Сумма элементов по модулю 2 что это значит

Введение в модулярную арифметику

Для любой системы взаимно простых чисел p₁, … p_n, любое число X из диапазона [0; M), где M = p₁*p₂*…*p_n взаимооднозначно представимо в виде вектора (a₁, a₂, …, a_n), где a_i = X%p_i (здесь и далее «%» — операция взятия остатка от целочисленного деления X на p_i).
p₁, … p_n – модули системы
a₁, a₂, …, a_n – остатки (вычеты) числа по заданной системе модулей

Прямое преобразование

Прямое преобразование из позиционной системы счисления (обычно в двоичном виде) в систему счисления в остатках заключается в нахождении остатков от деления по каждому из модулей системы.

Пример: Пусть требуется найти представление числа X = 25 по системе модулей (3, 5, 7). X = (25%3, 25%5, 25%7) = (1, 0, 4).

Реализация нахождения вычета в микроэлектронике по заданному модулю строится на следующих свойствах вычетов:
(a+b) % p = (a%p + b%p)%p
(a*b) % p = (a%p * b%p)%p

Любое число X можно записать в виде X%p = (x_n-1*2 n-1 + x_n-2*2 n-2 + x₀*2 0 )%p = ((x_n-1)%p*2 n-1 %p) + ((x_n-2)%p*2 n-2 %p) + … + x₀%p)%p. Поскольку в данном случае x_n-1, … x₀ равны 0 или 1, то фактически нам требуется сложить вычеты вида (2 i %p).

Пример: пусть задано число 25 или в двоичной системе счисления 11001 и требуется найти остаток по модулю 7.
25%7 = (1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0* 1 + 1*2 0 )%7 = (2 4 %7 + 2 3 %7 + 1%7)%7 = (2 + 1 + 1)%7 = 4

Арифметические операции

Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), то есть мы можем выполнять операции, результат которых не превышает 3*5*7 = 105. Умножим два числа 8 и 10.
8 = (8%3, 8%5, 8%7) = (2, 3, 1)
10 = (10%3, 10%5, 10%7) = (1, 0, 3)
8*10 = ((2*1)%3, (3*0)%5, (1*3)%7) = (2, 0, 3)
Проверяем
80 = (80%3, 80%5, 80%7) = (2, 0, 3)

Обратное преобразование

Способ, основанный на Китайской теореме об остатках, базируется на следующей идее:
X = (x₁, x₂, … x_n) = (x₁, 0, …, 0) + (0, x₂, …, 0) + … + (0, 0, …., x_n) = x₁*(1, 0, …, 0) + x₂*(0, 1, …, 0) + … + x_n*(0, 0, …, 1).
То есть для обратного преобразования требуется найти систему ортогональных базисов B1 = (1, 0, …, 0), B2 = (0, 1, …, 0), …, BN = (0, 0, …, 1). Эти вектора находятся один раз для заданного базиса, а для их поиска требуется решить уравнение вида: (M_i*b_i)%p_i = 1, где M_i = M/p_i, а b_i – искомое число. В этом случае позиционное представление B_i = M_i*b_i и
X = (x₁*(M₁*b₁) + x₂*(M₂*b₂) + … + x_n*(M_n*b_n))%M

Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), найдем значения M_i и b_i (0 b₁ = 2
(21*b₂)%5 = 1 => b₂ = 1
(15*b₃)%7 = 1 => b₃ = 1
Теперь преобразуем какое-нибудь число в системе остаточных классов. Положим
X = (2, 3, 1) = (2*35*2 + 3*21*1 + 1*15*1)%105 = (140 + 63 + 15)%105 = 218%105 = 8

Минус этого метода заключается в том, что для обратного преобразования требуется умножение и сложение больших чисел (M₁, …, M_n), а так же операция взятия остатка по модулю большого числа M.

Источник

Сложение по модулю 2

Сложе́ние по модулю 2 («сумма по модулю 2», «не равно», исключа́ющее «ИЛИ» (ИЛИ с исключением из правила четвёртой комбинации «1,1»), XOR,) — ло­ги­чес­кая опе­ра­ция (функция), по сво­ему при­ме­не­нию мак­си­маль­но при­бли­жён­ная к грам­ма­ти­чес­кой кон­струк­ции «либо … либо …» или «если операнды не равны, то истинно (1)».

a \oplus b, a \oplus_2 b, a +_2 b, a ≠ b, a\ne b, (a,b)\oplus_2, a

Содержание

Булева алгебра

\ <0, 1\>. Результат также принадлежит множеству

\ <0, 1\>. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений

0, 1 может использоваться любая другая пара подходящих символов, например

F, T или «ложь», «истина».

Таблицы истинности:
для бинарного сложения по модулю 2
Правило (только для бинарного сложения по модулю 2): результат равен

для тернарного сложения по модулю 2

Программирование

00101001_2тоa ^ b =

Выполнение операции XOR для значений логического типа (true, false) производится в разных языках программирования по-разному. Например в Delphi используется встроенный оператор XOR (пример: condition1 xor condition2). В языке C, начиная со стандарта C99, оператор «^» над операндами логического типа возвращает результат применения операции XOR. В С++ оператор «^» для логического типа bool возвращает результат согласно описанным правилам, для остальных же типов производится его побитовое применение. Перегрузка для стандартных типов невозможна, но операцию XOR над ними можно реализовать, исходя из принципа «исключающего ИЛИ». Выглядит это так:

(при этом нет разницы, применяются ли побитовые операторы & и |, или же логические && и ||)

Связь с естественным языком

Эту операцию нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи. Сравните правила для этих операций:

Операция \oplus исключает последний вариант («оба сразу») и по этой причине называется исключающим «ИЛИ». Операция \lor включает последний вариант («оба сразу») и по этой причине иногда называется включающим «ИЛИ». Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» может применяться в обоих случаях.

См. также

Источник

Таблица истинности суммы по модулю два (логическое ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ)

Неодназночностью (суммой по модулю два) двух высказываний a и b называется новое высказывание, которое будет истинно тогда, когда одно из высказываний a или b истинно, а другое ложно.

Сумма по модулю два обозначается знаком ⊕.

Синонимы:

Значения функции суммы по модулю два представлены в таблице:

Логическим элементом суммы по модулю два является:

К логическим операциям так же относятся:

Унарные:

Бинарные

Чтобы построить таблицу истинности онлайн по заданной формуле или вектору вы можете воспользоваться нашим сервисом, который кроме того так же вычисляет СКНФ, СДНФ, строит полином Жегалкина. Результат работы можно скачать в формате rtf, который открывается любым текстовым редактором (MS Word, Open Office Write и т.д.)

Источник

Сумма по модулю два

Исключа́ющее «или» (сложе́ние по мо́дулю 2, XOR, строгая дизъюнкция, поразрядное дополнение, инвертирование по маске, жегалкинское сложение, логическое вычитание, логи́ческая неравнозна́чность) — булева функция, а также логическая и битовая операция, в случае двух переменных результат выполнения операции истинен тогда и только тогда, когда один из аргументов истинен, а другой — ложен. Для функции трёх (тернарное сложение по модулю 2) и более переменных — результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов, равных 1, составляющих текущий набор, — нечётное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Сложение по модулю 2 называется «исключающим „или“» и «строгой дизъюнкцией» для отличения от «обычного» (неисключающего) логического «или» — нестрогой логической дизъюнкции. В теории множеств сложению по модулю 2 соответствует операция симметрической разности двух множеств.

Содержание

Обозначения

b>

Свойства

Булева алгебра

Программирование

В языках C/C++, Java, C#, Ruby, PHP, JavaScript, Python и т. д. битовая операция поразрядного дополнения обозначается символом «^», в языках Паскаль, Delphi, Ada, Visual Basic — зарезервированным словом xor, в языке ассемблера — одноимённой логической командой. При этом сложение по модулю 2 выполняется для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

Выполнение операции исключающее «или» для значений логического типа (true, false) производится в разных языках программирования по-разному. Например, в Delphi используется встроенный оператор XOR (пример: условие1 xor условие2). В языке C, начиная со стандарта C99, оператор «^» над операндами логического типа возвращает результат применения логической операции XOR. В C++ оператор «^» для логического типа bool возвращает результат согласно описанным правилам, для остальных же типов производится его побитовое применение.

Связь с естественным языком

В естественном языке операция «сложение по модулю» эквивалентна двум выражениям:

Эту операцию нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи. Сравните правила для этих операций:

Квантовые вычисления

В квантовых компьютерах аналог операции сложения по модулю 2 — вентиль CNOT.

Источник

IT1406: Информационная безопасность

Как видим, %%2+_32 = (2+2)mod\,3 = 4\,mod\,3 = 1%%.

каждый из которых побуквенно складывается с ключом:

$$(шифрви) + (задача) = (25,9,21,17,3,9) +_ <32>(8,1,5,1,24,1) =\\ (33,10,26,18,27,10)mod\,32 = (1,10,26,18,27,10) = АЙЩСЪЙ,$$

$$(женера) + (задача) = (7,6,14,6,17,1) +_ <32>(8,1,5,1,24,1) =\\ (15,7,19,7,9,2)=ОЖТЖИБ$$

При дешифровании из блока криптограммы побуквенно вычитается ключ. Так, зная, что криптограмма LAGZJEUUXRTJE получена на ключе Виженера p r o b l e m («задача»), легко восстанавливаем открытый текст. Сначала из первого блока криптограммы побуквенно вычитаем ключ:

затем ключ побуквенно вычитается из второго блока криптограммы:

Открытый текст: Vigenere cipher (шифр Виженера).

В дальнейшем понадобится и умножение по модулю m: оно выполняется аналогично сложению – в качестве результата берется остаток от деления на m обычного произведения сомножителей. Например, для умножения по модулю 4 получаем следующую таблицу:

Отметим необычное равенство %%2 ×_4 2=0%%, оба сомножителя отличны от нуля, а их произведение равно нулю.

Источник