Точка есть то часть чего есть ничто
Математика, которая мне нравится
Математика для школьников и студентов, обучение и образование
Определения Евклида
Первую Книгу “Начал” открывают многочисленные определения, за которыми следуют пять знаменитых постулатов. Далее, перед тем как Евклид начинает доказывать теоремы, он приводит список общих понятий. Первые несколько определений следующие:
Определение 1.1. Точка — это то, часть чего есть ничто.
Определение 1.2. Линия — это длина без ширины.
Определение 1.3. Концы линий — это точки.
Определение 1.4. Прямая линия лежит равномерно по отношению к точкам на ней.
Постулаты — это конструкции следующего вида:
Можно нарисовать прямую линию, соединяющую одну точку с любой другой.
Общие понятия — это аксиомы, такие как:
Объекты, равные одному и тому же объекту, равны между собой.
Следует отметить определенные моменты.
1. Евклид, кажется, определяет точки два раза (определения 1 и 3) и линией два раза (определения 2 и 4). Это довольно странно.
2. Евклид никогда не использует определения и никогда не ссылается на них в остальной части текста.
3. Некоторые понятия он нигде не определяет. Например, отсутствует определение порядка точек на прямой. Поэтому то, что одна точка расположена между двумя другими, также не определено, но, конечно же, это используется.
4. В пятой Книге “Начал” рассматриваются величины и их пропорциональность. Однако Евклид понятие величины не определяет, и современному читателю кажется, что Евклиду не удалось ввести величины с той строгостью, которой он знаменит.
5. Когда Евклид вводит величины и числа, он дает несколько определений, но не постулатов или общих понятий. Например, можно было бы ожидать от Евклида постулирования, что 
, и т.д., но он этого не делает.
Когда Евклид вводит числа в седьмой Книге, он дает определение, очень похожее на основные определения в начале первой Книги:
Единица — это то, благодаря чему каждая из вещей, которые существуют, называется одной.
Некоторые историки математики предположили, что нет разницы между способами введения основных определений в начале Книги I и в Книге V не потому, что Евклид писал пятую Книгу с меньшей строгостью. Вернее, они предполагают, что Евклид всегда оставлял основные понятия неопределенными, и определения в начале первой Книги являются более поздними добавлениями. Каковы доказательства этого?
Первый комментарий будет по поводу объяснения, почему Евклид никогда не ссылается на основные определения. Если бы их не было в тексте, который написал Евклид то, конечно, он не мог бы сослаться на них. Следующим пунктом следует отметить, что они очень похожи на работу, которая приписывается Герону и называется “Определение понятий геометрии”. Она содержит 133 определения геометрических понятий, начиная с точки, линии и т.д., которые очень близки к данным Евклидом. Кнорр в своей статье (W.R. Knorr, ‘Arithmêtikê stoicheiôsis’ : on Diophantus and Hero of Alexandria, Historia Math. 20 (2) (1993), 180-192) убедительно доказывает, что эта работа на самом деле принадлежит Диофанту. Дело вот в чем. Основано ли “Определение понятий геометрии” на “Началах” Евклида или основные определения из этой работы были включены в более поздние версии “Начал”?
Мы должны учесть то, что Секст Эмпирик говорит об определениях. Прежде всего заметим, что Секст писал около 200 г. н.э., и до сравнительно недавнего времени считалось, что Герон жил позже этого времени. Если бы это было так, то, конечно, Секст не мог бы сослаться на то, что написал Герон. Однако в последнее время годы жизни Герона отнесли к первому веку нашей эры, и это говорит о том, что Секст писал позже него. Другая часть головоломки, которую мы должны рассмотреть – это более ранние версии “Начал” Евклида, которые можно найти. Когда произошло извержение Везувия в 79 г. н.э., Геркуланум вместе с Помпеей и Стабией был уничтожен. Геркуланум был похоронен под твердой вулканической массой примерно на глубине 16 м и находился там до раскопок города, которые начались в XVIII веке. Особые условия влажности под землей способствовали сохранению дерева, тканей, продуктов питания, и, в частности, папирусов, которые позволили нам узнать важные сведения. Один из найденных папирусов содержит фрагменты “Начал”. Очевидно, что он был написан до 79 г. н.э. Так как Филодем (Philodemus), ученик Зенона Сидонского, пренес туда свою библиотеку папирусов вскоре после 75 г. до н.э., версии “Начал”, вероятно, датируются приблизительно этим временем.
Давайте вернемся к Сексту, который пишет о “математиках, описывающих геометрические объекты”. Интересно, что слово “описание” не используется в “Началах”, но употребляется в “Определении понятий геометрии” Герона. Снова описания, которые он дает, ближе к точным словам Герона, чем к тем, которые можно найти у Евклида. Когда Секст дает определение круга, он использует слово “определение”, которое является словом Евклида. Секст цитирует точное определение круга, которое появляется во фрагменте из Геркуланума. Это не относится к определению окружности, хотя Евклид действительно использует понятие окружности. Более поздние версии “Начал”, которые дошли до нас, включают определение окружности в определение круга.
Ничто из написанного выше не доказывает, что основные определения геометрических объектов были добавлены в “Начала” позже. Достаточно убедительно показано только, что определение круга было расширено за счет того, что в более поздних изданиях книги в него было включено определение окружности. Гипотеза состоит в том, что перед Секстом, когда он пишет, имеются “Начала” и “Определения понятий геометрии”, и он использует слово “описать”, когда он ссылается на Герона, и “определить”, когда ссылается на Евклида. Даже если это верно, то это все равно не доказывает, что версия “Начал”, которая лежит перед Секстом, не содержит основных определений геометрических объектов, но она, по крайней мере, говорит о том, что это стоит обсуждать. Что вы думаете по этому поводу?
И последнее, над чем стоит подумать. Мы привели выше:
Определение 1.4. Прямая линия лежит равномерно по отношению к точкам на ней.
Что это значит? Это описание кажется странным для Евклида, потому что оно выглядит бессмысленным. Сравните это с определением прямой в “Определениях понятий геометрии”:
Прямая линия — это линия, которая одинакова по отношению ко всем точкам на ней, лежит прямо и максимально натянута между своими концами.
Снова вопрос к читателям: вы думаете, что определение, входящее в “Начала”, является искажением определения Герон и было добавлено позже, или вы думаете, что Евклид дал весьма неточное определение, которое было улучшено Героном? Почему бы не использовать определение прямой линии как кратчайшего расстояния между двумя точками?
Начала Евклида. Книга 1
Для греков определить какой-нибудь объект — значило отграничить его от других.
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия — длина без ширины.
3. Концы линии — точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Концы поверхности — линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.
8. Плоский угол есть наклонение друг к другу двух линий в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по одной прямой.
9. Когда линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным.
10. Когда прямая, восстановленная на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.
11. Тупой угол—больший прямого.
12. Острый же — меньший прямого.
13. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
14. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.
15. Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии [которая называется окружностью], на которую все из одной точки внутри фигуры падающие на окружность круга прямые равны между собой.
16. Центром круга называется эта точка.
17. Диаметр круга есть какая угодно прямая, проведённая через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам.
18. Полукруг есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им окружности. Центр полукруга — то же самое, что и у круга.
19. Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трёхсторонние — между тремя, четырёхсторонние же — четырьмя, многосторонние же — которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.
20. Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же — имеющая только две равные стороны, разносторонний — имеющая три неравные стороны.
21. Кроме того, из трёхсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный же — имеющий тупой угол, а остроугольный — имеющий три острых угла.
22. Из четырёхсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонник — прямоугольная, но не равносторонняя, ромб — равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) — имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной.
Приведем в виде задач несколько предложений из Евклида, надеемся, что размышляя над этими задачами, вы осознаете величие книги Евклида.
Задача 1
На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник.
Пусть данная ограниченная прямая будет АВ (черт. 1).
Требуется на прямой АВ построить равносторонний треугольник.
Посмотрите внимательно на чертеж и вы увидите решение задачи.
Задача 2
От данной точки отложить прямую, равную данной прямой.
Пусть дана точка А и отрезок ВС; требуется от точки А отложить отрезок, равный отрезку ВС.
Посмотрите внимательно на чертеж и вы увидите решение задачи.
Отрезок AL равен отрезку BC, см. (черт. 2).
Задача 3
(Предложение 17 из второй книги Евклида.)
Из данной точки А к данному кругу С с центром Е провести касательную прямую линию.
Посмотрите внимательно на чертеж и вы увидите решение задачи.
Задача 4
(Предложение 15 из четвертой книги Евклида.)
В данный круг вписать шестиугольник равносторонний и равноугольный.
Пусть данный круг будет ABCDEI; требуется вписать в круг ABCDEI шестиугольник равносторонний и равноугольный.
Приведем решение Евклида.
Проведём диаметр AD круга ABCDEI и возьмём центр круга Н, из центра D раствором DH опишем круг EHCG, соединяющие прямые ЕН и СН продолжим до В и I и соединим A3, ВС, CD, DE, EI, IA. Я утверждаю, что ABCDEI шестиугольник равносторонний и равноугольный.
Действительно, поскольку точка Н есть центр круга ABCDEI, то НЕ равна HD. Далее, поскольку точка D центр круга EHCG, то DE равна DH.
Но, как доказано, НЕ равна HD; и значит, НЕ равна ED; значит, треугольник EHD равносторонний; и значит, три его угла EHD, HDE, DEH равны между собой, поскольку ведь в равнобедренных треугольниках углы при основании равны между собой (предложение 5 книги I), и три угла треугольника равны двум прямым (предложение 32 книги I).
Значит, угол EHD — треть двух прямых. Подобным же образом будет доказано, что и угол DHC третья часть двух прямых. И поскольку прямая СН, восставленная на ЕВ, образует смежные углы, равные двум прямым (предложение 13 книги I), то значит, и оставшийся угол СНВ треть двух прямых; значит, углы EHD, DHC, СИВ равны между собой, так что и их углы через вершину ВНА, AHI, IHE (предложение 15 книги I) равны [углам EHD, DHC, СНВ.
Значит, шесть углов EHD, DHC, СНВ, ВНА, AHI, IHE равны между собой. Равные углы опираются на равные обводы (предложение 26 книги III); значит, шесть обводов АВ, ВС, CD, DE, EI, IА равны между собой.
Равные же обводы стягиваются равными прямыми (предложение 29 книги III); значит, шесть этих прямых равны между собой; значит, шестиугольник ABCDEI равносторонний.
Я утверждаю, что и равноугольный.
Действительно, поскольку обвод IA равен обводу ED, прибавим общий обвод ABCD; значит, вся IABCD равна всей EDCBA; и на обвод IABCD опёрся угол IED, на обвод же EDCBA угол АI1Е, значит, угол AIE равен DEI (предложение 27 книги III).
Подобным же образом будет доказано, что и остальные углы шестиугольника ABCDEI поодиночке равны каждому из углов AIE, IED; значит, шестиугольник ABCDEI равноугольный.
Доказано же, что он и равносторонний и вписывается в круг ABCDEI.
Итак, в данный круг вписывается шестиугольник равносторонний и равноугольный, что и требовалось сделать.
Замечание. Термин радиус был неизвестен грекам, слово «radius — луч> введено позднее.
Задача 5
(Предложение 16 из четвертой книги Евклида.)
В данный круг вписать пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный (иными словами, правильный).
Пусть данный круг будет ABCD; требуется в круг ABCD вписать пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный (см чертеж).
Впишем в круг ABCD сторону АС равностороннего треугольника, в него вписанного (предложение 2), и сторону АВ равностороннего пятиугольника; значит, каких равных долей будет в круге ABCD пятнадцать, таких в обводе АВС, являющемся третью круга, будет пять, в обводе АВ, являющемся пятой частью круга, будет три.
Значит, в остающемся обводе ВС равных долей будет две.
Рассечём ВС пополам в Е (предложение 30 книги III); значит, каждый из обводов BE и ЕС будет пятнадцатой частью круга ABCD.
Значит, если, соединив BE и ЕС, будем вставлять в круг ABCD одну за другой равные им прямые (предложение 1), то получим вписанный в круг пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный, что и требовалось сделать.
Подобным же образом, как для пятиугольника, если провести через деления по кругу касательные к кругу, то опишется около круга пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный (предложение 12).
Ещё же на основании доказательств, подобных тем, что для пятиугольника, мы впишем в данный пятнадцатиугольник и опишем около него круг (предложения 13 и 14), что и требовалось сделать (7, 8, 9, 10).
Основы геометрии. Начала Евклида
Янош Боуи параллельно с Лобачевским и Гауссом разрабатывал начала неевклидовой геометрии, в которой параллельные прямые пересекаются, однако труд его не был оценен по достоинству современниками. После неудачного участия в конкурсе на премию Лейпцигского ученого общества «по вопросу об усовершенствовании геометрической теории мнимых чисел» Я. Боуи впал в тяжелую депрессию и пребывал в ней до конца жизни. Так что отец его оказался достаточно качественным ясновидцем.
Впрочем, приведенное в эпиграфе письмо только подтверждает, что сила эмоционального удовольствия от логического мышления для некоторых людей во много раз сильнее обычных житейских радостей. Если подобные последствия на пути постижения мира вас не пугают, то можно и продолжить изучение геометрии.
Основные определения
1. Точка есть то, что не имеет частей.
Примечание 1: здесь и далее определения, постулаты и аксиомы Евклида даются согласно перевода Д.Д. Мордухай-Болтовского (ОГИЗ, 1948 г) с греческого текста издания Гейзенберга. Сам я, не смотря на корни, греческим не владею, да и аутентичного текста начал все равно не сохранилось, а потому доверяюсь указанному переводу.
1.1. Таким образом у Евклида
А еще это означает, что в зависимости от вида решаемой задачи один и тот же физический объект окружающего нас мира (например, Солнце) может рассматриваться и как точка, и как двухмерный круг и как трехмерный шар. И если Евклид вкладывал в свое определение точки именно этот смысл, то тем самым дал первый толчок к формированию теории относительности.
Можно предположить, что из точек складываются или формируются все остальные геометрические фигуры. Однако сам Евклид нигде прямо об этом не говорит. В геометрии Евклида точка может рассматриваться как отдельный элемент, как элемент формообразования и как нечто общее для различных элементов и геометрических фигур.
Далее различные трактовки определений Евклида подробно рассматриваться не будут, а только необходимые на мой взгляд пояснения.
2.1. Это определение можно понимать так:
Линия в геометрии Евклида, как и точка, может рассматриваться отдельный элемент, как элемент формообразования и как нечто общее для различных элементов и геометрических фигур.
Во-вторых, определение №3 Евклида не допускает использования понятия бесконечности. Я думаю, это одна из причин, почему у Евклида нет отдельных определений для отрезка и для луча, да их и невозможно дать без использования понятия бесконечности.
4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней. Другой вариант перевода: прямая есть линия, равномерно данная своими точками.
Это одно из самых важных и самых сложных определений Евклида. Как видим, ни один из вариантов перевода не приближает нас к пониманию того, что есть прямая линия. Евклид, стремясь максимально упростить изложение материала, явно перестарался, а уж комментаторы перебрали не только все возможные значения древнегреческих слов, использованных в этом определении, но и своих определений прямой линии оставили на несколько томов. Все это безусловно интересно, но подробному рассмотрению всевозможных определений прямой линии следовало бы посвятить отдельную статью, а пока, если придерживаться принятой ранее логики, то можно сделать следующие выводы:
Впрочем для прямой линии можно дать и другие определения.
4.3. Для прямой линии всегда можно подобрать такую систему координат, при которой значения высоты и ширины для всех точек прямой линии будут постоянными, а изменяться будут только координаты длины, причем для каждой следующей точки это изменение будет составлять постоянную величину. Таким образом
И еще, если вспомнить о человеке, а если нет человека, то и геометрия никому не нужна, то, исходя из выше данного определения, можно сказать, что
прямую линию всегда можно расположить так, что наблюдателю будет видна только одна точка
Не смотря на то, что все эти определения допустимы, наиболее точно соответствующим духу Евклида я считаю определение 4.1, так как нельзя забывать о том, что понятия о функциях и уравнениях функций появились много позже (приблизительно в XVII в.), кроме того евклидова геометрия имеет дело только с фигурами и элементами, для которых есть прообразы в реальном мире, чисто математический анализ не входил в задачи геометрии. Тем не менее определение Евклида можно считать попыткой охарактеризовать прямую, как функцию длины от расстояния.
Отдельного определения кривой или ломанной линии Евклид не дает. Т.е. все линии, не являющиеся прямыми, являются кривыми или ломанными.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
Из этих определений, следуя логике, использованной при рассмотрении точки, линии и концов линии, можно заключить, что:
Поверхность в геометрии Евклида, как точка и линия, может рассматриваться отдельный элемент, как элемент формообразования и как нечто общее для различных элементов и геометрических фигур.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена к прямым на ней.
Определение плоскости Евклида еще более сложно для осмысления, чем определение прямой. На сегодняшний день существуют сотни определений плоскости, но ни одно из них, на мой взгляд, не передает кратко и точно суть плоскости. Между тем люди с древнейших времен окружены плоскостями и постоянно стремятся плоскости создавать. Сейчас мы живем в домах, которые представляют собой набор плоскостей, пользуемся мебелью, в которой плоские поверхности преобладают, а многие читают этот текст с плоского монитора. Я вижу в определении Евклида тот смысл, что:
На этом описание элементов геометрии, которые могут являться формообразующими элементами Евклид заканчивает. Далее следуют определения элементов геометрии, которые следует рассматривать, не как формообразующие, а как вспомогательные, т.е. дополнительно характеризующие любую геометрическую фигуру.
8. Плоский же угол, есть наклон друг к другу двух линий в плоскости касающихся, но не расположенных по одной прямой.
Еще можно сказать, что плоский угол всегда находится в одной плоскости.
Без комментариев. Проще и понятнее не скажешь.
13. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
А теперь посмотрим, что же это в итоге дает. Большинство объектов окружающего нас мира представляют собой трехмерные тела. Например, детский кубик, с помощью которого мы начинали в детстве изучение геометрии, если описать его с помощью данных выше определений, ограничен поверхностями, при этом каждая плоскость кубика ограничена линиями, при этом каждая линия ограничена точками. Геометрия же позволяет рассматривать свойства не всего кубика в целом, а свойства каждой отдельной поверхности и даже каждой отдельной линии или точки. Например, на одной из плоскостей кубика может быть изображен круг и с точки зрения геометрии допустимо рассматривать свойства круга только по отношению к плоскости, на которой круг находится, а на остальные плоскости кубика не обращать внимания, если условия задачи того не требуют.
15. Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии (окружности), на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой.
Далее следуют определения прямолинейных фигур, т.е. таких фигур, границы которых прямые линии. Суть этих определений хорошо понятна и сейчас без дополнительных пояснений, хотя и не все названия фигур совпадают с нынешними, например, определение трапеции Евклида не соответствует нынешнему, сейчас трапеция, это фигура, имеющая две параллельные стороны.
Следующее определение, являющееся последним в книге I Евклида, нарушает выстроенный ранее логический ряд:
23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в неопределенность (см. примечание 2), ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.
За этим следуют первые постулаты (в частности знаменитый 5 постулат) и аксиомы, рассматриваемые впрочем отдельно.
Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).
Точка есть то часть чего есть ничто
Лобачевский смотрел на жизнь, как на попутный ветер, который окрылял его мысль.
— Однажды царь Птолемей призвал Эвклида и спросил: «Есть ли к геометрии путь короче того, который проложен в твоих «Началах»?» На что Эвклид гордо ответил: «К геометрии нет особенного пути для царей. »
Голос учителя чистой математики Григория Ивановича Карташевского звучит торжественно, почти благоговейно. У Григория Ивановича сильное воображение. Когда он рассказывает о великих математиках древности, в казенные белые стены гимназии врывается шелест пальм далекой Александрии — бессмертного города, «волшебного цветка геометрической мысли прошлых веков», видишь лазурь Средиземного моря, голубоватые и розовые мраморные храмы Афин. То был особый мир, словно изваянный из единого куска мрамора — мир эллинов: Фидия, Эвклида и Архимеда. Древние греки говорили: «Если ты не был в Афинах — ты верблюд, если был и не восхитился — осел»…
— Один юноша, пришедший к Эвклиду учиться, будто бы спросил: какую, собственно, выгоду он получит от изучения геометрии. Эвклид повернулся к рабу и сказал: «Дай этому человеку три обола, он ищет не знаний, а выгоды…»
Николай Лобачевский не похож на того юношу, который пришел к Эвклиду за выгодой: он бескорыстно любит геометрию и даже по болезни старается не пропускать уроков Карташевского. Молодой, прекрасный, как античный бог, Карташевский представляется Николаю неким связующим звеном между тем, навсегда утраченным миром эллинов и серой, будничной действительностью, когда тебя поднимают по звонку в пять утра, «фрунтом» ведут в столовую, в классные комнаты, придирчиво проверяют мундирные куртки, суконные галстуки, допытываются на исповеди, не читаешь ли крамольных книг, веруешь ли в святую троицу. За каждым твоим шагом следят надзиратели: главный, старший, классный, комнатный. Всю ночь по спальням в чаду сальных свечей и каганцов разгуливают дежурные надзиратели.
Двенадцатилетний Лобачевский тайком от товарищей пописывает стихи. Он подражает любимому поэту Державину. Говорят, Гавриил Романович родился в Казани, учился вот в этой самой гимназии и даже стихи городу своей юности посвятил:
Державин живет в Петербурге, обласкан царем и, конечно же, никогда не вернется в Казань. Да и что ему делать тут? В окно видны глубокие красные овраги, тяжелые черные лодки на озере Кабан, по берегам которого сгрудились саманные и дощатые домишки суконных и татарских слободок, игольчатые минареты и купола мечетей, золотой шар Сюмбекиной башни, синие маковки церквей, праздная публика у вонючего канала… Только живя вдали от Казани, можно писать о ней красивые стихи. Николаю нравятся трагедии Державина, особенно «Аталиба, или Покорение Перу», «Ирод и Марианна». Он и сам мечтает написать что-нибудь в этом роде. Действие трагедии, разумеется, нужно перенести в Александрию — столицу греко-египетского государства, основанную великим завоевателем Александром Македонским. Здесь мудрый старец в белой тоге Эвклид чертил бамбуковыми палочками на песке свои геометрические фигуры, здесь он две тысячи лет назад создал знаменитые «Начала», по которым с тех пор все обучаются геометрии; сюда приезжал учиться родственник царя Гиерона Архимед, сказавший «Дай мне, где стать, и я сдвину Землю». Здесь, в Александрии, закатилось солнце древнегреческой математики. Лобачевского поразил рассказ учителя о Гипатии Александрийской. То было во времена Римской империи, в IV веке, когда в Александрии хозяйничали христианские монахи. На мрачном фоне умирающего великого города вспыхнула необычайно яркая математическая звезда — Гипатия, женщина — философ и математик. Она славилась своей необыкновенной красотой, а еще больше — умом. Со всех концов империи на поклон к Гипатии стекались несметные толпы. Ею восхищались ученые: ведь это она составила обширные комментарии на алгебраические сочинения Диофанта и по теории сечений Аполлония Пергского! Гипатии приписывают честь изобретения планисферы и ареометра. Злобный мракобес архиепископ Кирилл решил уничтожить «язычницу», натравив на нее монахов. Гипатию растерзали, разрубили ее прекрасное тело на куски и сожгли на костре.
— В плоскости через точку можно провести один только перпендикул к линии… — звучит голос Григория Ивановича.
Николай Лобачевский с братьями Александром и Алексеем сидит за первым столом. Они все трое — казеннокоштные. Казеннокоштные гимназисты обязаны сидеть за первыми столами; за казенных деньги платит государство, а потому они должны учиться лучше пансионеров и полупансионеров. Для казенных установлен военный режим, их не отпускают в город; гулять разрешается лишь на переднем дворе гимназии. Задний двор — запретное место: оттуда легко удрать. Своекоштные пользуются полной свободой. Зато они вынуждены платить за учение по триста рублей в год и еще издерживать на «дядьку», платье, книги рублей двести. Пансионеры платят за полное содержание и одежду, полупансионеры одежды не получают, а делают взнос за содержание.
Так и сидят в классной комнате: казеннокоштные, дальше — своекоштные, пансионеры и полупансионеры. Казеннокоштные в большинстве своем — дети разночинцев; остальные — из дворян. Николай с презрением поглядывает на второгодника, барчука Сережу Аксакова. Сережа живет на квартире у Григория Ивановича. В неурочные часы Карташевский занимается с ним отдельно, опекает его, втолковывает алгебру и геометрию. Аксаков хорошо разбирается в литературе, читает наизусть оды и трагедии Державина, Хераскова, Сумарокова; но когда дело доходит до математики, Сережа превращается в истукана. Понять, почему в плоскости через точку можно провести один только перпендикул к линии, Аксаков не в состоянии. А такие люди не могут не вызывать презрения. С Аксаковым Николай не водится, он дружит со старшеклассниками — братьями Княжевичами, Перевощиковыми, Петром Алехиным, Пахомовым, Сыромятниковым, Крыловым. В гимназии учатся целыми семьями: братья Перевощиковы, братья Княжевичи, братья Панаевы, братья Лобачевские. Братьев вызывают по номерам: первый, второй, третий, или же — старший, младший.
Откуда знать Лобачевскому, что много лет спустя писатель Сергей Тимофеевич Аксаков помянет его восторженным словом в своей замечательной книге «Семейная хроника и воспоминания». С легкой грустью расскажет писатель об этих вот на первый взгляд ничем не примечательных буднях Казанской гимназии, о своих товарищах и воспитателях, о Григории Ивановиче Карташевском, который породнится с семьей Аксаковых, станет попечителем учебного округа, сенатором. «Григорий Иванович серьезно занимался своей наукой и, пользуясь трудами знаменитых тогда ученых по этой части, писал собственный курс чистой математики для преподавания в гимназии, — расскажет Аксаков, — он читал много немецких писателей, философов и постоянно совершенствовал себя в латинском языке. Григорий Иванович отлично знал новейшие языки и свободно писал на них…» Карташевский войдет в историю как великолепный, незаурядный педагог, всеми помыслами преданный науке. Другие, сидящие сейчас за классными столами, тоже войдут в историю. Дмитрий Перевощиков, например, сделается известным математиком, профессором астрономии и математики. Его брат Василий станет профессором российской словесности действительным членом Российской Академии. Александр Княжевич будет министром финансов. Много добрых исполнительных чиновников выйдет из стен Казанской гимназии. Вот они, еще не осознавшие своего назначения, склонились над тетрадками и аспидными досками. И никому невдомек, что среди них сидит гений, которому суждено возвыситься над всеми — над академиками, министрами, попечителями и сенаторами, над своим временем, шагнуть в бессмертие.