _Ч.Н. и y» _Ч.Н. :

и подставим их и y _Ч.Н. в левую часть данного уравнения. Получим

Складывая и вычитая уравнения, находим

5) Подставляем эти значения в формулу п.3):

6) Общее решение данного уравнения по формуле (5.3) есть

Принцип суперпозиции. Решение системы ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

6.1 Принцип суперпозиции

Теорема. Общее решение уравнения

6.3 Решение системы ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом исключения неизвестных

Суть этого метода решения системы (6.2) такова: из одного уравнения системы выразить x через y (или y через x ), подставить в другое уравнение и решить полученное ЛОДУ с одним неизвестным. Более подробно план решения таков.

3) Подставить найденные выражения для y и в другое уравнение системы.

4) Решить полученное ЛОДУ (найти x ).

6) Записать общее решение системы.

Источник

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Определение общего решения по известному частному решению

Если неоднородная часть может быть представлена в виде суммы функций:
,
то частное решение также может быть представлено в виде суммы частных решений:
,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций :
.

Как правило, легче найти частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получить частное решение для всего уравнения суммированием полученных частных решений.

Метод решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Это уравнение можно решить общим методом понижения порядка. Однако существует более простой способ, основанный на том, что частное решение такого уравнения имеет определенный вид. Суть этого метода заключается в следующем.

Далее устанавливаем вид частного решения исходного уравнения (2). Оно выражается через многочлены, экспоненту, синусы и косинусы, которые входят в частное решение с неизвестными коэффициентами. Установив вид частного решения, подставляем в уравнение (2). Приравнивая левую и правую части, находим неизвестные коэффициенты.

После этого общее решение исходного уравнения (2) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
.

Установление вида частного решения

Частные случаи

Неоднородность в виде многочлена

Если характеристическое уравнение (4) имеет нулевой корень кратности p :
,
то частное решение имеет вид:
.

Неоднородность в виде произведения экспоненты и многочлена

Если среди корней характеристического уравнения нет действительного корня со значением α :
,
то частное решение является произведением многочлена степени s и экспоненты:
.

Если характеристическое уравнение (4) имеет действительный корень α кратности p :
,
то частное решение имеет вид:
.

Неоднородность в виде суммы произведений многочленов на косинус и синус

Источник