То что не нужно доказывать как называется
а к с и о м а
не требующее доказательства утверждение
• бесспорная, не требующая доказательств истина
• доказательство без доказательства
• исходная бездоказательность, истина, не требующая доказательств
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости. Александр Круглов
• положение, принимаемое без логического доказательства
• утверждение, которое неопровержимо, пока в нем хватает соединительной силы
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости
• истина, на которую не хватило доказательств
• само собой разумеющееся
• положение, не требующее доказательств
• постулат в геометрии
• принятая в науке истина
• постулат в математике
• догма в математике
• положение, принимаемое без доказательств
• не требует доказательств
• положение, принимаемое без доказ.
• истиное исходное положение теории
• истинное исходное положение теории
• Истина, не требующая доказательства
• Исходное положение какой-либо теории или науки, принимаемое без доказательств
• Положение, принимаемое без доказательств
• ж. греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина
• положение не требующее доказательств
• положение, принимаемое без доказ
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
Газлайтинг: как распознать психологические манипуляции и противостоять им
Типичные фразы газлайтеров: «Я такого не говорил», «Ты что-то путаешь», «Это всего лишь шутка», «Ты слишком чувствителен». Если вы часто слышите подобное в свой адрес, советуем насторожиться. Газлайтинг может принимать разные масштабы, а главное — он встречается значительно чаще, чем кажется.
Что такое газлайтинг
Газлайтинг — форма психологического насилия, при которой манипулятор отрицает произошедшие факты, пытаясь заставить жертву сомневаться в собственных воспоминаниях и изменяя ее восприятие реальности.
Газлайтер систематически обесценивает слова, переживания, поступки и успехи другого человека [1]. В конце концов его жертва начинает чувствовать себя беспомощной и неуверенной в себе. Человек все чаще задумывается о своей эмоциональной стабильности и адекватности, тогда как газлайтер получает практически полный контроль в отношениях [2]. Такая тактика манипуляции встречается повсеместно — в паре, в семье, на работе, в кругу друзей. При этом газлайтинг может быть преднамеренным или нет.
Термин стали использовать в середине XX века. Своим появлением он обязан фильму «Газовый свет» Джорджа Кьюкора 1944 года. По сюжету, коварный супруг манипулирует сознанием молодой жены, вынуждая ее считать себя душевнобольной. Сначала он убеждает возлюбленную в отсутствии у нее таланта к пению, уговаривает ее оставить карьеру и вернуться в родной город. А затем начинает подстраивать странные происшествия, убеждая девушку в том, что вокруг не происходит ничего необычного. Как выясняется, все это герой делает для того, чтобы завладеть наследством супруги.
Признаки газлайтинга
Вычислить газлайтинг можно по ряду характерных признаков. Для этого нужно, прежде всего, внимательно прислушиваться к собственным ощущениям. Вот список «симптомов», которые могут сигнализировать о том, что вы вступили в отношения с манипулятором:
1. Отрицание
На этом этапе проявляются первые признаки газлайтинга. Жертва замечает необычные изменения в поведении газлайтера, но не придает этому большого значения. Например, он может сказать что-то оскорбительное в ваш адрес или отрицать ранее совершенные поступки. Вы удивлены этому, но по-прежнему уверены в своей точке зрения.
2. Защита
Человек начинает сомневаться в себе и своем восприятии действительности. Он все чаще подвергается критике со стороны манипулятора и чувствует себя измотанным, но продолжает защищаться. Вы отчаянно спорите с газлайтером и все время ищите доказательства, которые помогут убедить его в вашей правоте и добиться его одобрения.
3. Депрессия
У жертвы не остается сил для борьбы и споров — она теряет свое «я». Человек начинает верить словам газлайтера и соглашается со всеми обвинениями, чтобы получить его расположение. Он чувствует себя беспомощным, разбитым, неорганизованным. На третьей стадии может развиться клиническая депрессия и тревожные расстройства.
Тактики газлайтинга
Чтобы ввести жертву в заблуждение и повлиять на ее восприятие реальности, газлайтер использует множество тактик. Речь идет о методичном «промывании мозгов». В результате спустя какое-то время жертва становится эмоционально зависима от агрессора — его настроения, мнения, поведения.
Вот шесть наиболее распространенных стратегий газлайтинга. Понаблюдайте за собой и близким окружением. Возможно, вы сможете узнать себя или кого-то из ваших знакомых в роли жертвы или манипулятора.
1. Отрицание фактов
Газлайтеры любят заниматься «переписыванием истории». Чтобы заставить человека усомниться в собственной памяти, они искажают факты и изменяют детали событий. Манипулятор может категорически отрицать, что говорил или делал что-либо, даже если доказательства говорят об обратном.
Вместо этого он станет обвинять жертву во лжи: «Зачем ты сочиняешь? Такого никогда не было!» Газлайтеры бывают настолько убедительны, что люди действительно начинают верить в их версию событий. Ситуация усугубляется, если жертвой становится человек рассеянный и забывчивый.
2. Злые шутки
В роли газлайтера обычно выступает человек из близкого окружения. Именно такие люди оказывают на нас наибольшее влияние. Они знают о наших уязвимых местах, слабостях и переживаниях, а значит, при желании могут легко использовать эти знания во вред.
Например, газлайтеры часто отпускают в адрес жертвы едкие и грубые шутки, делают неуместные замечания или дают обидные прозвища. Все это маскируется под дружеское подтрунивание, тогда как на самом деле задача манипулятора — ранить и унизить.
3. Обесценивание эмоций
Газлайтеры часто обесценивают и игнорируют чувства других людей. Если вы обиделись на его шутку, будьте готовы услышать: «Ты слишком чувствительна! Не раздувай из мухи слона». Если вы скажете, что вам плохо, он ответит: «Ты все придумала, тебе кажется. Лучше займись чем-нибудь полезным».
Манипулятор смещает фокус на собственные переживания и нужды, игнорируя душевное состояние жертвы. Со временем человек начинает считать, что все его эмоции и реакции неправильны, и перестает доверять своим чувствам. В результате газлайтер получает еще большую власть.
4. Подчеркивание неадекватности восприятия
Время от времени каждому человеку требуется «сверять часы» с другими людьми. Мы ищем доказательства точности нашего восприятия реальности и адекватности высказываний. Газлайтер, наоборот, старается убедить жертву в том, что ее реакция на происходящие события ненормальна.
Он может говорить: «В последнее время ты очень странный», «Ты неадекватно реагируешь», «С тобой точно все в порядке?», «Тебе явно нужна помощь». Все это приводит к появлению у жертвы сомнений, чувства вины и беспомощности. Именно такого эффекта и добивается манипулятор.
5. Перекладывание ответственности
Газлайтер ни при каких условиях не признает факт манипулирования. Вместо этого он будет искать виноватых вокруг себя и всегда придумает объяснение своим поступкам — его спровоцировали, вынудили или подставили. Типичный пример реакции: «Я не хотел ничего плохого. Ты сама меня вывела».
При таком способе психологического насилия манипулятор часто проецирует свои недостатки на других. Он обвиняет жертву в поведении, которое свойственно ему самому. Как следствие — человек начинает оправдываться и переключает внимание с газлайтера на себя.
6. Агрессия и враждебность
Газлайтер всегда находится в наступлении. Его любимый способ защиты — нападение. Например, если заподозрить такого человека в измене, он обвинит вас в патологической ревности, низкой самооценке и неуверенности в себе. А если предъявить ему доказательства — станет агрессивным.
Кроме того, газлайтер стремится принизить успехи и достижения своей жертвы. Фразы-маркеры: «В твои годы я уже давно это умел», «Ничего особенного», «Все так могут», «А ты попробуй сделать быстрее/качественнее». Его задача — заставить жертву чувствовать себя неполноценной.
Примеры газлайтинга
Идентифицировать газлайтеров не всегда просто: они не оставляют синяков и часто маскируют манипуляции под безобидный юмор, конструктивную критику или заботу. Разобраться с этим явлением проще всего на конкретных примерах.
Газлайтинг в паре
Пример: женщина уверена, что муж ей изменяет. Она замечает на его рубашке длинный волос, на шее — следы от помады. Мужчина все чаще задерживается на работе и не берет трубку. При этом на ее подозрения он говорит: «У тебя паранойя! Вместо того чтобы накормить меня ужином, ты задаешь глупые вопросы. Обратись к психологу и не отвлекай меня от работы!»
Итог: спустя некоторое время женщина теряет способность точно оценивать происходящее. Она начинает сомневаться в своих выводах, винит себя за излишнюю подозрительность и в конце концов извиняется перед мужем за беспочвенные обвинения.
Газлайтинг в отношении детей
Пример: мальчик получает пятерку по химии — предмету, который дается ему с большим трудом. После школы он спешит домой, чтобы порадовать родителей. Он с гордостью показывает дневник отцу, а в ответ слышит: «Ну и что? Чему ты так радуешься? Тоже мне великое достижение! У меня в твои годы вообще были одни пятерки. А ты недостаточно стараешься».
Итог: по мнению отца, так он стимулирует интерес сына к учебе и мотивирует его стремиться к высоким результатам. На самом же деле ребенок перестает доверять собственным эмоциям, убеждается в своей несостоятельности и вырастает неуверенным в себе.
Газлайтинг в дружеской компании
Пример: одна подруга регулярно критикует другую по поводу ее внешности, хобби, интересов и вкусов. «Я говорю тебе обо всем этом только потому, что люблю тебя», — объясняет девушка. Кроме того, ей нравится отпускать в адрес подруги колкие шутки и рассказывать ей о том, что говорят про нее за спиной. Чаще всего это обидные вещи. Но иногда от нее можно услышать комплимент.
Итог: самооценка девушки падает, но она продолжает общаться с токсичной подругой, поскольку та создает видимость заботы. Кроме того, газлайтер хочет изолировать неуверенную в себе девушку от других людей, чтобы получить над ней больший контроль. А ее редкие комплименты — способ сбить с толку и удержать на крючке.
Газлайтинг на рабочем месте
Пример: новый сотрудник получает задание от руководителя. Он записывает все, что необходимо сделать, и берется за работу. Когда поручение выполнено, начальник при всех делает выговор подчиненному. Он утверждает, что просил о другом. Сотрудник показывает записи, но руководитель возмущенно отвечает: «Ты издеваешься? Как я мог дать тебе такое поручение! У тебя все в порядке?»
Итог: после нескольких замечаний работник начинает верить, что неправильно понимает слова руководства. Он запутывается, на совещаниях чувствует себя неуверенно, испытывает чувство вины и постоянно находится в состоянии стресса. В результате его производительность падает [3].
Кроме того, специалисты выделяют следующие виды манипуляции.
Чем опасен газлайтинг
Человек, ставший жертвой газлайтинга, перестает доверять своим ощущениям. Со временем из-за действий манипулятора он может всерьез начать думать, что страдает расстройством психики. Кроме того, систематический газлайтинг нередко приводит к настоящим психологическим и эмоциональным проблемам. В их числе — повышенная тревожность, депрессия, посттравматическое стрессовое расстройство, формирование созависимости. Все это затрудняет выход жертвы из-под влияния манипулятора.
«Обычно у жертв газлайтинга очень сильно снижается самооценка. Сложно быть хорошего мнения о себе, когда вам постоянно доказывают, что такого не было или нельзя чувствовать, то, что вы чувствуете — это все “глупости” и “выдумки”. Сразу начинаешь ощущать себя каким-то не таким», — объясняет врач-психиатр, психотерапевт, специалист сервиса по подбору психологов Alter Анастасия Афанасьева.
Некоторые специалисты предполагают, что газлайтинг способен вызвать шизофрению. «Психоз потенциально может случиться, но вряд ли газлайтинг будет для этого основным провоцирующим фактором. Скорее всего, у человека уже имелась генетическая предрасположенность. А вот перестать понимать и различать свои эмоции, утратить доверие к собственной памяти, начать обесценивать то, что с вами происходит, — это прямые последствия газлайтинга», — добавляет Анастасия Афанасьева.
Яркий пример разрушительного влияния газлайтинга на человека — техника Zersetzung. Ее название можно перевести с немецкого как «биодеградация» или «разложение». В 70–80-е годы этот метод активно использовали сотрудники спецслужб ГДР для борьбы с «внутренним врагом».
Они проникали в дома диссидентов и вносили незначительные изменения в интерьер: перевешивали полотенца, перекладывали бумаги, открывали окна, заменяли посуду или засыпали в чайник другой сорт чая. По ночам людей беспокоили странные звонки, их автомобили переставляли в другие места, а прохожие на улицах часто называли их другими именами.
Делалось все, чтобы подорвать веру человека в собственную адекватность. Деморализованные жертвы замыкались в себе, переставали выходить из дома, медленно сходили с ума. В результате они не только прекращали политическую деятельность, но иногда и сводили счеты с жизнью.
Как бороться с газлайтингом
Психологическое давление может длиться годами, прежде чем жертва поймет, что происходит. При этом отношения с газлайтером чаще всего характеризуются как зависимые или созависимые, а значит, выходить из них особенно тяжело. Вот несколько полезных советов, которые позволят противостоять манипулятивным техникам.
Доверяйте своим чувствам
Чаще прислушивайтесь к своим ощущениям. Если вы расстроены, значит, так и есть. Никто не должен убеждать вас в обратном. Помните, что вы знаете себя гораздо лучше других, а ваши суждения о себе намного точнее, чем мнение газлайтера. Во время споров не пытайтесь переубедить манипулятора — это бессмысленно. Будьте непоколебимы: придерживайтесь собственной версии событий и фактов. Так вы сможете справиться с неуверенностью, даже если газлайтер усилит давление. Главное при общении с ним — уверенный тон и решительный настрой. А вот показывать агрессору сомнения и страхи нельзя.
«Чтобы не стать жертвой газлайтинга, важно четко осознавать свои физические и эмоциональные границы. То есть необходимо понимать, что лично для вас приемлемо, а что — нет. Если человек хорошо разбирается в своих эмоциях, знает, какие у него жизненные ценности и к чему он стремится, то обесценить его слова и подвергнуть сомнению его восприятие реальности будет крайне сложно», — объясняет Анастасия Афанасьева.
Заручитесь поддержкой друзей
Попросите людей, которым вы доверяете, взглянуть на ситуацию со стороны. Действительно ли у вас есть такие проблемы, о которых постоянно говорит газлайтер? Замечают ли они ваши «странности»? Кроме того, специалисты советуют фиксировать события: вести личный дневник, делать фотографии, записывать разговоры на диктофон. Во-первых, так у вас под рукой всегда будут доказательства, которые можно предъявить в нужный момент. Во-вторых, это позволит вам перепроверить собственные слова и воспоминания. Если вы убеждены в своей правоте, установить контроль над вами газлайтер не сможет.
«Задача здесь — не найти “правильное” решение, а получить разнообразие мнений. Возможно, вы увидите, что реальность не так однозначна, как вам ее представляют. Кроме того, иногда полезно сесть и написать рассказ от третьего лица, как бы наблюдая за собой со стороны. Это упражнение поможет яснее понять, действительно ли что-то не так с вами или с другим человеком», — советует Анастасия Афанасьева.
Не позволяйте себя обвинять
Когда в следующий раз газлайтер начнет искажать факты и пытаться заставить вас сомневаться в собственной адекватности, прямо сообщите ему о том, что вы не готовы мириться с его поведением. Дайте манипулятору понять, что вы разгадали его тактику. Четко обозначьте свои границы и спокойно объясните, что его слова обижают вас и в дальнейшем вы не станете это терпеть. Если ничего не помогает и манипулятор продолжает использовать газлайтинг в отношении вас, будьте готовы минимизировать или полностью прекратить общение с ним. Шансы, что агрессор изменит свое поведение, сводятся к нулю.
Обратитесь за помощью
Часто жертва поддается на манипуляции только потому, что ей важно оставаться в отношениях с манипулятором, а не разрывать их. Например, когда речь идет о газлайтинге в паре или между членами семьи. В этом случае нужно пересмотреть тактику своего поведения и начать следовать новым правилам. Лучше всего обратиться за помощью к квалифицированному специалисту. Чем дольше человек подвергается воздействию газлайтинга, тем разрушительнее будут последствия. Психолог поможет справиться с тревогой и страхами, разобраться в ваших сомнениях и выйти из ситуации с наименьшими потерями.
Комментарий психолога
Анастасия Афанасьева, врач-психиатр, психотерапевт, специалист сервиса по подбору психологов Alter, лектор Института организационной психологии
Жертвой газлайтинга может стать любой — все зависит от влиятельности и убедительности человека или группы лиц, которые используют подобные манипуляции. Но существуют определенные характеристики и черты личности, при которых люди с большей вероятностью поддаются газлайтингу.
Во-первых, юный возраст и низкий уровень образования. Дети еще не обладают абстрактным мышлением. Им сложно разобраться в своих эмоциях и в причинно-следственных связях, поэтому они верят взрослым на слово. Как родитель сказал — так и есть на самом деле. Ведь сравнивать им еще не с чем. То же касается и уровня образования.
Во-вторых, внушаемость. Если человек верит другим людям больше, чем себе, если мнение окружающих и их реакция для него важнее собственной оценки, то риск подвергнуться газлайтингу больше. Чтобы устоять перед подобными манипуляциями, необходимо хорошо понимать свою личность и иметь прочную внутреннюю опору на важные лично для вас вещи.
В-третьих, низкая самооценка. Если все вокруг такие умные, прекрасные эксперты, а я такой глупый и несуразный — конечно, я буду верить им, а не себе.
В-четвертых, склонность к созависимости. Чрезмерная реакция на эмоции и действия других людей (особенно тех, кто близок и дорог), плохое понимание своих интересов и ценностей с опорой на интересы и ценности партнера — это прямая дорога к газлайтингу.
В-пятых, неумение говорить «нет» и отстаивать личные границы. Если человек способен дать отпор и прекратить неуважительное поведение в свой адрес, вряд ли его будет легко подвергнуть газлайтингу.
Последний и, наверное, самый важный пункт — это опыт насилия в раннем детстве. Как показывает практика, обычно именно он и ведет к формированию всех вышеперечисленных черт личности.
Алена Голзицкая, системный семейный психотерапевт, специалист сервиса по подбору психологов Alter, научный сотрудник Психологического института РАО
Родиться газлайтером нельзя. Но можно родиться с предрасположенностью к определенному поведению. Из-за типа нервной системы или физиологических особенностей организма человек, например, может быть менее чувствителен к чужому страданию. Абьюзивное поведение формируется тогда, когда ребенок наблюдает, как значимый взрослый использует подобные манипулятивные приемы при взаимодействии с ним или с другими людьми.
Некоторые родители любят говорить: «Ты придумываешь — не было такого», «Я этого не говорил и не мог сказать», «Тебе приснилось», «Что ты ноешь — ничего ужасного не случилось». Если вы слышали подобные фразы в свой адрес и при этом начинали сомневаться в своих воспоминаниях или чувствах — вы сталкивались с проявлениями газлайтинга.
Люди, склонные к абьюзивному поведению, редко задумываются о том, как это влияет на окружающих. Они стремятся извлекать собственную выгоду из происходящего. А сомнения в том, правильно ли они себя ведут, как правило, их не посещают — это обусловлено защитными механизмами их психики. Поэтому обычно газлайтинг замечает тот, в отношении кого он осуществляется.
Если вы хотите сохранить отношения, попробуйте сказать своему партнеру, что чувствуете себя дискомфортно, когда он с вами так поступает. Сделайте акцент на своих переживаниях и попросите его обратить на это внимание. Вероятнее всего, партнеру понадобится профессиональная психотерапевтическая помощь в избавлении от паттерна газлайтинга. Но если сделать отношения более комфортными — ваше обоюдное желание, то, скорее всего, он пойдет на такой шаг.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Доказательство через синтез
Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.
Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство:
Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.
Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Доказательство через анализ
Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.
Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дан параллелограмм: ABCD.
Доказательство:
Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.
Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол напротив стороны а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.