Триангуляция что это в математике
Триангуляция что это в математике
Такая задача возникает, например, при построении графиков функций, генерации сложных ландшафтов.
Возможное решение этой проблемы состоит в дискретизации: для всех точек не из A пусть f(p) равняется высоте ближайшей точки из A. Получится нечто вроде нарисованного ниже.
Выглядит довольно неестественно. Гораздо лучше воспользоваться триангуляцией данного набора точек, а потом поднять каждую точку на высоту, соответствующую ее положению в треугольнике.
Формальное определение триангуляции: планарный граф, получающийся при соединении точек A отрезками, такой, что нельзя добавить ни одного нового отрезка без нарушения планарности (т.е без пересечения отрезками друг друга). При этом граница триангуляции будет, очевидно, выпуклой оболочкой множества A.
Одно и то же множество можно триангулировать разными способами. Рассмотрим углы в получающихся треугольниках. Выберем минимальный угол. Триангуляция дает тем лучшую аппроксимацию, чем больше ее минимальный угол, при этом формируемые треугольники ‘стремятся к равноугольности’. Особенно важна максимизация минимального угла в задачах вычислительной математики, когда точность производимых вычислений очень сильно зависит от размера минимального угла триангуляции графика. Наилучшей в этом смысле триангуляцией является триангуляция Делоне.
Простейшим способом ее построения является инкрементальный алгоритм, работающий за O(n 2 ) операций. Реализация из соответствующей статьи не поддерживает вырожденные случаи, когда 4 точки из множества лежат на одной окружности: в этом случае триангуляция Делоне не уникальна, их несколько, но минимальные углы этих триангуляций равны.
Обычно рассматривают триангуляцию на плоскости, однако триангуляция Делоне аналогично определяется и для n-мерного пространства.
Диаграмма Вороного
Рассмотрим следующую задачу: есть почтовые службы pi, мы хотим знать, какую область плоскости обслуживает каждая. При этом каждую точку q обслуживает та служба, которая ближе. Ответ на этот и ряд других вопросов, связанных с близостью на плоскости, дает диаграмма Вороного.
Диаграмма Вороного изображена на рисунке выше. Она состоит из вершин(v) диаграммы и ее сторон(e). Формальное определение:
Можно провести очень интересную аналогию из области кристаллографии. Предположим, что точки представляются в виде зерен кристалла, которые растут с постоянной скоростью во всех направлениях. Предположим также, что рост зерен кристалла продолжается до тех пор, пока два или более зерен не встретятся. Через некоторое достаточное время каждое выросшее зерно будет представлено в виде ячейки диаграммы Вороного для своего ядра(вполне очевидно, что рост крайних неограниченных областей может продолжаться бесконечно). В результате будет получена диаграмма Вороного для множества P.
Весьма забавно представить более быстрый процесс роста в одном из направлений и при расположении ядер в фиксированных точках в пространстве. Полученная в результате диаграмма Вороного в трехмерном пространстве будет состоять из ограниченных и неограниченных полиэдральных областей.
Диаграмма Вороного аналогично определяется для n-мерного пространства. Алгоритм построения диаграммы Вороного описан в англоязычной статье.
Связь между диаграммой Вороного и триангуляцией Делоне
Так что можно говорить об однозначном соответствии между диаграммой Вороного и триангуляциями Делоне. Посмотрим, например, как из диаграммы получается триангуляция.
Таким образом, триангуляция получается соединением всех смежных точек P отрезками. Единственная проблема: четыре или более точек в графе Делоне могут лежать на одной окружности.
Такие точки образуют выпуклые полигоны, которые триангулируются добавлением произвольных непересекающихся диагоналей. Тогда триангуляция будет окончательной. Можно сказать, что триангуляция Делоне получается из графа Делоне добавлением 0 или более ребер.
Связь выпуклой оболочки с триангуляцией Делоне и диаграммой Вороного
N-мерная триангуляция Делоне и диаграмма Вороного могут быть получены путем вычисления N+1-мерной выпуклой оболочки. Процесс довольно простой, но выходит за рамки общего раздела, а потому описан в отдельной статье. Там же описано и получение выпуклой оболочки на плоскости из диаграммы.
Информацию о решении конкретных задач можно также найти в разделе Олимпиадные задачи: геометрия.
Триангуляция
Резюме
Математика
Метод представляет интерес, если мы хотим определять большие расстояния; но в этом случае мы должны разместить двух наблюдателей достаточно далеко друг от друга, чтобы измерения углов были более точными.
Используемые математические свойства
Для триангуляции часто используются следующие свойства:
Триангуляция страны
До 1980-х годов триангуляция в основном использовалась для измерения расстояний (расстояния по прямой, которые не должны быть покрыты, поверхность имела рельеф и кривизну). Триангуляция заключается в получении путем визирования углов треугольника, вершины которого выбираются исходя из их видимости (башня, вершина, колокольня и т. Д.). Этот первый треугольник затем соединяется цепью с другим, имеющим с ним одну общую сторону, продолжая цепочку вдоль измеряемого меридиана. Достаточно определить основание в начале, то есть измерить на земле одну сторону первого треугольника, чтобы получить длину сторон всех треугольников.
Приложения
Триангуляция по направлениям чтения
В случае электромагнитных волн (например, радиоволн ) положение может быть определено с помощью направленной антенны (то есть антенны, улавливающей только волны, приходящие с заданного направления); ориентация, при которой сигнал является наиболее сильным, дает направление передатчика, тогда достаточно снять несколько показаний, чтобы определить положение передатчика ( пеленгирование ). Этот метод, например, использовался во время немецкой оккупации Франции для обнаружения подпольных радиопередатчиков.
Обычная пеленгаторная частота 410 кГц по-прежнему зарезервирована во всем мире для пеленгации по запросу и сообщает свое местоположение судам и самолетам, которые их запрашивали.
Статическая позиция
Мы целимся в две точки и отмечаем направления прицеливания. Затем достаточно провести на карте прямую линию, проходящую через целевую точку с указанием направления. Пересечение линий дает позицию.
У нас есть две вершины треугольника (ориентиры) и направление двух сторон, не соединяющих эти вершины (опоры), что позволяет полностью определить треугольник.
Движущийся автомобиль
В случае движущегося транспортного средства необходимо учитывать движение транспортного средства. Для этого необходимо знать направление и скорость транспортного средства. Направление движения задается компасом ; в случае парусника скорость можно оценить по скорости ветра и течения.
Если скорость низкая и показания снимаются внимательно (в случае морского судоходства), этим явлением можно пренебречь, с другой стороны, следует отметить время считывания.
Знание этого движения дает возможность считывать показания только с одним ориентиром, например, в случае навигации в туманную погоду, когда периодически будет видно только характерное место. Затем записываются направления и время обследования.
Триангуляция путем измерения расстояний
Положение можно отметить, оценив расстояние по трем точкам. Если мы возьмем две опорные точки, у нас будет две вершины и длины сторон, не соединяющих эти вершины, что определяет два треугольника; точка обзора находится в третьей вершине одного из этих треугольников. Добавление третьей опорной точки позволяет определить, какая из двух вершин является правильной.
Использование силы сигнала
Использование скорости распространения сигнала
Если у нас есть события, излучающие сигнал, то, отмечая задержку прибытия сигналов, мы можем определить разницу в расстоянии между событиями и приемниками, при условии, что скорость распространения сигнала известна.
Если сам приемник синхронизирован с передатчиками, то можно напрямую определить время прохождения и, следовательно, расстояние между передатчиком и приемником.
Существует несколько типов сейсмических волн, распространяющихся с разной скоростью, что позволяет сделать несколько определений. Однако проблема усложняется, потому что:
Для спутниковой навигации (система типа GPS ) есть несколько синхронизированных передатчиков и один приемник в месте расположения.
ТРИАНГУЛЯЦИЯ
Лит.:[1] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; [2] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977.
С. В. Матвеев.
Полезное
Смотреть что такое «ТРИАНГУЛЯЦИЯ» в других словарях:
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — (позд. лат., от лат. triangalus треугольник.). Тригонометрическое действие, при посредстве которого снимают план с известной местности, разделивши ее на треугольники, которые вычисляются при помощи тригонометрических формул. Словарь иностранных… … Словарь иностранных слов русского языка
Триангуляция — (геодезия) один из методов создания сети опорных геодезических пунктов и сама сеть. В математике Триангуляция (топология) разбиение топологического пространства на симплексы. Триангуляция Делоне … Википедия
Триангуляция — (от лат. triangulum треугольник * a. triangulation, survey by triangulation; н. Triangulation; ф. triangulation; и. tciangulacion) один из методов создания сети опорных геодезич. пунктов, заключающийся в построении рядов или сетей из… … Геологическая энциклопедия
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — ТРИАНГУЛЯЦИЯ, см. тригонометрия. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
триангуляция — Метод построения геодезической сети в виде треугольников, в которых измерены их углы и некоторые из сторон [ГОСТ 22268 76] триангуляция Метод определения планового положения геодезических пунктов путём построения на местности системы смежных или… … Справочник технического переводчика
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — (от лат. triangulum треугольник) метод определения положения геодезических пунктов построением на местности систем смежно расположенных треугольников, в которых измеряют длину одной стороны (по базису) и углы, а длины других сторон получают… … Большой Энциклопедический словарь
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — (тригонометрическая съемка), в навигации и топографической съемке метод определения расстояния. Площадь съемки делится на треугольники. Затем ТЕОДОЛИТОМ измеряют основание треугольника и прилежащие углы. Расстояния от концов основания до… … Научно-технический энциклопедический словарь
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — ТРИАНГУЛЯЦИЯ, триангуляции, мн. нет, жен. (от лат. triangulus треугольник). 1. Вычисление углов и протяжений методами тригонометрии (мат.). 2. Определение взаимного расположения точек на поверхности при помощи построения сети треугольников… … Толковый словарь Ушакова
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — (Triangulation) наиболее точный прием определения взаимного расположения точек на земной поверхности. При Т. выбираются на открытых и возвышенных местах опорные пункты и закрепляются постройкой специальных знаков. Стороны между знаками образуют… … Морской словарь
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — горизонтальная съемка расположения вершин сети треугольников путем измерения длины одной стороны базиса и измерения всех углов. Т. применяется для точной съемки больших участков земной поверхности или для определения длины дуги меридиана или… … Технический железнодорожный словарь
триангуляция — сущ., кол во синонимов: 2 • аэротриангуляция (1) • стереотриангуляция (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Триангуляция (геометрия)
В геометрии, триангуляция в наиболее общем значении — это разбиение геометрического объекта на симплексы. Например, на плоскости это разбиение на треугольники, откуда и название.
Разные разделы геометрии используют несколько отличные определения этого термина.
Триангуляция T пространства 
— это подразбиение на (n + 1)-мерные симплексы, такие что:
Триангуляция множества точек, то есть, триангуляция дискретного множества точек 
— это разбиение выпуклой оболочки точек на симплексы так, что выполняется первое условие из предыдущего определения, и множество точек, являющихся вершинами симплексов разбиения, совпадает с 
. Триангуляция Делоне является наиболее известным видом триангуляции множества точек.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Триангуляция (геометрия)» в других словарях:
Триангуляция Делоне — Триангуляцией Делоне для множества точек S на плоскости называют триангуляцию DT(S), такую что никакая точка A из S не содержится внутри окружности, описанной вокруг любого треугольника … Википедия
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — 1) Т. полиэдра, прямолинейная триангуляция, представление полиэдра в виде тела геометрического симплициального комплекса К, т. е. такое его разбиение на замкнутые симплексы, что каждые два симплекса либо не пересекаются, либо пересекаются по их… … Математическая энциклопедия
Вычислительная геометрия — раздел дискретной математики, в котором рассматриваются алгоритмы для решения геометрических задач. В ней рассматриваются такие задачи как триангуляция, построение выпуклой оболочки, определение принадлежности одного объекта другому, поиск их… … Википедия
Компьютерная геометрия — Вычислительная геометрия раздел дискретной математики, в котором рассматриваются алгоритмы для решения геометрических задач. В ней рассматриваются такие задачи как триангуляция, построение выпуклой оболочки, определение принадлежности одного… … Википедия
Полигональная сетка — Пример полигональной сетки, изображающей дельфина. Полигональная сетка (англ. polygon mesh) или неструктурированная сетка это совок … Википедия
Список алгоритмов — Эта страница информационный список. Основная статья: Алгоритм Ниже приводится список алгоритмов, группированный по категориям. Более детальные сведения приводятся в списке структур данных и … Википедия
Программируемые алгоритмы — Служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы. Данное предупреждение не устанавл … Википедия
Решение треугольников — (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики[1]. Треугольник может располагаться на… … Википедия
Гравитация — (притяжение, всемирное тяготение, тяготение) (от лат. gravitas «тяжесть») универсальное фундаментальное взаимодействие между всеми материальными телами. В приближении малых скоростей и слабого гравитационного взаимодействия… … Википедия
Квантовая гравитация — направление исследований в теоретической физике, целью которого является квантовое описание гравитационного взаимодействия (и, в случае успеха объединение таким образом гравитации с остальными тремя фундаментальными взаимодействиями, то есть… … Википедия
Значение слова «триангуляция»
1. Мат. Разбивка поверхности на треугольники.
2. Геод. Метод определения положения опорных точек на земной поверхности для топографической съемки местности.
[От лат. triangulum — треугольник]
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
Триангуляция в геодезии — один из методов создания сети опорных геодезических пунктов и сама сеть;
Триангуляция в сотовой связи — один из методов вычисления местонахождения абонента мобильной связи;
триангуляция в военном деле — воинское формирование военных и гражданских чиновников Корпуса военных топографов, выполнявших съёмку конкретного участка местности, например целой губернии;
Триангуляция (геометрия) — разбиение топологического пространства на симплексы;
ТРИАНГУЛЯ’ЦИЯ, и, мн. нет, ж. [от латин. triangulus — треугольник]. 1. Вычисление углов и протяжений методами тригонометрии (мат.). 2. Определение взаимного расположения точек на поверхности при помощи построения сети треугольников (геодез.). 3. Вычисление длины дуги меридиана путем вычисления длины сторон последовательного ряда треугольников (геогр.).
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
триангуля́ция
1. разбивка, деление геометрической поверхности на треугольники и вычисление углов и протяжений тригонометрическим способом
2. геодезический метод нахождения опорных точек на земной поверхности, служащих для топографических съемок и различных геодезических измерений на местности
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: подписание — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?