г н берман счет и число
Приёмы счёта
PEKЛAMA: 500 РАДИОСПЕКТАКЛЕЙ НА SD 64GB — ГДЕ.
BAШA ПОМОЩЬ ПРОЕКТУ: ЗАНЕСТИ КОПЕЕЧКУ — КУДА.
В третьем издании книги, осуществленном под редакцией A. Л. Вредно, были сделаны небольшие уточнения. Наиболее важные из них следующие:
Старое название «Приемы быстрого счёта» заменено названием «Приёмы счёта», так как книга не имеет ничего общего с вычислительными фокусами и приемами эстрадных вычислителей.
В разделе о письменном решении процентных задач вместо трёх арифметических правил дано одно алгебраическое, которое запоминается мнемонически.
Слегка изменён и расширен раздел о квадратных корнях. Настоящее, пятое, издание книги печатается без всяких изменений.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга не является учебником. Она не претендует ни на полноту, ни на систематичность изложения. Здесь собраны простые приёмы, которые помогают ускорить вычисления, ускорить не какие-нибудь сложные расчёты, а самые обычные числовые выкладки, с которыми постоянно приходится иметь дело в быту и особенно на производстве. Книга рассчитана на квалифицированного рабочего или техника-практика. Чтение её не требует никаких специальных знаний, не нужно знать даже элементарной алгебры. Но предполагается, что читатель вполне свободно владеет обычными приёмами счёта с целыми и дробными числами.
Книга не является учебником. Но, разумеется, если её читать как рассказ, то это будет пустой тратой времени. Математическая книга, даже самая простая, требует работы. Читать её нужно внимательно, с карандашом в руках, выполняя все нужные выкладки и закрепляя каждое понятое правило решением примеров. Примеров в книжке много, но даны они без ответов, так как проверить себя очень легко: достаточно те же примеры проделать не упрощённым, а обычным путём.
Выводов и доказательств в книжке нет. Но там, где это не очень загромождает изложение, даются необходимые объяснения. Кое-где терминология немного отличается от обычной. Это иногда позволяет упростить изложение. В главе о приближённых вычислениях рассматриваются почти исключительно вычисления с той степенью точности (относительная погрешность в 1 %), которая чаще всего требуется при технических расчётах.
ГЛАВА I
УСТНЫЙ СЧЁТ
Общие замечания
Каждый из нас умеет считать в уме; в магазинах, в столовых, в автобусе — везде приходится иметь дело со счётом. Особенно важно уметь считать производственнику. Почти ни одна квалифицированная работа не обходится без предварительного подсчёта. Одним приходится при этом возиться с карандашом и бумагой; другие считают в уме, но считают медленно, часто ошибаются и сильно усгают; третьи считают легко и уверенно.
Для того чтобы быстро и уверенно считать в уме, не нужно иметь ни специальных знаний, ни способностей. Несколько простых правил, а главное — постоянная тренировка в устном счёте, — помогут научиться хорошо считать. Бывают люди, которые быстро множат и делят в уме четырёх- и пятизначные числа Достичь такого искусства трудно, надо помнить много правил, очень долго и утомительно тренироваться. Эго искусство в практической жизни почти не может пригодиться. Наша задача — научиться работать с двузначными, иногда — с трёхзначными числами Этого для быта и производственной практики достаточно Если же встретятся большие числа, то лучше, вернее, сделать вычисления на бумаге.
Если нужно сделать много расчётов, то и в простых случаях лучше не считать в уме. Устный счёт не всегда медленнее, но почти всегда утомительнее. При большом объёме работы или начинают считать медленнее или делают ошибки. Лица, которым приходится много считать, должны пользоваться вычислительными приборами, в первую очередь арифмометром — для точных вычислений — и логарифмической линейкой — для приближённых. Логарифмическая линейка — незаменимый прибор для «процентных» вычислений с точностью до 1%.
Напомним некоторые арифметические термины. Числа, которые складываются, называются слагаемыми. Результат сложения называется суммой.
То число, из которого мы вычитаем, называется уменьшаемым, число, которое мы вычитаем, называется вычитаемым, результат вычитания называется разностью чисел. Возьмём такой пример: 25 — 7 = 18. Здесь 25 — уменьшаемое, 7 — вычитаемое, 18 — разность.
Числа, которые перемножаются, называются множителями или сомножителями. Иногда один из сомножителей называют множимым, другой — множителем, но такое различие несущественно: и множимое, и множитель совершенно равноправны. Результат умножения называется произведением.
То число, которое делят на другое, называют делимым; то число, на которое делят, называют делителем. Результат деления называют частным. Разделим, например, 18 на 6. Получим 3. Здесь 18 — делимое, 6 — делитель, 3 — частное.
Не всегда деление проходит так гладко. Поделим, например, 22 на 7. Получим 3 и в остатке единицу. Поделив остаток на 7, найдём одну седьмую. Значит, 22:7 = 3у. Результатом деления целых чисел может быть дробное число (в нашем примере — целое с дробью).
Сложение
Складывать в уме очень легко; и всё-таки о сложении нужно сказать несколько слов Ведь сложение — основное действие, поэтому складывать надо очень быстро и уверенно.
Начнём с прибавления однозначного числа. Прибавить 5 к 23 совсем просто: будет 28. Важнее тот случай, когда единицы обоих слагаемых дают в сумме больше десятка и этот десяток нужно держать в уме. Прибавим, например, 8 к 87. Здесь лучше рассуждать так. В восьмидесяти семи нехватает до 90 тройки, а 8 равняется сумме трёх и пяти. 87 да 3 — девяносто, да ещё 5 — всего 95. Ещё пример: 119 + 7. Семь равно единице плюс шесть; 119 да единица — будет 120, да ещё шесть — всего 126. Итак, однозначное слагаемое представляем в виде суммы двух меньших чисел, из которых одно дополняет большее слагаемое до целых десятков. Самая небольшая тренировка приводит к тому, что это разложение выполняется совершенно автоматически, без всякого усилия воли или внимания. При работе на русских (конторских) счётах такое разложение делают постоянно.
Так же прибавляется число, состоящее из целого числа десятков или сотен. Прибавим, например, 50 к 272. Говорим: 272 да 30 даст 302, да ещё 20 — всего 322. И здесь разбиваем слагаемое, состоящее из целых десятков, на два (50 = 30 + 20), одно из которых (30) дополняет десятки большего слагаемого (семь десятков) до целой сотни.
Примеры: 326 + 9; 148 + 7; 94 + 8; 112 + 6;
243 + 80; 567 + 70; 192 + 20; 341 +50; 1 460 + 50;
277 + 70.
Если оба слагаемых — многозначные числа, то к большему прибавляем сначала старший разряд меньшего, потом — младший разряд. Так, если прибавляется двузначное число, то сначала прибавляют десятки, потом единицы. Сложим, например, 343 и 25. Говорим: 343 да 20 будет 363, да ещё 5 — всего 368. Так же поступают при сложении больших чисел. Если нужно сложить 8 365 и 376, то рассуждают так: 8 365 да 3 сотни будет 8 665, да семь десятков — 8 735, да шесть единиц — всего 8 741.
Отметим случай, когда сложение упрощается. Если одно из слагаемых близко к целому числу десятков или сотен (вообще — к «круглому» числу), то рассуждают так: пусть нужно сложить 173 и 59. 59 это 60 без единицы. Прибавляем 60 — будет 233, а нам нужно было прибавить 59, значит единицу нужно отнять: получится 232. Точно так же, если к 882 нужно прибавить 197, то говорим так: 197 это 200 без трёх, 882 да 200 будет 1 082, отнимая 3, получим 1 079.
Если оба числа близки к «круглым», например, если нужно сложить 98 и 395, то рассуждаем так. 98 — это 100 без двух; 395 — это 400 без пяти. 100 да 400 даст 500; отнимаем 2, будет 498, отнимем ещё 5, будет 493. Это и есть искомая сумма.
П р и м е р ы: 263 + 25; 384 + 49; 298 + 96; 4 532 + 93; 882+ 161; 766 + 419; 89+ 77; 8 122 + 891; 395 + 88.
Если нужно сложить в уме несколько двузначных чисел, то обычно сначала складывают все десятки, потом все единицы. Сложим, например, 26, 17, 85 и 43. Рассуждаем так. Двадцать да 10 будет 30, да ещё 80 — будет 110, да 40 — всего 150; запоминаем. Шесть и семь даёт 13, да 5 — будет 18, да ещё 3 — всею 21. Сто пятьдесят да двадцать один — всего получится 171. Этот приём всегда быстро ведёт к цели. Так же складываются и большие числа, например, три или четыре трёхзначных числа, но при этом приходится «держать в уме» несколько сумм, так что легко сбиться. Неопытному человеку лучше большие числа складывать на счётах или на бумаге.
Примеры:
39 + 48 + 13; 56+13+18; 24+17 + 14 + 47;
88 + 75 + 39; И + 26 + 8 + 44; 58 + 43 + 92.
Вычитание
При вычитании однозначного числа возможны два случая. Если оЙнозначное число меньше последней цифры уменьшаемого, то действие выполняется совсем просто. Например, отнимем от 28 число 6. Получим 22. Если же однозначное число больше последней цифры уменьшаемого, например, от 42 нужно отнять 7, то удобнее рассуждать так. Семь — это 5+2 (2 — последняя цифра уменьшаемого). От 42 отнимаем 2, получим 40; от 40 отнимем 5, получим 35.
Так же рассуждаем, если нужно вычесть число, состоящее из целых десятков. Отнимем, например, 60 от 243. Шестьдесят — это 40 + 20; отнимаем от 243 сорок, — получим 203; отнимаем еше 20, останется 183
Примеры: 43-8; 58 — 7; 135 — 9; 260 — 40;
52 — 7; 43 — 6; 116 — 8; 116 — 70; 1003 — 40.
Если вычитается двузначное или ещё большее число, то сперва отнимаем сотни (если они есть), потом десятки, потом единицы. Вычтем, например, 27 из 243. От 243 отнимаем 20, остаётся 223. Но 7 = 4 + 3 (3 — последняя цифра уменьшаемого). Значит, отнимаем от 223 число 3, остаётся 220; да ещё отнимаем 4 — получаем ответ: 216.
Можно рассуждать иначе. От 243 хотим отнять 27. Но 27 — это 30 без трёх. Прибавим по 3 и к уменьшаемому и к вычитаемому; результат не изменится. Получим 246 и 30. От 246 отнимаем 30; получаем 216.
Если одно из чисел или оба близки к «круглым», то удобно сначала произвести действие над круглыми числами, а потом внести поправку Отнимем, например, 296 от 1 285. Число 296 меньше трёхсот всего на 4 единицы. Поэтому сначала отнимаем от 1 285 число 300 = = 200+ 100 (в уменьшаемом как раз 2 сотни). От 1 285 отнимаем 200 — получается 1 085, да ещё отнимем 100 — получится 985. Остаётся прибавить 4 единицы — 989. Это и есть искомый ответ.
Примеры: 463 — 25; 326 — 83; 561 — 59; 1 020 — 98; 241 — 91; 881 — 95; 624 — 73; 815 — 27; 827 — 39;
111 — 87; 1 063 — 120; 822 — 48; 516 — 123.
Подытожим всё сказанное.
Если нужно сложить два числа, то к большему прибавляем меныисе; сначала прибавляем сотни, потом десятки, потом единицы (сначала — старшие разряды, потом — младшие).
Если слагаемые (оба или одно) близки к «круглым» числам, то складываем эти «круглые» числа и учитываем нужную поправку.
При сложении нескольких двузначных чисел складываем сначала все десятки, потом все единицы и к общему числи десятков прибавляем единицы.
Несколько больших чисел (трёхзначных и больших) целес000разнее складывать на бумаге.
Если нужно вычесть однозначное число, меньшее последней цифры уменьшаемого или равное ей, то затруднений не возникает.
Если нужно вычесть однозначное число, большее последней цифры уменьшаемого, то разбиваем это однозначное число на два (равное последней цифре уменьшаемого и остаток) и вычитаем полученные числа одно за другим.
При вычитании двузначных (и многозначных) чисел сначала отнимаем старшие разряды вычитаемого, потом младшие его разряды.
Если вычитаемое близко к «круглому» числу, то сперва отнимаем это «круглое» число, а затем делаем поправку.
Простейшие случаи умножения и деления
Умножать и делить проще всего на 10, 100, вообще на число, изображаемое единицей с нулями. При умножении на такие числа мы приписываем к множимому столько нулей, сколько их имеется во множителе. Умножим, например, 173 на 100. Получается 17 300.
Почти так же поступаем при делении на число, изображаемое единицей с нулями. Отделяем запятой столько последних цифр, сколько имеется нулей в делителе. Разделим, например, 2 650 на 100. Получаем 26,50 или 26,5 (двадцать шесть целых н 5 десятых). Ответ чаще всего получается дробный.
Примеры: 2 240:10; 51 X Ю0; 37X1000;
83 X Ю 000; 62 000 : 100; 84 000 : 10.
Почти так же просто умножение на 2 и на 4. Умножаем на 2, начиная со старших разрядов. Умножим, например, 347 на 2. Рассуждаем так: триста на два будет шестьсот; сорок на два будет 80 — итого шестьсот восемьдесят; семь на два даст 14. Итого — шестьсот восемьдесят да 14 — будет шестьсот девяносто четыре.
Умножение на 4 сводится к двукратному умножению на 2. Умножим, например, 596 на 4. Умножим 596 на 2. Пятьсот на 2 даст тысячу, 90 на 2 даст 180, значит имеем 1 180, да ещё 2X6 = 12. Тысяча сто восемьдесят да двенадцать будет 1 192. Это число нужно ещё раз удвоить. Тысяча на 2 будет 2 000, да 100X2 = 200, всего 2 200, да 90X2 = 180, всего 2 380, да 2X2 = 4, всего 2 384. Это и есть искомый ответ.
Таким же образом можно умножить на 8 (три раза последовательно умножить на 2), на 16 и т. д.
позволяет дать простое правилЪ для умножения на 15. Умножим, например, 342 на 15. Сначала умножаем 342 на 10, получим 3 420. Это число увеличим в 1-?)-раза, т. е. прибавим к нему его половину. Половина от 3 420 будет 1710. Складывая 3 420 и 1710, получим 5 130. Значит, 342X15 = 5 130. Итак, чтобы помножить некоторое число на 15, мы увели-чиваем его в 10 раз и к полученному числу прибавляем половину того, что получилось.
Примеры: 64Х 11; 38 X1 у; 292Х 1 у! 35Х1 у ; 49 X 1 у; 26X15; 38X15; 164X15; 618X15; 41X15; 19X15.
Умножение на 3, 6 и 7
При умножении двузначного числа на 3, на 6 или ча 7 сначала умножаем десятки, потом единицы, затем оба результата складываем. Умножим, например, 86 на 3. Восемьдесят на три даст двести сорок (3X8 = 24), а трижды шесть — восемнадцать. 240 да 18 будет 258.
Помножим ещё 35 на 7. Тридцать на семь — двести десять, семью пять — тридцать пять. 210 да 35 будет 245. Так же выполняется умножение на 6.
Трёхзначное число умножается на три по такому же правилу: сперва умножаются сотни, потом — десятки, потом — единицы, потом всё складывается. Умножать по такому же правилу на 6 было бы невыгодно: пришлось бы «держать в уме» большие числа. Лучше сперва умножить данное число на 3, а затем результат удвоить. Умножим, например, 519 на 6. Умножаем сперва 519 на 3. Пятьсот, умноженное на три, даст 1 500; десять, умноженное на 3, даст тридцать. Всего получается 1 530; да ещё 9, умноженное на 3, даст 27. Прибавляем к 1 530 это число (27) и получаем 1 557. Теперь удваиваем 1 557, Полторы тысячи дадут при удвоении 3000, а пятьдесят семь при умножении на два даёт 114. Всего получается 3 114. Значит, 519X6 = 3 114.
Умножение многозначных чисел на 7 делается тем же приёмом, что и умножение на 3. Но при этом приходится «держать в уме» большие числа, тому, кто не имеет специальной тренировки, лучше умножать многозначные числа на семь на бумаге.
Примеры: 67X3; 29X3; 116X3; 285X 3;
24X6; 49X6; 51X7; 19X7; 216X6; 811X6;
1261X3; 715X3; 93X6; 92X7; 49X7; 212X3; 212X7; 97X6.
Мы рассмотрели основные, простейшие приёмы вычислений как точных, так и приближённых, как устных, так и письменных. Этого очень мало для того, чтобы сделаться вычислителем-виртуозом, но вполне достаточно, чтобы стать хорошим счётчиком-практиком Читатель, который заинтересуется приёмами быстрого счёта, может найти интересные сведения в книге Я. И. Перельмана «Занимательная арифметика». Лицам, интересующимся приближёнными вычислениями, можно рекомендовать книгу Нейшуллера и Акушского «Как упростить вычисления». Значительно более трудной, но интересной, является книга проф. А. Виттинга «Сокращенные вычисления».
Повторяем ещё раз: счётчику-практику вполне достаточно сведений, имеющихся в этой книжке. Если есть время и охога, то лучше изучить различные вспомогательные средства вычисления: таблицы, графики, номограммы, русские счёты и счётную линейку. Изучение всех этих вспомогательных средств выходит, однако, за рамки нашей книги; их нужно изучать по специальным руководствам, к которым и отсылаем читателя.
Приемы быстрого счета, Берман Г.Н., 1947
Приемы быстрого счета, Берман Г.Н., 1947.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Эта книга не является учебником. Она не претендует ни на полноту, ни на систематичность изложения. Здесь собраны простые приёмы, которые помогают ускорить вычисления, ускорить не какие-нибудь сложные расчёты, а самые обычные числовые выкладки, с которыми постоянно приходится иметь дело в быту и, особенно, на производстве. Книга рассчитана на квалифицированного рабочего или техника-практика. Чтение её не требует никаких специальных знаний, не нужно знать даже элементарной алгебры. Но предполагается, что читатель вполне свободно владеет обычными приёмами счёта с целыми и дробными числами, хотя мог и позабыть всю теорию. Не специальных знаний, но некоторого развития и простых счётных навыков, —вот чего потребует эта книжка от читателя.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Мы рассмотрели основные, простейшие приёмы вычислений, как точных, так и приближённых, как устных, так и письменных. Этого очень мало для того, чтобы сделаться вычислителем-виртуозом, но вполне достаточно, чтобы стать хорошим счётчиком-практиком. Читатель, который заинтересуется приёмами быстрого счёта, может найти интересные сведения в книге Я. И. Перельмана «Занимательная арифметика». Лицам, интересующимся приближёнными вычислениями, можно рекомендовать книгу Нейшуллера и Акушского «Как упростить вычисления». Значительно более трудной, но интересной, является книга проф. А. Виттинга «Сокращённые вычисления».
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава I Устный счёт
Глава II. Письменные вычисления
Глава III. Приближённые вычисления
Заключение
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
Берман Г.Н.. Книги онлайн
Берман Георгий Николаевич (?—19 февраля 1949) — советский математик, автор учебников и научно-популярных книг.
Умер после продолжительной и тяжелой болезни, полученной в результате ранения на фронте Великой Отечественной войны.
Его работы выполнялась товарищами Г.Н. Бермана по совместной работе — И.Г. Арамановичем, А.Ф. Бермантом, Б.А. Кордемским, Р.И. Позойским и М.Г. Шестопал.
Книги (6)
Книга не является учебником. Она не претендует ни на полноту, ни на систематичность изложения. Здесь собраны простые приемы, которые помогают ускорить вычисления, ускорить не какие-нибудь сложные расчеты, а самые обычные числовые выкладки, с которыми постоянно приходится иметь дело в быту и, особенно, на производстве.
Книга рассчитана на квалифицированного рабочего или техника-практика.
Книга Г.Н. Бермана фактически состоит из дополнительных глав арифметики и может служить повышению арифметической культуры широкого круга читателей. Наряду с правилами для умножения дробей в ней излагаются правила для вычисления корней и приближенного умножения, которые могут оказаться интересными и для квалифицированного читателя.
В третьем издании книги, осуществленном под редакцией А.Л. Брудно, были сделаны небольшие уточнения. Наиболее важные из них следующие:
Старое название «Приемы быстрого счета» заменено названием «Приемы счета», так как книга не имеет ничего общего с вычислительными фокусами и приемами эстрадных вычислителей.
В разделе о письменном решении процентных задач вместо трех арифметических правил дано одно алгебраическое, которое запоминается мнемонически.
Слегка изменен и расширен раздел о квадратных корнях. Настоящее, пятое, издание книги печатается без всяких изменений.
Настоящий сборник задач предлагается студентам, изучающим математический анализ в объеме программы для высших учебных заведений. «Сборник» содержит систематически подобранные задачи и упражнения к основным разделам курса математического анализа.
Первое издание сборника вышло в 1947 году и прекрасно себя зарекомендовало в учебном процессе.Однако за прошедшие годы ряд разделов математического анализа, изучавшихся ранее в вузах, были включены в программу средней школы, и редакторы двадцать второго издания сочли возможным исключить задачи, относящиеся к этим разделам.
В брошюре изложены в элементарной, чисто геометрической форме, свойства циклоиды и некоторых других, близких к ней замечательных кривых. Рассмотрены задачи из техники и механики, в которых появляются исследуемые кривые. В книге много исторических экскурсов.
Первое издание книги «Число и наука о нём» вышло в свет в 1948 г. (кроме того, в 1949 г. был отпечатан дополнительный тираж). Настоящее, второе издание книги выходит после смерти автора Георгия Николаевича Бермана (последовавшей 9 февраля 1949 г.).
При подготовке настоящего издания к печати Издательство сочло необходимым учесть замечания, высказанные в рецензиях и письмах читателей, и внесло в текст книги некоторые уточнения и исправления.