дифуры со специальной правой частью
Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
| Сайт: | Навчальний сайт ХНАДУ |
| Курс: | Вища Математика (2 семестр) Вишневецький А.Л. |
| Книга: | Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами |
Зміст
4.1 Основные определения
Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
Если f ( x ) =0, уравнение (4.1) называется однородным, в противном случае – неоднородным. Например, уравнения
– линейные однородные дифференциальные уравнения (сокращенно ЛОДУ), т.к. их правые части равны нулю. Уравнения (4.2) и
– ЛНДУ (линейные неоднородные дифференциальные уравнения).
4.2 Решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
По определению, ЛОДУ 2-го порядка имеет вид
План нахождения общего решения этого уравнения:
1) Написать характеристическое уравнение для (4.3)
3) В зависимости от значений p 1 и p 2 найти общее решение y :
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
5.1 Теорема об общем решении ЛНДУ
По определению линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) 2-го порядка имеет вид
Сопоставим ему однородное уравнение
Теорема. Общее решение уравнения (5.1) есть сумма общего решения уравнения (5.2) и частного решения уравнения (5.1):
где y O.O. – общее решение соответствующего однородного уравнения (5.2), а y Ч.Н. – частное решение уравнения (5.1).
Здесь о.о. означает «общее однородное», а ч.н. – «частное неоднородное».
Способ нахождения решения y O.O. указан в п. 4.2. Способ нахождения y Ч.Н. зависит от правой части f ( x ) уравнения (5.1). Мы рассмотрим три случая:
5.2 Уравнения с правой частью вида f(x) = Ae^γx
В этом случае уравнение (5.1) имеет вид
где A и γ – числа. Тогда его частное решение
5.3 Уравнения с правой частью вида P(x)e^αx
Пример. Решить уравнение y’ ‘ + 3 y’ = 9 x
2) Так как α = 0 совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то k = 1.
5.4 Уравнения с правой частью вида (Pcosβx+Qsinβx)e^αx
Рассмотрим решение ЛНДУ с правой частью вида
Общее решение ЛНДУ находят по формуле (5.3). Нахождение ее слагаемого y O.O. рассмотрено в разделе 4.2, а слагаемое y Ч.Н. для правой части вида (5.7) имеет вид
Правая часть уравнения имеет вид (5.10) с P = 2, Q = 6, α = 0, β = 1.
2) Так как α + i β = i не равно ни одному корню характеристического уравнения, то k = 0.
3) По формуле (5.8) частное решение
4) Найдем числа A и B (неопределенные коэффициенты). Для этого найдем производные y’ Ч.Н. и y» Ч.Н. :
и подставим их и y Ч.Н. в левую часть данного уравнения. Получим
Складывая и вычитая уравнения, находим
5) Подставляем эти значения в формулу п.3):
6) Общее решение данного уравнения по формуле (5.3) есть
Принцип суперпозиции. Решение системы ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
6.1 Принцип суперпозиции
Теорема. Общее решение уравнения
6.3 Решение системы ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом исключения неизвестных
Суть этого метода решения системы (6.2) такова: из одного уравнения системы выразить x через y (или y через x ), подставить в другое уравнение и решить полученное ЛОДУ с одним неизвестным. Более подробно план решения таков.
3) Подставить найденные выражения для y и в другое уравнение системы.
4) Решить полученное ЛОДУ (найти x ).
6) Записать общее решение системы.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Оговоримся, что аналитическое решение подобных уравнений иногда неосуществимо, тогда используются приближенные методы. Но, конечно, некоторые случаи дают возможность определить общее решение.
Общее решение ЛОДУ и ЛДНУ
— некоторое частное решение исходного ЛНДУ.
Методы решения ЛОДУ и ЛНДУ
Укажем все существующие варианты и приведем примеры на каждый.
Решение
Решение
Ответ: общим решением заданного ЛОДУ станет: y 0 = e 2 x · C 1 + C 2 · x + C 3 · x 2 + C 4 · x 3
Общее же решение запишем так:
Решение
Общим решением ЛОДУ будет:
Решение
Составим запись характеристического уравнения, заданного ЛОДУ, и определим его корни:
Ответ: общее решение заданного ЛОДУ: y 0 = e x · cos 2 x · ( C 1 + C 3 · x ) + e x · sin 2 x · ( C 2 + C 4 · x )
Решение
Общее решение в таком случае составляется как сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного ЛНДУ: y = y 0 + y
, т.е. частного решения ЛНДУ порядка n с постоянными коэффициентами.
Приведем все способы нахождения y
Коэффициенты, которые неизвестны, определяются из равенства y
Подробности нахождения решений уравнений в каждом из указанных случаев можно изучить в статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, поскольку схемы решения ЛНДУ степени выше второй полностью совпадают.
Когда функция f ( x ) имеет любой иной вид, общее решение ЛНДУ возможно определить, используя метод вариации произвольных постоянных. Его разберем подробнее.
Решение
C ‘ 1 ( x ) · y 1 + C ‘ 2 ( x ) · y 2 + C ‘ 3 ( x ) · y 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · y ‘ 1 + C ‘ 2 ( x ) · y ‘ 2 + C ‘ 3 ( x ) · y ‘ 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · y » 1 + C ‘ 2 ( x ) · y » 2 + C ‘ 3 ( x ) · y » 3 = 2 x ⇔ C ‘ 1 ( x ) · 1 + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ + C ‘ 3 ( x ) · y 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · 1 ‘ + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x ‘ = 0 C ‘ 1 ( x ) · 1 ‘ ‘ + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ ‘ + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x ‘ ‘ = 2 x ⇔ C ‘ 1 ( x ) · 1 + C ‘ 2 x · e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x = 0 C ‘ 1 ( x ) · 0 + C ‘ 2 ( x ) · 2 e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · 3 e 3 x = 0 C ‘ 1 ( x ) · 0 + C ‘ 2 ( x ) · 4 e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · 9 e 3 x = 2 x
Решаем, используя метод Крамера:
Ответ: искомым общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:
Как решать дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения бывают обыкновенными и в частных производных. В этой статье мы будем говорить об обыкновенных уравнениях и о том, как их решать.
Основные понятия и определения
Определения
Типы уравнений
Алгоритм решения
ОБЯЗАТЕЛЬНО! Чтобы успешно решать дифференциальные уравнения необходимо уметь находить интегралы. Поэтому, если вы забыли данную тему, то её нужно вспомнить!
Дифференциальные уравнения первого порядка
ДУ с разделяющимися переменными
СОВЕТ: Если не удается определить тип диффура первого порядка, то рекомендуем мысленно попытаться разделить переменные иксы от игреков. Возможно перед вами хитрое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Алгоритм нахождения общего решения:
После замены производной игрека исходное уравнение приобретает такой формат:
Навешиваем знак интеграла на левую и правую часть, а затем решаем интегралы:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Однородные ДУ
Решается по следующему алгоритму:
Интегрируем обе части:
$$\lambda x \cdot \lambda y + (\lambda y)^2 = (2 (\lambda x)^2 + \lambda x\cdot \lambda y)y’$$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Линейные неоднородные ДУ
Алгоритм метода Бернулли:
Алгоритм метода вариации произвольной постоянной:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
ДУ Бернулли
ДУ в полных дифференциалах
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Дифференциальные уравнения второго порядка
ДУ допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка бывают двух видов:
Линейные однородные ДУ с постоянными коэффицентами
В зависимости от получившихся корней имеем общее решение в различных видах:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами
Метод Лагранжа
Данный метод позволяет решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами даже в тех, случаях, когда правая часть уравнения не подходит под табличный вид. В этом случае целесообразно применить данный метод решения.
7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
y ′′+ a 1 y ′+ a 2 y = f ( x )
и соответствующее ему однородное уравнение (ЛОДУ)
Пусть y 1 и y 2 – фундаментальная система решений уравнения (7.3), тогда
y = С 1 y 1 + С 2 y 2
есть общее решение уравнения (7.3).
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ).
Общее решение неоднородного уравнения (7.2) равно сумме общего решения соответствующего однородного (7.3) и частного решения неоднородного уравнения (7.2):
также обращает это уравнение в тождество.
Имеем два тождества:
+ a 1 y оо + a 2 y оо ≡ 0
( y чн ) ′′+ a 1 ( y чн ) ′+ a 2 y чн ≡ f ( x )
( y оо + y чн ) + a 1 ( y оо + y чн ) + a 2 ( y оо + y чн ) ≡ f ( x ) или
y он = y оо + y чн является общим решением
7.1. Нахождение частного решения ЛНДУ со специальной правой частью
В том случае, когда правая часть дифференциальных уравнений (7.1) и (7.2) в общем случае имеет вид
коэффициентов (или метод подбора).
Частное решение y чн
дифференциального уравнения (7.2) зависит в
каждом конкретном случае от вида функции f ( x ) и от выражения α ± i β
уравнения, составленного для соответствующего ЛОДУ (7.3).
( r – означает сколько раз α ± i β совпадет с корнями характеристического уравнения). Тогда частное решение находится в виде
— многочлен нулевой степени,
многочлен первой степени,
многочлен второй степени,
многочлен 3-й степени,
тогда частное решение y чн имеет
Пример 1. Найти общее решение уравнения
y ′′− 6 y ′+ 9 y = 5 e 3 x
Его характеристическое уравнение k 2 − 6 k + 9 = 0 имеет корни k 1 = k 2 = 3. Общее решение однородного уравнения при равных корнях характеристического уравнения имеет вид
Дважды дифференцируем y чн :
( y чн ) ′ = 2 Axe 3 x + 3 Ax 2 e 3 x
( y чн ) ′′ = 2 Ae 3 x + 6 Axe 3 x + 6 Axe 3 x + 9 Ax 2 e 3 x =
= 2 Ae 3 x + 12 Axe 3 x + 9 Ax 2 e 3 x
и подставляем полученные выражения в данное уравнение:
2 Ae 3 x + 12 Axe 3 x
В результате получим
= 5 e 3 x 2 A = 5 A = 2,5.
Ответ: y = e 3 x ( C + C
Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения
если y (0) = 1, y (0) = 2.
Его характеристическое уравнение:
Общее решение ЛОДУ
при различных корнях характеристического
уравнения имеет вид
Правая часть данного уравнения:
α = 0, β = 1 α ± i β = ± i
— не являются корнями характеристического
y чн = − A sin x + B cos x
чн в данное уравнение, будем иметь
− A cos x − B sin x − A sin x + B cos x −
Приравнивая коэффициенты при сosx
и sinx в левой и правой частях,
общее решение данного уравнения.
Используя начальные условия, найдем С 1 и С 2
Подставляя значения С 1 и С 2 в общее решение, получим частное
7.2. Принцип наложения (суперпозиции)
Этот метод основан на следующей теореме:
Доказательство. Рассмотрим два уравнения:
Пусть y 1 чн ( x ) и y 2 чн ( x ) являются частными решениями этих уравнений соответственно, тогда имеем два тождества:
( y 2 чн ) ′′+ a 1 ( y 2 чн ) ′+ a 2 y 2 чн ≡ f 2 ( x )
[( y 1 чн ) ′′+ ( y 2 чн ) ′′ ] + a 1 [( y 1 чн ) ′+ ( y 2 чн ) ′ ] +
+ a 2 ( y 1 чн + y 2 чн ) ≡ f 1 ( x ) + f 2 ( x )
Следовательно, y чн = y 1 чн + y 2 чн является решением уравнения
Виды дифференциальных уравнений
Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.
В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.
Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.
Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.
Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».
Дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )
Начнем с примеров таких уравнений.
Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )
Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x
К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:
В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.
Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )
Приведем примеры таких уравнений.
Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a
Приведем примеры подобных уравнений.
К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:
Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.
Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».
Дифференциальные уравнения второго порядка
Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:
исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y
Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.
Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:
Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y
частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y
нам поможет метод вариации произвольных постоянных.
Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.
Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».
Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y
целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.
Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».
Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y
Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».
Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2
Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.