дискретная математика отношения между множествами
Основы дискретной математики
Привет, хабр. В преддверии старта базового курса «Математика для Data Science» делимся с вами переводом еще одного полезного материала.
Об этой статье
Эта статья содержит лишь малую часть информации по заявленной теме. Рассматривайте ее как вводный курс перед началом всестороннего изучения предмета. Надеюсь, вы найдете в ней полезную информацию. Знание дискретной математики помогает описывать объекты и задачи в информатике, особенно когда дело касается алгоритмов, языков программирования, баз данных и криптографии. В дальнейшем я планирую подробнее раскрыть темы, затронутые в этой статье. Приятного чтения!
ЧТО ТАКОЕ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА?
Это область математики, изучающая объекты, которые могут принимать только уникальные отдельные значения.
Мы рассмотрим пять основных разделов в следующем порядке.
ЛОГИКА
Что такое логика?
Это наука о корректных рассуждениях. Мы будем использовать приемы идеализации и формализации. Неформальная логика изучает использование аргументов в естественном языке.
Формальная логика анализирует выводы с чисто формальным содержанием. Примерами формальной логики являются символическая логика и силлогистическая логика (о которой писал Аристотель).
Начнем с азов. Рассмотрим следующее высказывание на естественном языке:
«Если я голоден, я ем».
Пусть «голоден» будет посылкой A, а «ем» — следствием B. Попробуем формализовать:
A => B (то есть из A следует B)
NB. Посылка и следствие являются суждениями.
Логические выражения
Для нас важна форма, а НЕ содержание. Значение будет истинным, если оно соответствует форме.
Например, 10 4 — ИСТИНА.
Логические операции
Суждение P — это утверждение, которое может быть как истинным, так и ложным.
Обозначим истинное значение P единицей (1), а ложное значение P нулем (0).
Существует другое суждение; обозначим истинное значение Q единицей (1), а ложное значение Q нулем (0).
Рассмотрим логические операции с суждениями, значение которых истинно. Они могут сами образовывать истинные значения путем выполнения соответствующих операций над истинными значениями.
Отношения. Часть I
Формальная теория моделирования использует алгебраические отношения, включая их в сигнатуры моделей алгебраических структур, которыми описывает реальные физические, технические и информационные объекты, процессы их функционирования. К числу последних я отношу, например, базы данных (реляционные базы данных (РеБД)). Не менее важной считаю область принятия решений, которая состоит из двух основных статистической и алгебраической, основанной целиком на теории отношений. Образовательный уровень специалистов в этой теории близок к нулю.
Откройте учебник по специализации и там увидите в лучшем случае об эквивалентностях, которые авторами трактуются весьма своеобразно. Одного защитившегося уже ДТН спрашиваю: Вы рассматриваете отношение эквивалентности на указывая ни носителя отношения, ни конкретного отношения, как оно у Вас выглядит в записи? Ответ: как выглядит — обыкновенно. Выясняется, что он обо всем этом имеет весьма смутное представление.
Публикаций по проектированию РеБД, кроме иностранных статей назвать затрудняюсь. В 90-х годах был оппонентом, писал отзыв на диссертацию, где рассматривались и иерархические, и сетевые, и реляционные БД. Но как-то год, полтора назад опять на отзыв пришла работа, автор пишет уже только о РеБД, о нормализации отношений БД, но теоретической новизны не показал. Во многих ВУЗах читается курс о базах данных, но не о том, как их создать, создать СУБД, а как правило, о том как эксплуатировать готовую (зарубежную) БД.
Преп. состав не готов научить специалистов IТ-шников создавать отечественные СУБД, ОS, языки программирования, я уж не говорю о БИС, СБИС, заказных БИС. Здесь, по-видимому, поезд ушел давно и надолго. Так что напрасно надуваются у некоторых щеки от гордости (читай снобизма) это видно по комментариям к чужим публикациям, покажите сами, что можете, а не балуйтесь никчемными переводами и перепевками чужого ради предмета гордости — «рейтинга» и «кармы». Сказывается не только отсутствие креатива, но простой образованности и воспитания.
Вторая предметная область неразрывно, связанная с отношениями, — принятие решений. Каждый из нас постоянно занят этим. Мы без решения осознанного или неосознанного пальцем не пошевелим. Мало кто понимает, а еще меньше пишет о решениях. В основе решения любого ЛПР (лица, принимающего решение) лежит предпочтение альтернатив. А моделью предпочтения как раз и является такой тип отношений, который назван «пространством отношений предпочтения». Но кто их изучает. Когда я пришел к «специалисту» по отношениям с вопросом о количестве отношений каждого типа, он не зная ответа, «убил» встречным вопросом, а зачем это Вам?
Понятие отношения
Думаю, что термин отношение знаком каждому читателю, но просьба дать определение поставит большинство в тупик. Причин для этого много. Они чаще всего в преподавателях, которые, если и использовали отношения в процессе преподавания, внимания на этом термине не заостряли, запоминающихся примеров, по-видимому, не приводили.
В моей памяти есть несколько на всю жизнь запомнившихся примеров. Об отображениях и об отношениях. Расскажу вначале об отображениях. Имеется два ведерка с краской. В одном белая в другом — черная. И есть коробка с кубиками (очень много). Грани имеют рельефные номера. Сколькими способами можно раскрасить грани кубиков в два цвета? Ответ неожиданный — столькими, сколько 6-разрядных двоичных чисел, или 2 6 = 64. Поясню подробнее ф: 2→6 отображаются 2 объекта в 6. Каждая строчка таблицы- дискретное отображение фi.
Построим таблицу с 6 колонками и краскам сопоставим число белая — нуль, черная — единица, а граням кубика колонки. Начинаем с того, что все 6 граней белые — это 6-мерный нулевой вектор. Вторая строчка одна грань черная, т. е. младший разряд заполнен 1. и так до исчерпания 6-разрядных двоичных чисел. Кубики ставим в общий длинный ряд. У каждого из них как бы появился номер от 0 до 63.
Теперь отображение наоборот. Пачка листов бумаги (много) и 6 красок (фломастеры).
Фломастерами разного цвета надо пометить обе стороны бумажных листов. Сколько листов потребуется. Ответ f: 6 → 2 или 6 2 =36. Речь идет о произвольных отображениях.
Получили 9 упорядоченных пар элементов из А×А, в паре первый элемент из первого сомножителя, второй — из второго. Теперь попробуем получить все подмножества из декартова квадрата А×А. Вначале простенький пример.
Подмножества будут содержать из А×А разное количество элементов (пар): одну, две, три и так до всех 9 пар, включаем в этот список и пустое множество (Ø). Сколько же получилось подмножеств? Много, а именно 2 9 = 512 элементов.
Определение. Любое подмножество декартова произведения (у нас квадрата) множества называется отношением. Заметим, в произведении используется одно и то же множество. Если множества разные, возникает не отношение, а соответствие.
Символ отношения ставится слева от элементов R(x, y) или между ними x R y; х, у є А.
Определение Множество всех подмножеств множества А называется булеаном. Наш булеан состоит из 2 |А×А| элементов, здесь|А×А| — мощность множества.
Отношения можно задавать в разном представлении над А=
Рисунок 1.2. а)Матрица 4×4 бинарного отношения б) нумерация клеток Матрицы
Здесь используются номера клеток, заполненные единицами на рис. 1б)
— Векторное представление. Двоичный вектор для представления бинарного отношения формируется из элементов <0,1>следующим образом:
Рассмотренный пример задания отношения в векторной форме будет иметь следующий вид:
— Представление графом. Поставим в соответствие элементам множества
А =
Проведем в графе дугу от (xi) к (xj) тогда и только тогда, когда пара (xi,xj) є R (при i = j дуга (xi,xi) превращается в петлю при вершине (xi). Пример (рис. 1а) представления бинарного отношения A[4×4] графом изображен на рис.2.2.
Рисунок 2.2. Представление отношения ориентированным графом
Каталог бинарных отношений (n = 3)
Большое видится на расстоянии. Чтобы почувствовать отношения их разнообразие, мощность мне пришлось вручную создать каталог бинарных отношений над множеством из 3-х элементов, который включил все (боле 500 отношений) отношения. После этого «дошло» или «зашло»об отношениях.
Очевидно, что в каталог войдут 2 3×3 = 2 9 отношений, и каждое из них снабдим набором присущих им свойств. Ниже (табл. 3) приводится полный список всех 512 отношений над множеством А, |A| = 3, из трех элементов. Приводятся также результаты подсчета количества отношений (табл. 2), представленных сочетаниями номеров клеток декартова квадрата 3×3, различных подклассов для различных значений мощности множества-носителя (n = 3). Для каждого отношения указаны его основные свойства и принадлежность типу (табл. 3). Сокращения, используемые в каталоге раскрываются таблицей 2
Таблица 2. Количественные характеристики каталога при разных n
Сущность производимых операций с отношениями и их технику удобно пояснять на примерах, которые особенно просты и понятны для бинарных отношений. В операциях могут участвовать, два и/или более отношений. Операции, выполняемые над отдельными отношениями – унарные операции. Например, операции обращения (получение обратного) отношения, взятие дополнения, сужение (ограничение) отношения. Как пользоваться каталогом поясним примером примером.
Пример 2. Рассмотрим строку Nпр =14 таблицы каталога. Она имеет вид
Первые 9 символов строки (справа от равенства) — это двоичный вектор, соответствующий сочетанию из 9 по 2, а именно, номер первой клетки (отсчет слева направо) номер 5-й клетки матрицы бинарного отношения, т.е. элементы а1а1= а2а2 =1. Это сочетание имеет порядковый номер Ncч = 4 и сквозной номер Nпр = 14 в списке всех отношений. В остальных позициях этой строки стоят либо нули, либо единицы. Нули свидетельствуют об отсутствии свойства, соответствующего названию колонки нуля, а единицы – наличие такого свойства у рассматриваемого отношения.
Свойства и количественные характеристики отношений
Рассмотрим наиболее важные свойства отношений, которые позволят в дальнейшем выделить типы (классы) отношений, применяющиеся в реляционных базах данных в теории выбора и принятия решений и других приложениях. Далее будем обозначать отношение символом [R,Ω]. R- имя отношения, Ω — множество-носитель отношения.
1. Рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в отношении R сам с собой (рис. 2.3). Граф рефлексивного БО имеет во всех вершинах петли (дуги), а матрица отношения содержит (Е) единичную главную диагональ.
Рисунок 2.3. Рефлексивное отношение
2. Антирефлексивность. Отношение [R,Ω] называется антирефлексивным, если ни один элемент из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.4). Антирефлексивные отношения называют строгими.
Рисунок 2.4. Антирефлексивное отношение
3. Частичная рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется частично
рефлексивным, если один или более элементов из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.5).
4. Симметричность. Отношение [R,Ω] называется симметричным, если вместе с упорядоченной парой (х, у) отношение содержит и упорядоченную пару (у, х) (рис. 2.6).
7. Транзитивность. Отношение [R,Ω] называется транзитивным, если для всяких упорядоченных пар (х, у),(у, z) є R, в отношении R найдется упорядоченная пара (х, z) є R или если R×R⊆R (рис. 2.9).
8. Цикличность. Отношение [R,Ω] называется циклическим, если для его элементов
9. Ацикличность. Отношения, в которых отсутствуют контуры называются, ациклическими. Для ациклических отношений выполняется соотношение R k ∩R = Ø для любого k > 1 (рис. 2.11).
10. Полнота (связность). Отношение [R,Ω] называется полным (связным), если для любых двух элементов (у, z) є Ω один из них находится в отношении с другим (рис 2.12). Линейность. Линейные отношения – это минимально полные отношения.
Рисунок 2.12. Линейное отношение
Итак, нами установлено, что отношения, как математические объекты, обладают определенными свойствами, определение которых приведены ранее. В следующем пункте рассмотрим существо и проявление некоторых свойств:
Количественные соотношения таких дискретных пространств представляют большой как
теоретический, так и практический интерес. Ниже рассматриваются некоторые аспекты количественных характеристик, связанных со свойствами отношений разных типов.
Операции над отношениями
Как и большинстве систем счисления с отношениями выполняются операции:
Выше было введено понятие бинарного отношения, как подмножества упорядоченных пар декартова произведения множеств, а также были рассмотрены свойства отношений. Кроме того, были упомянуты бинарные отношения и матричное представление отношений. Рассмотрим теперь понятие отношения более подробно, кроме того, рассмотрим основные операции бинарных отношений, наиболее важные из всего их множества для отношений.
Для них должны выполняться следующие условия:
Унарные операции над отношениями
9. Двойственное отношение (P d ) к отношению Р – отношение, образованное всеми теми парами, которые принадлежат универсальному отношению и не принадлежат обратному отношению (дополнение к обратному):
Двойственное и обратное отношения в совокупности содержат все пары декартова произведения A×A и не имеют общих пар, они также как и отношения Р и P образуют разбиение A×A
Сужение (РА1). Отношение [R1, A1] называется сужением отношения [R, A] на множество Ω1, если Ω1⊆ Ω и R1=R∩Ω1×Ω1. Отношение РА1 на множестве А1 ⊆ А – отношение РА1 на множестве А1, образованное всеми теми парами, которые принадлежат отношению Р и одновременно входят в состав декартова произведения А1 × А1. Другими словами, РА1 – пересечение отношений Р и А1×А1. Пусть А1 =
Операции, требующие не менее двух отношений – n-арные (n-местные). В таких операциях могут участвовать отношения только одинаковой арности. Примеры таких операций: пересечение, объединение, разность, симметрическая разность отношений и некоторые другие. Если в операции используется более чем два отношения, то она выполняется последовательно для двух первых, а затем для итогового отношения и третьего и т.д.
Иначе говоря, эти операции определены для двух отношений. При операциях над отношениями предполагается, что области задания отношений (операндов и результата) совпадают, арности отношений совпадают, и результатом операции снова является отношение той же арности. В качестве примеров будем рассматривать операции над бинарными отношениями P и Q, заданными на дискретном множестве
А =
1. Пересечение (P ∩ Q) – отношение, образованное всеми теми парами элементов из А, которые входят в оба отношения, т.е. общие для P и Q,
P ∩ Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P) & ((ai aj) є Q)>.
Матрица отношения P ∩ Q получается как булево пересечение матриц P и Q:
При отсутствии таких общих пар говорят, что пересечение отношений пусто, т.е. оно является нуль-отношением. Пересечением отношений R1 и R2 (R1∩R2 ) называется отношение, определяемое пересечением соответствующих подмножеств из А×А.
2. Объединение (PUQ). Объединением отношений R1 и R2 (R1UR2 ) называется отношение, определяемое объединением соответствующих подмножеств из А×А. Отношение, образованное всеми парами, составляющими или отношение P, или отношение Q, т.е. парами, принадлежащими хотя бы одному из отношений (связка ∨ — или объединительная)
P U Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P) ∨ ( (ai aj) є Q)>.
Если в множестве А×А нет других пар, не вошедших в отношение PUQ, а пересечение их нулевое, то говорят, что отношения P и Q при объединении образуют полное отношение А×А, а их система – разбиение этого полного отношения. Объединение матриц отношений образуется как булева сумма матриц отношений:
3.Разность (P\Q) – отношение, образованное теми парами из Р, которые не входят в отношение Q
P\Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P)&((ai aj)∉Q)>.
Разность для отношений в матричном представлении имеет вид
4. Умножение отношений. Упорядоченные пары, образующие отношения могут содержать одинаковые элементы, а могут и не содержать. Среди пар, имеющих в своем составе одинаковые элементы, выделим такие упорядоченные пары, которые назовем смежными (примыкающими) и которые имеют во второй паре 1-й элемент, а в первой паре 2-й элемент один и тот же. Определим произведение смежных пар как упорядоченную пару:
( ai ak)∙( ak aj) => (ai aj).
В терминах теории графов сказанное означает, что смежные пары образуют маршрут из точки (ai) в точку (aj) транзитом через точку (ak), состоящий из 2-х смежных дуг. Произведение этих дуг – третья дуга из точки (ai) в точку (aj), реализующая переход между крайними точками маршрута в том же направлении, минуя промежуточную точку (ak). Говорят, что дуга (ai aj) замыкает эти точки напрямую.
5. Симметрическая разность (P∆Q) – отношение, образованное теми парами, которые входят в объединение PUQ, но не входят в пересечение P∩Q. Другая форма определения объясняет название операции: P∆Q образовано теми упорядоченными парами, которые являются объединением разностей P\Q и Q\P. Таким образом, выражение для симметрической разности записывается двумя разными способами:
P∆ Q = (PU Q)\(P ∩ Q) = (P\Q)U (Q\P).
Матрица симметрической разности имеет вид:
Из последней записи следует, что операция симметрической разности допускает перестановку операндов, т. е. коммутативна.
5. Композиция или произведение (P∙Q) – отношение, образованное всеми парами, для которых выполняется:
P∙Q = <(ai aj)|((ai ak) є P) & ((ak aj) є Q)>.
Другими словами, каждая упорядоченная пара в результирующем отношении есть результат умножения смежных пар, из которых 1-я пара принадлежит первому сомножителю-отношению, 2-я – второму сомножителю-отношению. Операция композиции не коммутативна.
Композиция (Р◦Q) на множестве М – отношение R, заданное на том же множестве М, которое содержит пару (x, y), когда существует Z є M такое, что (x, z) є P и (z, y) є Q.
При матричном представлении отношений матрица композиции отношений равна булеву произведению матриц исходных отношений:
Частный случай композиции отношений – квадрат отношения.
Можно показать, используя индукцию, что n-я степень отношения определяется рекуррентно по формуле:P n =P n-1 ◦Р, это означает, что пара (x,y) є P n в том случае, когда в матрице Р существует цепочка элементов: такая, что (xi, xi+1)є P, 1 Литература
Введение в теорию множеств
Концепция бесконечности идеологически далека от обычной математической терминологии — ни одна другая тема не выходит за пределы математики так, что превращается из практического, аналитического инструмента в явление мифического порядка. Понятие бесконечности на короткой ноге с такими культурными темами, как религия и философия, и окутана загадочной аурой божественности.
Когда-то давным давно во всех академических дисциплинах было заложено фундаментальное убеждение — существует единственная бесконечность.
Но 1874 году довольно малоизвестный математик провёл серию революционных наблюдений, подвергавших сомнению это всеми принятое и глубоко укоренившееся убеждение. Георг Кантор в своей (теперь уже ставшей легендарной) публикации On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers доказал, что множество вещественных чисел «более многочисленно», чем множество алгебраических чисел. Так он впервые показал, что существуют бесконечные множества разных размеров (не волнуйтесь — для прояснения этого мы вскоре подробно изучим его статью).
«Множество — это большое количество, которое позволяет воспринимать себя как одно» — Георг Кантор
С 1874 по 1897 год Кантор неистово публиковал статью за статьёй, разворачивая свою теорию абстрактных множеств в расцветающую дисциплину. Однако она была встречена упорным сопротивлением и критикой; многие педанты считали, что его теории перешли в область философии и нарушили принцип религии.
Однако когда начали находиться практические применения математического анализа, отношение к теории изменилось, а идеи и результаты Кантора начали получать признание. К первому десятилению 20-го века его наблюдения, теории и публикации достигли своей кульминации — признания современной теории множеств новой, совершенно уникальной областью математики:
Теория множеств — это математическая теория о точно определённых наборах (множествах) отдельных объектов, называемых членами или элементами множества.
Сколько чисел есть между 0 и 1?
Первая публикация Кантора, состоящая из четырёх с половиной страниц, является великолепным примером краткости. Она разделена на два отдельных доказательства, совместно приводящих к выводу о существовании по крайней мере двух уникальных видов множеств.
В первой части теории исследуется множество вещественных алгебраических чисел и доказывается, что это бесконечное счётное множество. Здесь не стоит путать — «счётное» не обязательно значит, что счёт ведётся строго в целых числах; в контексте теории множеств «счётное» означает, что множество, пусть даже состоящее из бесконечного числа элементов, можно описать повторяющимся рядом, например упорядоченной многочленной функцией. Кантор назвал это свойство бесконечного набора чисел соответствия «один к одному» с рядом, наличием взаимно однозначного соответствия.
Если говорить вкратце, то набор, или множество всех вещественных алгебраических чисел можно вывести с помощью какого-то теоретического ряда многочленов с различными степенями и коэффициентами; следовательно, множество всех вещественных алгебраических чисел является бесконечным счётным множеством.
Во второй части труда Кантора анализируется роль вещественных комплексных чисел, также называющихся трансцендентными числами. Транцендентные числа (лучшие примеры которых — это пи и e) имеют любопытное свойство: математически невозможно вывести их с помощью многочленной функции — они не являются алгебраическими. Вне зависимости от величин, количества частей, степеней или коэффициентов, никакой ряд никогда не может посчитать пи в своём наборе бесконечного счётного множества.
Затем Кантор указывает, что в любом замкнутом интервале [a,b] существует хотя бы одно транцендентное число, которое никогда нельзя будет подсчитать в бесконечном счётном множестве. Поскольку одно такое число существует, то предполагается, что в семействе вещественных чисел существует бесконечное количество транцендентных чисел.
Таким образом он доказал очень чёткое различие между множеством непрерывных, идущих потоком несчётных чисел и набора счётных чисел, которые можно представить как ряд, например, всех вещественных алгебраических чисел.
Далее: запись и операции
Первая публикация Кантора завершилась на этом потрясающем подтверждении существования по крайней мере двух разных видов бесконечности. После его первой статьи появился шквал дополнений, медленно, но верно прокладывавших путь к современной теории множеств.
Стоит также поделиться интересным наблюдением: большинство людей, использующих теорию множеств на практике, ценят скорее не эту конкретную теорему, а заданный ею обобщённый язык. Благодаря своей абстрактной природе теория множеств скрытно влияет на множество областей математики. В математическом анализе, который требует дифференциального и интегрального исчисления, необходимо понимание пределов и непрерывности функций, окончательно закреплённых в теории множеств. В алгебре логики логические операции «и», «или» и «не» соответствуют операциям пересечения, объединения и разности в теории множеств. И последнее, но не менее важное — теория множеств закладывает основы топологии — исследования геометрических свойств и пространственных отношений.
Вооружившись базовым пониманием истории множеств и совершив кратковременное погружение в глубины его влияния, мы можем приступать к знакомству с основами системы обозначений теории множеств.
Часть вторая. Краткий обзор операций, обозначений и диаграмм Венна.
Как сказано в предыдущей части, одно из фундаментальных преимуществ теории множеств произрастает не из какой-то конкретной теории, а из созданного ею языка. Именно поэтому основная часть этого раздела будет посвящена обозначениям, операциям и визуальному представлению теории множеств. Давайте начнём с объяснения базовых символов обозначения множества — соответствующих ему элементов. В таблице ниже показан пример одного множества A с тремя элементами:
A — это множество с элементами «1», «2» и «3»
«1» — элемент множества A
В первой строке показано множество A с тремя отдельными элементами (A = ); во второй строке показан правильный способ обозначения отдельного конкретного элемента 1, принадлежащего множеству A. Пока всё довольно просто, но теория множеств становится существенно интереснее, когда мы добавляем второе множество — начинается путешествие по стандартным операциям.
Операции: пересечение (intersection) — множество элементов, принадлежащих множеству A и множеству B;
объединение (union) — множество элементов, принадлежащих множеству A или множеству B;
подмножество (subset) — C является подмножеством A, множество C включено во множество A;
собственное (истинное) подмножество — C является подмножеством A, но C не равно A;
относительное дополнение (relative complement) — множество элементов, принадлежащих к A и не к B.
Вот и они, самые распространённые операции в теории множеств; они довольно популярны и в областях за пределами чистой математики. На самом деле, высока вероятность того, что вы уже видели подобные типы операций в прошлом, хоть и не совсем с такой терминологией, и даже пользовались ими. Хорошая иллюстрация: попросите любого студента описать диаграмму Венна из двух пересекающихся групп, и он интуитивно придёт к правильному результату.
Ещё раз взгляните на последнюю строку, относительное дополнение — какое необычное сочетание слов, правда? Относительное к чему? Если относительное дополнение A — B определяется как A и не B, то как нам обозначить всё, что не является B?
Универсальное множество — пустое множество
Оказывается, если мы хотим получить значимый ответ, то для начала нужно предоставить генеральной совокупности нашей задачи множеств некий контекст. Он часто явным образом задаётся в начале задачи, когда допустимые элементы множества ограничиваются некоторым фиксированным классом объектов, в котором существует универсальное множество, являющееся общим множеством, содержащим все элементы для этой конкретной задачи. Например, если мы хотели бы работать со множествами только из букв английского алфавита, то наше универсальное множество U состояло бы из 26 букв алфавита.
Для любого подмножества A множества U дополнение множества A (обозначаемое A′ или U − A) определяется как множество всех элементов в генеральной совокупности U, которое не находится в A. Если вернуться к поставленному выше вопросу, то дополнением множества B является всё в пределах универсального множества, что не принадлежит B, в том числе и A.
Прежде чем мы двинемся дальше, надо упомянуть ещё одно принципиальное множество, которое достаточно важно для базового понимания: нулевое или пустое множество. Учтите, что существует единственное пустое множество, поэтому никогда не говорят «пустые множества». Хотя мы не будем рассматривать в этой статье эквивалентность, основная теория гласит, что два множества эквивалентны, если они имеют одинаковые элементы; следовательно, может быть только одно множество без элементов. Поэтому существует единственное пустое множество.
Диаграммы Венна и остальное
Диаграммы Венна, официально изобретённые в 1880 году Джоном Венном, являются именно тем, что вы и представляете, хотя их научное определение звучит примерно так:
Схематичное изображение всех возможных отношений нескольких множеств
Ниже показано изображение шести самых распространённых диаграмм Венна, и почти во всех показаны недавно изученные нами операнды:
Объединение (union), пересечение (intersection), относительное дополнение (relative complement), симметрическая разность (symmetric difference), собственное множество (proper subset), абсолютное дополнение (universal дополнение).
Начав с очень простых обозначений множества и его элементов, мы узнали затем о базовых операциях, позволивших нарисовать эту визуальную подсказку. Мы рассмотрели все операции, за исключением симметрической разности (внизу слева). Чтобы не оставлять пробелов в знаниях, скажем, что симметрическая разность, также называемая дизъюнктивным объединением — это просто множество элементов, которые находятся в любом из множеств, но не входят в их пересечение.
Закончим мы этот раздел введением понятия мощности (кардинального числа). Мощность множества, обозначаемая символом абсолютного значения — это просто количество уникальных элементов, содержащихся в определённом множестве. Для показанного выше примера мощность трёх множеств равна: |A| = 3, |B| =6, |C| = 2.
Прежде чем двигаться дальше, дам вам пищу для размышлений — какова связь между мощностью и количеством возможных подмножеств?
Часть 3. Мощность и показательные множества
В предыдущих двух частях мы разобрались с основами теории множеств. В третьей части мы укрепим своё понимание, сосредоточившись на самом важном свойстве любого множества: общем количестве содержащихся в нём уникальных элементов.
Количество уникальных элементов во множестве, также известное как мощность, предоставляет нам фундаментальную опорную точку для дальнейшего, более глубокого анализа этого множества. Во-первых, мощность — это первое из рассматриваемых нами уникальных свойств, позволяющее нам объективно сравнивать различные виды множеств, проверяя, существует ли биекция (это, с небольшими оговорками, просто более изысканный термин для function ) одного множества на другое. Ещё один способ применения мощности, а также тема этой части статьи — мощность позволяет оценить все возможные подмножества, существующие в данном множестве. Что достаточно буквально можно применять в повседневных задачах распределения решений, будь то планирование бюджета на поездку в продуктовый магазин или оптимизация портфеля акций.
Примеры мощности множеств
Например, в таблице выше показаны пять отдельных множеств с их указанной справа мощностью. Как мы уже говорили, символ мощности напоминает символ абсолютного значения — значение, заключённое между двумя вертикальными линиями. Все примеры понятны, за исключением, возможно, последней строки, которая подчёркивает тот факт, что на мощность влияют только уникальные элементы множества.
Помните подмножества из предыдущей части статьи? Оказывается, что мощность некоторого множества A и количество возможных подмножеств множества A имеют удивительную связь. Ниже показано, что количество подмножеств, которые можно составить из некоторого подмножества, увеличивается с порядком мощности на предсказуемую величину:
Количество возможных подмножеств в C= 2 |C|
Давайте подробно рассмотрим показанный ниже пример. Однако для начала поразмыслим над формулой. Представим мощность как общее количество «позиций», которое представляет множество. При создании некоторого подмножества для каждой возможной позиции принимается булево решение (да/нет). Это означает, что каждый уникальный элемент, добавляемый к множеству (то есть увеличивающий мощность на единицу) увеличивает количество возможных подмножеств на множитель два. Если вы программист или учёный, то можете уяснить эту логику немного глубже, если поймёте, что все подмножества множества можно вычислить с помощью таблицы двоичных чисел.
Показательное множество (булеан)
Прежде чем мы вычислим все подмножества для примера множества C, я хотел бы ввести последнее понятие — булеан.
Булеан обозначается заглавной буквой S, за которой в скобках указывается исходное множество S(С). Булеан — это множество всех подмножеств C, включая пустое множество и само множество C. В таблице ниже показан булеан S(С) со всеми перестановками возможных подмножеств для множества C, содержащихся в одном большом множестве.
Для удобства форматирования я убрал запятые между множествами***
Чем может быть полезен булеан? На самом деле, вы скорее всего много раз интуитивно использовали булеаны, даже об этом не догадываясь. Каждый раз, когда вы выбираете подмножество элементов из более крупного множества, вы выбираете элемент булеана. Например ребёнок внимательно изучающий кондитерский магазин с купюрой в 5 долларов — какой элемент булеана множества всех доступных сладостей он выберет? Или если взять более технический пример: вам, как разработчику ПО может потребоваться запросить всех возможных пользователей базы данных, также обладающих свойством X и Y — ещё один случай, в котором одно подмножество выбирается из всех возможных подмножеств.
Эквивалентность и биективная функция
Теперь мы понимаем, что такое мощность множества, почему оно важно, и его связь с булеаном. Поэтому вернёмся ненадолго к тому, что упоминали в самом начале: что конкретно определяет эквивалентность в теории множеств?
Очевидно, что два множества с одинаковой мощностью имеют некое общее свойство, но на этом сходства заканчиваются — что если в одном из множеств есть многократно повторяющийся элемент? Что если два множества имеют одинаковую мощность и количество элементов? Нельзя отрицать, что они в какой-то степени «эквивалентны», но даже в этом случае всё равно есть возможность различий, потому что каждое множество может иметь разные элементы, повторяющиеся одинаковое количество раз. Смысл здесь в том, что концепция эквивалентности в теории множеств немного чужда другим областям математики. Установление эквивалентности в этом мире требует знакомства с этой концепцией и нового языка. В последней части этой статьи мы введём понятие эквивалентности, а также таких базисных свойств, как инъективные, биективные и сюръективные функции.
Часть 4. Функции.
В этой части мы подробнее расскажем о функциях в пределах теории множеств. Как и в случае с предыдущими понятиями, терминология стандартных функций в теории множеств слегка отличается от других областей математики, а потому требует объяснения. Терминологии довольно много, так что давайте сразу приступим к делу! В первой таблице внизу отражены понятия области определения, области значений и значения функции:
Функция в мире теории множеств — это просто соответствие некоторых (или всех) элементов из Множества A некоторым (или всем) элементам Множества B. В показанном выше примере набор всех возможных элементов A называется областью определения; элементы A, используемые в качестве входных значений, в частности называются аргументами. Справа набор всех возможных выходных значений (называющихся в других областях математики «областью значений»), называется кообластью; набор настоящих выходных элементов B, соответствующих A, называется образом.
Пока особо ничего сложного, только новый способ задания параметров функций. Далее мы расскажем о том, как описывать поведения этих функций соответствия при помощи обычных типов функций.
Инъекции, сюръекции и биекции
В теории множеств для классификации соответствия множеств обычно используются три понятия: инъекция, сюръекция и биекция. К сожалению, эти понятия имеют несколько разных названий, усиливающих неразбериху, поэтому мы сначала рассмотрим каждое определение, а затем изучим визуальные примеры. Все три термина описывают способ, которым отображаются аргументы на образы:
Прочитайте заново представленный выше список пунктов. Биекция — это просто функция, удовлетворяющая обоим предыдущим требованиям; то есть, функция инъективна и сюръективна. Инъективная функция не должна быть сюръективной, а сюръективная — инъективной. Ниже показан визуальный пример, в котором эти три классификации привели к созданию функций множеств, определяемых четырьмя возможными комбинациями инъективных и сюръективных свойств:
Биекция (инъекция + сюръекция), инъекция (инъекция + не-сюръекция), сюръекция (не-инъекция + сюръеция), без классификации (не-инъекция + не-сюръекция)
Вот и всё! Теперь мы обладаем элементарным пониманием самых часто встречаемых соотношений, встречающихся в мире множеств. Однако это ни в коем случае не конец нашего пути: напротив, это самое начало.
Фундаментальные основы теории множеств — ключ к пониманию более высокоуровневых областей математики. Чтобы продолжить наше движение вверх, к этим различным областям, далее нужно будет, пользуясь своими знаниями о теории множеств, уяснить одну из самых революционных теорий в истории математики: систему аксиом Цермело-Френкеля.