интеграл мора для чего нужен

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Интеграл Мора

Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.

Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:

1. Составляем выражение изгибающего момента M_F от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента от единичного фактора.

3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:

Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

Если результат вычисления получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» ( ), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

где li – длина участка;

EIi – жесткость балки на участке;

M_F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка;

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:

Задача

Определить угол поворота сечения на левой опоре φ_А

2) Строим эпюру моментов действительного состояния М.

3) Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φ_А.

4) Находим опорные реакции вспомогательного состояния

«Реагируем» на знак «минус».

5) Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:

6) «Перемножаем» эпюры

Поскольку одна из них (а именно ) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента»

Источник

Интеграл мора для растяжения

Определение прогибов и углов поворотов методом Мора

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Получение формулы интеграла Мора

Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, ( не учитывать второе слагаемое).

Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора, а саму формулу — интегралом Мора.

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).

порядок вычисления перемещений методом Мора:

· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной () и вспомогательной () балок;

· вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;

· если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.

Вычисление интеграла Мора пример

определение прогиба с помощью интеграла Мора

В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу (рис. 15.7, б).

Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков () заданной и вспомогательной балок:

Вычисляем интеграл Мора. Учитывая симметрию балки, получим:

Определение угла поворота методом Мора

Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка ():

Тогда интеграл Мора будет иметь вид:

(.
13.17)
1.

, (Mx 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0). (3) :

Вопрос 18.Определение перемещений при изгибе. Интеграл Мора. Метод Верещагина.

Прогиб — линейная деформация, смещение центра тяжести поперечного сечения.

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление.

— перемещение сечения К под действием Р, где Mxp-изгибающий момент в произвольном сечении, х- единичный момент в том же сечении под действием единичной силы или единичного момента ( если ищется угол поворота), EIx- жёсткость сечения балки при изгибе.

Правило Верещагина. Используется, когда жёсткость при изгибе постоянна вдоль длины. Эпюра изгибающих моментов должна быть линейной. Максимальный прогиб называется стрелой.

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр применимы только при наличии двух условий:

1.Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной(EI=Const),

2.Одна из двух эпюр моментов на этом участке (грузовая или единичная) должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

Δкр= * ωp * kc- грузовое перемещение

ωp- площадь грузовой эпюры.

kc- ордината в единичном эпюре, соответствует центру тяжести грузовой.

При постоянной жесткости по длине балки EIz для определения прогиба энергетическим методом необходимо вычислять интеграл вида:

Допустим, что эпюры изгибающих моментов аналитически выражаются функциями Мz=f1(х), М’z´ = f2(х), причем одна из них, например, f1(х) произвольная, а другая f2(х) линейная функция и может быть записана в виде f2(х) = kх+b. Пусть графики этих функций имеют вид представленный на рис. 3.86.

В соответствии с принятыми обозначениями можно записать:

Первый интеграл представляет собой статический момент относительно оси x площади эпюры ограниченной кривой Mz, т.е.

ω — площадь, ограниченная кривой Mz,

хc — координата центра тяжести фигуры ограниченной кривой Mz относительно оси х.

Второй интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой Mz, которую обозначили ω.

Таким образом, искомый интеграл равен произведению площади эпюры Mzна расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры Мz´. Важно отметить, что вычисление перемещения способом Верещагина возможно только в том случае, когда, во-первых, эпюры Mz и Мz´ на рассматриваемом участке не имеют изломов, во-вторых, одна из эпюр описывается линейной зависимостью и именно по ней определяется ордината под центром тяжести другой эпюры yc. Поэтому при вычислении способом Верещагина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда перемещение сечения балки δ:

Таким образом, для вычисления прогибов по способу Верещагина необходимо:

1) построить эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок Mz (основная эпюра);

3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки Мz´(единичная эпюра);

4) разбить эпюры на участки, в пределах которых отсутствуют изломы эпюр, и для каждого участка вычислить площадь криволинейной эпюры ωi и ординаты эпюр ограниченных линейной функцией под центрами тяжести криволинейных эпюр уci.

5) составить произведения ωi уci и просуммировать:

Встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов разбивают на простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболический треугольник.

Площади этих фигур и координаты центров тяжести приведены в таблице

12 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА-МОРА ИНТЕГРАЛ МОРА

12. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА-МОРА (ИНТЕГРАЛ МОРА)

Данный метод применяется ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННЫХ БРУСЬЕВ С ЛЮБОЙ ФОРМОЙ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ КАК С ПРЯМОЙ, ТАК И С КРИВОЙ ОСЬЮ.

12. 3. 1. Вывод формулы Мора Рассмотрим два состояния системы: первое состояние — на упругую систему (например, балку) воздействует произвольная система внешних сил (рис. а). второе состояние — в некотором сечении балки А приложена единичная сила (рис. б). В соответствии с теоремой Бэтти (12. 16, 12. 18): A 12 = A 21 и A 21 = P 2 Δ 21. По условию задачи Следовательно: A 21 = 1·Δ 21 = Δ 21.

Работа по направлению силы (во втором, единичном, состоянии) единичном от действия внешних нагрузок (от сил первого состояния) есть ПЕРЕМЕЩЕНИЕ в направлении ЕДИНИЧНОЙ силы (во втором состоянии) ОТ ДЕЙСТВИЯ ВНЕШНИХ СИЛ. При прямом поперечном (плоском) изгибе, с учетом равенства работ и в соответствии с формулой (12. 23): (12. 24)

Перепишем последнее выражение в другом виде, обозначив внутренние силовые факторы в произвольном сечении участка балки: а) в первом состоянии (от заданной нагрузки) MX 1 = MX; QY 1 = QY; б) во втором состоянии (от единичной нагрузки)

Δ 21 есть перемещение точки А (ΔА ) в направлении единичной силы Р 2 от действия внешних сил : (12. 25) При прямом поперечном (плоском) изгибе влияние поперечной силы на перемещения (прогиб и угол поворота) незначительно, поэтому второе слагаемое из записанной выше формулы можно исключить Получим следующую формулу: (12. 26) Интеграл, полученный в данном случае для плоского изгиба, называют интеграл Максвелла-Мора или интеграл Мора.

Аналогичные выражения можно получить для других простых видов нагружения, суммируя по участкам и интегрируя произведения уравнений силовых факторов, записываемых для грузовой и единичной схем, и характерных для рассматриваемого вида нагружения. В знаменатель подинтегральных выражений записывают жесткость сечения бруса, также характерную для рассматриваемого вида В случае сложного нагружения, используют нагружения. принцип независимости действия сил. Однако, определяя соответствующие перемещения, необходимо иметь в виду, что простое суммирование перемещений во многих случаях будет некорректным: например, угловые перемещения при изгибе и кручении происходят в разных

Для определения линейного перемещения (при прямом изгибе — прогиба) в исследуемом сечении в направлении этого перемещения прикладывают единичную силу Для определения углового перемещения (при прямом изгибе — угла поворота сечения) в его направлении прикладывают единичный момент

При растяжении (сжатии): При кручении: При сдвиге:

12. 3. 2. Порядок определения перемещений методом Мора 1. Изображается грузовая (заданная) схема с заданными нагрузками. Определяются опорные реакции. 2. Изображается единичная (вспомогательная) схема: по направлению искомого перемещения прикладывается единичная нагрузка. Определяются опорные реакции. Направление силы или момента, принимаемое в единичной схеме значения не имеет. Если в результате расчета получим минус, то это означает то, что действительное направление перемещения будет противоположно принятому в единичной

3. Грузовая и единичная схемы разбиваются на участки так, чтобы границы этих участков были ОБЩИМИ для обеих схем. При этом необходимо учитывать также возможное изменение размеров или формы сечения и свойств материала бруса. 4. При определении перемещений при прямом изгибе составляются уравнения изгибающего момента в произвольном сечении каждого участка от заданных нагрузок и от единичной нагрузки (для грузовой и единичной схем). схем 5. Выражения М и (без подстановки значений границ участков!) подставляются в формулу участков! интеграла Мора (12. 26) и определяется искомое перемещение. 6. Интегрирование ведется по участкам. Пределы интегрирования — значения длин этих

12. 3. 3. Пример Определить перемещение конца стержня А при его осевом растяжении центрально приложенной силой. При осевом растяжении в поперечном сечении N, которые вызывают осевое же перемещение сечения А стержня возникают продольные силы (абсолютную линейную деформацию стержня). В соответствии с законом Гука, эта деформация определяется по известной формуле: В соответствии с формулой Мора, для определения перемещения сечения А дополнительно к грузовой схеме изобразим единичную схему: Δℓ в сечении А приложим силу, равную единице и направим ее вдоль оси

Рассматривая совместно две схемы, запишем для произвольного сечения с координатой z, уравнения продольной силы: N = P;

Тогда Полученное выражение соответствует формуле закона Гука. Минус указывает на то, что сечение А будет перемещаться в сторону, противоположную принятому в единичной схеме направлению единичной силы.

12. 4. Способ Верещагина

Техника вычисления перемещений методом (интегралом) Мора может быть упрощена при использовании графо-аналитического приема, называемого «способ перемножения эпюр» или способ (правило) Верещагина. Этот метод назван в честь его автора — студента Московского института инженеров транспорта А. Верещагина, предложенного им в 1925 г. Метод Верещагина является частным случаем определения перемещений интегрированием по Мору и позволяет операцию интегрирования заменить перемножением эпюр в соответствии с зависимостью, называемой формула Верещагина. Ограничения: — жесткость бруса (при изгибе EI) на каждом участке его должна быть постоянной; — единичная эпюра всегда должна очерчиваться прямой линией (для бруса с прямой осью это будет всегда!). всегда! Если обе эпюры криволинейны, их перемножать по способу Верещагина нельзя.

12. 4. 1. Вывод формулы Верещагина Вывод формулы будем рассматривать на примере плоского изгиба Вычислим интеграл Мора для случая, когда эпюра MР от заданной нагрузки (грузовая эпюра) на i-том участке бруса имеет произвольное очертание, а эпюра от единичной нагрузки (единичная эпюра)

ℓ — длина i-того участка; МР — ордината грузовой эпюры в произвольном сечении z; — ордината единичной эпюры в произвольном сечении z; ω — площадь эпюры от заданной нагрузки; dω — площадь элементарного участка грузовой эпюры на длине dz; С — центр тяжести грузовой эпюры; zс — координата центра тяжести грузовой эпюры; — ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры; α — угол наклона единичной эпюры.

В соответствии с формулой (12. 26) интеграла Мора (при EI=const): Произведем некоторые преобразования полученного подинтегрального выражения. Рассматривая рисунок, видим, что MР dz представляет собой элементарную площадь dω грузовой эпюры МР (заштрихована). Тогда, с учетом замены переменной

Из единичной эпюры Тогда Вспомнив понятие о статическом моменте сечения, видим, что интеграл есть статический момент площади эпюры МР, определяемый относительно оси Y: Далее, из чертежа: Следовательно:

Окончательно формула для определения перемещений при изгибе по способу Верещагина имеет вид: (12. 27) Данное выражение носит название формула Верещагина. Результат перемножения положителен, если эпюры расположены по одну сторону от оси и отрицателен, если они расположены по разные стороны от оси. Для определения перемещений при других видах нагружения бруса необходимо перемножать эпюры (грузовую и единичную), построенные для соответствующих внутренних силовых факторов

12. 4. 2. Пример Определить осевое перемещение концевого сечения стержня. После построения эпюр продольных сил для грузовой и единичной схем, перемножив их, получаем:

12. 4. 3. Порядок определения перемещений по Верещагину 1. Изобразить заданную схему со всеми приложенными нагрузками. Определить опорные реакции, построить эпюру изгибающих моментов (грузовую эпюру). 2. Изобразить единичную (вспомогательную) схему. Определить опорные реакции, построить эпюру изгибающих моментов (единичную эпюру). 3. Рассмотреть построенные эпюры совместно и определить общие границы участков. При этом необходимо учитывать также возможное изменение от участка к участку размеров или формы сечения и свойств материала бруса.

4. Определить на каждом участке: • площадь грузовой эпюры; • положение центра тяжести площади вдоль оси эп • спроецировать центр тяжести на единичную эпюру; • определить ординату единичной эпюры. 5. Перемножить в соответствии с формулой Верещагина (12. 27) полученные значения (говорят: перемножить эпюры по способу Верещагина) и определить искомое Верещагина перемещение. Если балка состоит из нескольких участков, то эпюры перемножают по участкам и результат алгебраически складывают.

Если перемножаемые эпюры имеют сложные очертания, при которых затруднительно найти положение центра тяжести и площадь, то эти эпюры разбивают на простейшие фигуры (прямоугольники, треугольники, параболические сегменты), для которых легко определяются площадь и положение центра тяжести грузовой эпюры и соответствующие ординаты единичных эпюр.

12. 4. 4. Рекомендации по перемножению эпюр Рассмотрим подробнее особенности разбиения эпюр, наиболее часто встречающихся в расчетной практике. На произвольном участке балки эпюра изгибающих моментов может очерчиваться различными линиями На рисунках знаки ординат не проставлены, они соответствуют правилу знаков для изгибающих моментов.

ПАРАБОЛИЧЕСК ИЙ СЕГМЕНТ Площадь сегмента q — значение интенсивности равномерно распределенной нагрузки, Н/м, ℓ — длина участка балки, к которой приложена эта нагрузка. Центр тяжести площади располагается посередине участка, на котором приложена нагрузка.

ТРАПЕЦИЯ со сторонами Аи. В Разбивается на два прямоугольных треугольника (или прямоугольник и треугольник) Площади треугольников Центры тяжести площадей лежат на 1/3 длины треугольника. ℓ основания

ТРАПЕЦИЯ со сторонами А и В, очерченная выпуклым параболическим сегментом Разбивается на два прямоугольных треугольника и параболический сегмент Площади треугольников Площадь сегмента Положения центров тяжести площадей показаны на рисунке (комментарии см. выше).

ТРАПЕЦИЯ со сторонами А и В, очерченная вогнутым параболическим сегментом Разбивается аналогично предыдущему варианту, только значение вычисленной площади сегмента берется со знаком плюс Положения центров тяжести площадей показаны на рисунке (комментарии см. выше).

«ПЕРЕКРУЧЕННАЯ» ТРАПЕЦИЯ Те же два треугольника, только стороны А и В будут иметь разные знаки площадей треугольников Учитываем знаки ординат А и В.

«ПЕРЕКРУЧЕННАЯ» ТРАПЕЦИЯ, очерченная выпуклым (вогнутым) параболическим сегментом

На рисунке показаны грузовая (а) и единичная (б) эпюры для произвольного участка балки.

При их перемножении используются рекомендации, изложенные выше. При определении значений площадей грузовых эпюр и ординат единичных эпюр необходимо учитывать их знаки. Грузовая эпюра (а) — геометрическая сумма простых эпюр — 1, 2, 3; Единичная эпюра (б) — геометрическа я сумма простых эпюр 4, 5.

Для определения ординаты единичной эпюры центр тяжести площади грузовой эпюры проецируется на ось единичной и определяется соответствующая ордината. Для эпюр, изображенных на рисунке, перемножение даст следующее выражение:

В курсе «Строительная механика» широко используется формула, которая дает возможность определять перемещения перемножением эпюры, не проводя построений, показанных на рисунке (формула Симпсона): Симпсона (12. 28) Ординаты на границах участка (A, B, C, D) подставляются в приведенную выше формулу со своими знаками. Для выпуклого параболического сегмента ставят знак (-), а для вогнутого — знак (+). При перемножении эпюр также можно пользоваться данными, приведенными в таблице (следующий слайд).

№ п/п Фигура Площадь ω Абсцисса центра тяжести z 1 z 2 1 hl l /2 2 1/2 hl l /3 2/3 l 3 hl /3 l /4 3/4 l 4 hl /4 l /5 4/5 l 5 2/3 hl 3/8 l 5/8 l 6 2/3 hl l /2

Источник