У васи сестер на 2 больше чем братьев

Владимир Арнольд о задачах и поэзии

Известный российский математик и популяризатор науки, академик РАН Владимир Арнольд комментирует для ТрВ ход завершившегося конкурса Фонда «Династия» по решению задач из своей книги «Задачи для детей от 5 до 15 лет», а также рассказывает о стихах, которые читают школьники на поэтических вечерах в Дубне.

А теперь у нее другие мысли (6 лет): «Дед, ну зачем у меня такие красивые голубые глаза? А Петя ведь красивый, как планета Марс?»

Вот пример задачи, за решение которой проверявшие студенты поставили двойку девочке лет 11 лет (из деревни под Тамбовом), а я исправил (на конкурсе Зимина) на пятерку.

Задача 7: У Васи сестер на 2 больше, чем братьев. На сколько у Васиных родителей больше дочерей, чем сыновей?

Девочка написала такой ответ: «Если Вася — мальчик, то на 1, а если Вася — девочка, то на 3. Я, например, Василиса — и все меня зовут «Вася», так что ответов два».

Студент же считал, что ответ — ошибочный на самом деле, — он думал, что Вася — мальчик, а про Василису не догадался. Я, когда сочинял задачу, тоже не подумал про Василис (хотя у моей подружки Аллки дочка Василиса, и я уже лет 30 зову её Вася).

Другому мальчику поставили двойку за задачу 8, он сказал: «Поскольку все озеро закрыто 1 июля, то половина озера закрыта накануне, т.е. 31 июня». Я и ему исправил с 2 на 5!

Задача 8: В Южной Америке есть круглое озеро, где 1 июня каждого года в центре озера появляется цветок Виктории Регии (стебель поднимается со дна, а лепестки лежат на воде, как у кувшинки). Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое, и 1 июля он, наконец, покрывает все озеро, лепестки лежат на воде, как у кувшинки). Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое, а 1 июля он, наконец, покрывает все озеро, лепестки осыпаются, семена опускаются на дно. Какого числа площадь цветка составляет половину площади озера?

На конкурс по решению этих задач, проводившийся основателем Би-Лайн Дмитрием Борисовичем Зиминым, правнуком Гучкова, принявшего отречение Николая II и основавшего партию октябристов), прислали несколько тысяч детских работ, страниц по 100 в каждой (и я перепроверял сотню тех, кому студенты уже поставили лучшие отметки).

Зимин позвал их (на свои деньги) в Москву на «конференцию» (например, из Рязанской области) — это награда победителям, а я с ними в НМУ беседовал.

Там меня спросила одна учительница: «В.И., это правда, что Вы ежегодно ездите в Дубну и там читаете лекции школьникам, которые и задачи у Вас там решают?». Я сознался, что правда. Тогда она сказала: «Неужели, дети могут у Вас понять хоть слово, а еще и решать? Я вот — не могу!». В ответ я привел пример шестиклассницы (из Щербинки): в 2008 г. она лучше всех решала, побеждала на олимпиаде, исправляла мои ошибки в лекциях! Учительница была рада моему ответу «Спасибо, В.И., ведь это — моя дочка».

В 2009 г. эта Надя Шухова опять была в Дубне, и я спросил, как ее успехи. Она сказала: вот сейчас я студентка 2 курса мехмата МГУ (т.е. сдала на пятерки все экзамены и за три оставшихся года школы, и за первый курс мехмата, где проучилась уже год).

Стихотворные вечера в Дубне

В Школе в Дубне каждый год проводятся поэтические вечера, на которых можно прочитать собственное или любое другое стихотворение на любом языке, русском или иностранном. Один из учеников прочел нам на вечере поэзии следующее стихотворение:

Pierre de Marbouf (1596-1645)

Et la mer et I’amour ont I’amer pour partage,
Et la mer est amiire, et Yamour est amer,
L’on s’ab о me en I’amour aussi bien qu’en la mer,
Car la mer et I’amour ne sont point sans orage.

Celui qui craint les eaux qu’il demeure au rivage,
Celui qui craint les maux qu’on souffre pour aimer,
Qu’il ne se laisse pas а l’amour enflammer,
Et tous deux ils seront sans hasard de naufrage.

La mure de l’amour eut la mer pour berceau,
Le feu sort de l’amour, sa mure sort de l’eau,
Mais l’eau contre ce feu ne peut fournir des armes.

Si l’eau pouvait eteindre un brasier amoureux,
Ton amour qui me brule est si fort douloureux,
Que j’eusse eteint son feu de la mer de mes larmes.

В подстрочном переводе эти стихи звучали бы так:

И море, и любовь оба горьки:
Горька морская вода, горчит и любовь.
Не меньше людей губит любовь, чем море, —
Потому что бури бывают и там, и там.

Кто боится воды, пусть остается на берегу.
Кто боится зол, приносимых любовью,
Не должен воспламеняться ею —
И тогда оба они в безопасности от гибели.

Твоя любовь жжет меня такой болью,
Что, будь вода средством против огня,
Я залил бы огонь этой любви морем моих слез.

Об авторе этого стихотворения я знаю только то, что он входил в группу «Pleiade» (Пьера Ронсора), называвшуюся вначале «Brigade».

Другой школьник в Дубне прочел нам гекзаметром «Курочку Рябу» — пародию на Гомера с комментарием «Автора не знаю». По слухам, ее автор — математик, профессор МГУ Владимир Андреевич Успенский, написавший эту пародию в 14 лет в качестве школьного сочинения. В этом году он был в Дубне лектором.

«Курочка Ряба»
в изложении Гомера (в переводе Жуковского) Песнь первая

Муза, скажи мне о той многоопытной куре, носящей
Имя славнейшее Рябы, которая как-то в мученьях
Ночью, в курятнике сидя, снесла золотое яичко.

(Песни вторая — семнадцатая содержат описание того, как курица кудахчет над золотым яйцом.)

Песнь восемнадцатая

Встала из мрака младая с перстами пурпурными Эос;
Ложе покинул старик, и покинула ложе старуха;
Вышли из дома, к курятнику путь направляя свой близкий.

Песнь девятнадцатая

Входят в курятник и видят яйцо золотое лежащим;
Круглое, твёрдое, гладкое, ковано словно Гефестом,
Это яйцо всё кругом озаряло чудесным сияньем.

Песнь двадцатая

Тут, ослеплённые светом, поспешно к яйцу подбежали;
Стали усердно долбить, но напрасен был труд их нелёгкий:
Тщетно пытались они разломать скорлупу золотую.

(Песни двадцать первая — сорок пятая содержат описание того, как они долбят золотое яйцо.)

Песнь сорок шестая

Мышка веленьем судеб пробегала вблизи в это время,
Волей всевышних богов зацепила хвостом за яичко;
На пол упавши, яйцо на мельчайшие части разбилось.
Плачь же, старуха несчастная! Слёзы, старик, лей обильно!

В.А.Успенский,
июнь 1945

Примечание:

Об истории этих стихов см. книгу Владимира Андреевича Успенского «Труды по нематематике» («ОГИ», 2002, www.mccme.ru/free-books/usp.htm).

Книгу В.И. Арнольда «Задачи для детей от 5 до 15 лет» можно посмотреть на сайте www.math.ru/lib/478

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Источник

Более сложные задачи, решаемые уравнением

438. Сейчас отцу 38 лет, сыну 15 лет, дочери 5 лет. Через сколько лет сыну и дочери вместе будет столько же лет, сколько и отцу?

439. а) У Васи было на 10 марок меньше, чем у Коли. Каждый мальчик подарил Саше по 15 марок. У Васи осталось марок в 2 раза меньше, чем у Коли. По сколько марок было у мальчиков первоначально?

б) У Маши было на 5 открыток меньше, чем у Кати. Девочкам подарили еще по 3 открытки. У Кати стало открыток в 2 раза больше, чем у Маши. По сколько открыток было у девочек первоначально?

Начиная с задачи 439 (а) составление уравнения производится кратным сравнением величин, выраженных через x.

Пусть у Васи было x марок, тогда у Коли было x + 10 марок. После того как они подарили Саше по 15 марок, у Васи стало
x – 15, у Коли x + 10 – 15 = x – 5 марок. У Васи стало в 2 раза меньше марок, чем у Коли, поэтому

откуда x = 25. У Васи было 25 марок, у Коли 25 + 10 = 35 марок.

440.* На станции стояло два состава товарных вагонов (все вагоны одинаковой длины). В первом составе было на 12 вагонов больше, чем во втором; когда от каждого состава отцепили по 4 вагона, то длина первого состава оказалась в 2 раза больше длины второго состава. Сколько вагонов было в каждом составе?

441.* У мальчика в коллекции было 210 российских марок и 65 иностранных. Когда ему подарили еще 25 марок, то российских марок стало в 3 раза больше, чем иностранных. Сколько российских марок подарили мальчику?

На примере этой задачи можно показать учащимся способ краткого оформления решения с помощью таблицы. Он пригодится для решении более сложных задач.

Пусть мальчику подарили x русских марок, тогда ему подарили
25 – x иностранных марок.

Российских

Остается составить уравнение 210 + x = 3(90 – x) и решить его.

442. Отцу 32 года, сыну 8 лет. Через сколько лет отец будет:

1) в 3 раза старше сына? 2) в 5 раз старше сына?

443. Брату 12 лет, он в 3 раза старше своей сестры. Через сколько лет он будет в 2 раза старше своей сестры?

444. а) Мама в 8 раз старше своей дочери, а через 4 года она будет старше дочери в 4 раза. Сколько лет дочери сейчас?

б) Брат в 3 раза старше сестры, а через 5 лет он будет в 2 раза старше сестры. Сколько сейчас лет брату и сестре?

445. Отец старше сына на 24 года. Сейчас он старше сына в 3 раза. Через сколько лет отец будет:

1) в 2 раза старше сына? 2) в 5 раз старше сына?

Завершим цепочку задач о возрастах родственников задачей из сборника задач и упражнений Е.С. Березанской.

446. Мать старше дочери в 2,5 раза, а 6 лет назад мать была в 4 раза старше дочери. Сколько лет матери и сколько лет дочери?

К этой задаче дано указание: Мать старше дочери в 2,5 раза, то есть в разности лет матери и дочери возраст дочери содержится 1,5раза (2,5 – 1). В этой же разности 6 лет назад возраст дочери содержался 3 раза (4 – 1). Значит, возраст дочери через
6 лет увеличился в 2 раза (3:1,5).

Остается добавить, что теперь дочери 6 ·2 = 12 лет, а матери 12 ·2,5 = 30 лет. Здесь как раз тот случай, когда алгебраическое решение надо признать более простым.

447. В двух бидонах 70 л молока. После того как из каждого бидона продали по 20 л молока, в одном осталось в 2 раза больше молока, чем в другом. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?

Рассмотрим пример использования таблицы для решения задачи 448, которую можно было бы решать с помощью системы.

448.* Двое ели сливы. Первый говорит второму: «Дай мне свои две сливы, тогда у нас слив будет поровну», на что второй ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы — тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив у каждого?

I способ. Пусть у двоих первый раз станет по x слив, тогда сначала у первого было x – 2, а у второго x + 2 сливы. Второй раз у первого станет х – 4, а у второго х + 4 слив.

у первого

По условию задачи x + 4 в 2 раза больше, чем x – 4. Составим уравнение:

откуда x = 12. У первого было x – 2 = 10, у второго x + 2 = 14 слив.

II способ. При передаче двух слив второму у него окажется 1 /₂ всех слив, а при передаче двух слив первому у него окажется 1 /₃ всех слив (в 2 раза меньше, чем у второго). Тогда
2 + 2 = 4 сливы составляют 1 – 1 /₂ – 1 /₃ = 1 /₆ всех слив (рис. 7). Поэтому всех слив было
4: 1 /₆ = 24. У первого 1 /₂×24 – 2 = 10, а у второго 24 – 10 = 14.

Идею этого арифметического способа решения (для задачи 449) предложила ученица Ревякинской муниципальной гимназии Московской области (учитель Абросимова Т.В.).

449.* Задача Евклида. Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься, — сказал мул, — если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого?

450.* Задача Бхаскары. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

451.* Задача Л. Эйлера. Мул и осел несли груз весом в несколько сотен каких-то единиц. Осел,жалуясь на свою судьбу, сказал мулу: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей». На это мул ему ответил: «Да, это так, но если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя». Какого веса была ноша осла и ноша мула?

452.* Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моем возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь моему брату, то нам вместе будет 98 лет. Сколько лет каждому?

Остается составить уравнение и решить его.

453.* Задача ал-Каши. Плата работнику за 30 дней десять динаров и платье. Он работал 3 дня и заработал платье. Сколько динаров стоит платье?

454.* Из книги «Косс» К. Рудольфа (XVI в.). Некто согласился работать с условием получить в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?

Пусть одежда стоила x флоринов. За 7 месяцев работник должен получить x + 10 /₁₂ ·7 флоринов, а получил при расчете x + 2 флорина. Остается приравнять полученные выражения и получить ответ 9,2 флорина.

Отметим, что задачи 453–455 имеют арифметическое решение, основанное на подсчете платы за 1 месяц (день) не по отработанному, а по оставшемуся времени. Например, в задаче 454 работнику за оставшиеся 5 месяцев предстояло заработать 10 – 2 = 8 флоринов, значит, плата за месяц составляла 8:5 = 1,6 флорина. Тогда одежда стоила

455.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был.

Алгебраическое решение задачи 455 приводит к уравнению x + 12 /₁₂ × 7 = x + 5, где x р. — стоимость кафтана. Ученица 6 класса школы № 679 г. Москвы Аня А. предложила вычислять стоимость одного месяца работы проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за один месяц ему платили 7:5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 7×1,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.).

456.* Старинная задача. Несколько работников получило 120 р. Если б их было четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было работников?

I способ. Пусть было x работников и каждый получил 120 /_x р. Если бы работников было на 4 меньше, то каждый получил бы 120 /_{x – 4} р., что в 3 раза больше, чем 120 /_x р. Составим уравнение:

После деления правой и левой части уравнения на 120 становится ясно, что в задаче есть лишнее условие: 120 р. Уравнение выглядит непривычно, но решить его можно как пропорцию (по смыслу задачи x > 0, поэтому знаменатели отличны от нуля).

II способ. Пусть было x работников. Если меньшим числом каждый получил бы в 3 раза больше, то работников было бы в 3 раза меньше. То есть x – 4 в 3 раза меньше x:

Если не использовать обратную пропорциональность, то задачу можно решить, введя два неизвестных.

III способ. Пусть было x работников и каждый получил по y р. Если бы работников было x – 4, то каждый из них получил бы 3y р. Оба раза все работники получили бы одну и ту же сумму:

Здесь y ≠ 0, поэтому

Осталось решить уравнение и получить ответ.

457.* Старинная задача. Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.

458.* Старинная задача. Двадцать пять яиц с полуденьгой стоят столько, сколько 3 деньги без 5 яиц. Сколько яиц приходится на 1 деньгу?

Это означает, что 30 яиц стоят 2,5 деньги. Тогда на 1 деньгу приходится 30:2,5 = 12 яиц.

Две следующие задачи также можно решить с помощью уравнения. Их объединяет то, что обе они были опубликованы в популярной газете «Московский комсомолец».

459. За неделю до получения стипендии у четырех студентов осталось 45 р. Если бы деньги первого студента увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех четверых денег было бы поровну. Сколько денег было у каждого студента?

Для решения задачи надо обозначить через x число рублей, которое оказалось бы у каждого студента, если бы деньги первого увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое. Остается выразить через x первоначальные суммы денег, составьте уравнение и решить его.

460. Три брата делили мешок яблок. Старший оставил себе на 12 яблок больше, чем дал среднему, и в 3 раза больше, чем дал младшему. Из своих яблок средний брат съел ровно в 2 раза больше, чем было дано младшему, но на 9 яблок меньше, чем старший. Сколько яблок съел старший брат, если известно, что младший съел на 42 яблока меньше, чем было дано среднему, и у него еще осталось 6 яблок?

Источник

Нестандартные задачи на уроках математики во 2-м классе

Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, в ее условиях и требовании.

Текст задачи – это рассказ о некоторых жизненных фактах:

«Маша пробежала 100 м, а навстречу ей…»

«Ученики первого класса купили 12 гвоздик, а ученики второго …»

«Мастер сделал за смену 20 деталей, а его ученик …».

В тексте важно все: и действующие лица, и их действия, и числовые характеристики. При работе с математической моделью задачи (числовым выражением или уравнением) часть этих деталей опускается. Но мы именно и учим умению абстрагироваться от некоторых свойств и использовать другие.

Умение ориентироваться в тексте математической задачи – важный результат и важное условие общего развития ученика. И заниматься этим нужно не только на уроках математики, но и на уроках чтения и изобразительного искусства. Некоторые задачи – хорошие темы для рисунков. И любая задача – хорошая тема для пересказа. А если в классе есть уроки театра, то некоторые математические задачи можно инсценировать. Разумеется, все эти приемы: пересказ, рисунок, инсценировка – могут иметь место и на самих уроках математики. Итак, работа над текстами математических задач – важный элемент общего развития ребенка, элемент развивающего обучения.

Но достаточно ли для этого тех задач, которые имеются в ныне действующих учебниках и решение которых входит в обязательный минимум? Нет, недостаточно. В обязательный минимум входит умение решать задачи определенных типов:

о числе элементов некоторого множества;

о движении, его скорости, пути и времени;

о цене и стоимости;

о работе, ее времени, объеме и производительности труда.

Указанные четыре темы являются стандартными. Считается, что умение решать задачи на эти темы может научить решать задачи вообще. К сожалению, это не так. Хорошие ученики, умеющие решить практически любую задачу из учебника на перечисленные темы, часто бывают не в состоянии понять условие задачи на другую тему.

Выход заключается в том, чтобы не ограничиваться какой-либо тематикой текстовых задач, а решать и нестандартные задачи, то есть задачи, тематика которых не является сама по себе объектом изучения. Ведь не ограничиваем мы сюжеты рассказов на уроках чтения!

Нестандартные задачи нужно решать в классе ежедневно. Их можно черпать в учебниках математики для 5–6-го классов и в журналах «Начальная школа», «Математика в школе» и даже «Квант».

Чтобы облегчить поиск таких задач для решения на уроках во втором классе, мы предлагаем эту статью. Она – продолжение аналогичной статьи для 1-го класса. Число задач в ней таково, что можно выбрать из них задачи для каждого урока: по одной на урок. Задачи решаются дома. Но очень часто нужно разбирать их и в классе. Среди предлагаемых задач есть такие, которые сильный ученик решает моментально. Тем не менее нужно требовать и от сильных детей достаточной аргументации, объясняя, что на легких задачах человек учится способам рассуждения, которые понадобятся при решении трудных задач. Нужно воспитывать в детях любовь к красоте логических рассуждений. В крайнем случае, можно добиваться от сильных учеников таких рассуждений, требуя построить объяснение, понятное для других – для тех, кто не понимает быстрого решения.

Среди задач есть совершенно однотипные в математическом отношении. Если дети увидят это, – замечательно. Учитель может и сам показывать это. Однако недопустимо говорить: решаем эту задачу, как ту, и ответ будет такой же. Дело в том, что, во-первых, не все учащиеся способны к таким аналогиям. А во-вторых, в нестандартных задачах фабула не менее важна, чем математическое содержание. Поэтому лучше подчеркивать связи между задачами со сходной фабулой.

Не все задачи нужно обязательно решать (их здесь больше, чем уроков математики в учебном году). Возможно, придется менять и порядок задач. Например, я исходил из того, что отдельные легкие примеры на умножение можно давать еще до того, как умножение будет пройдено на уроках, но эта точка зрения отнюдь не бесспорна. Это относится и к вопросу о сравнительной трудности задач. Возможно, я оценил ее не так, как оцените вы. Меняйте порядок и в этом случае.

1. Сколько весит арбуз?

Решение: 10 – (1 + 3) = 6 (кг).

2. Шесть пирожных разделили между братьями и сестрами так, что у братьев их оказалось на два меньше, чем у сестер. Сколько у кого?

Решение. Задача может быть решена угадыванием. Однако желательно дать и решение с вопросами. Этого можно добиться, если нарисовать два отрезка, один из которых на две клетки больше другого. Как узнать, сколько клеток должно быть в каждом отрезке? Сумма этих трех отрезков должна равняться 6 клеткам. Значит, сумма двух равных отрезков равна 6 – 2 = 4, а каждый из них 2. Когда учащимся покажется, что это рассуждение ими понято, нужно записать его по вопросам и действиям. Нужно подсказать первый вопрос:

1) Сколько было бы пирожных, если бы у сестер было столько же, сколько у братьев? 6 – 2 = 4.
2) Сколько было пирожных у братьев? 4 : 2 = 2.
3) Сколько было пирожных у сестер? 2 + 2 = 4 (или 6 –2 = 4).

Ответ: у братьев 2, у сестер 4.

3. Ваня живет в 12-этажном доме, на 9 этаже, если считать сверху. На каком этаже живет Ваня?

Решение. Можно нарисовать дом, а можно решить задачу и без рисунка, узнав, сколько этажей дома находится ниже Вани (12 – 9 = 3).

4. В коробке лежит 15 шариков: черных, белых и красных. Красных шариков в 7 раз больше, чем белых. Сколько в коробке черных шариков?

Решение. Белых шариков не может быть больше одного, так как если бы их было хотя бы 2, то красных шариков было бы не меньше 14, а шариков всего 15. Значит, белый шарик всего один, а красных в семь раз больше, то есть семь. Черных шариков 15 – (1 + 7) = 7.

5. Пес Тузик на 6 кг тяжелее кота Барсика, а Барсик втрое легче Тузика. Сколько весит Барсик?

Решение можно сопроводить рисунком. 6 : 2 = 3 (кг) – вес Барсика.

6. Расшифруй предложение, в котором каждая буква заменена ее номером в русском алфавите и все слова написаны слитно:

Ответ: Нам песня строить и жить помогает.

7. Придумай возможное продолжение этой последовательности чисел: 1, 1, 2, 3, 5,…

Решение. 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5. Одно из правил, по которому может быть составлена эта последовательность, таково: первые два числа – единицы, а каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих чисел.

Ответ: Возможно такое продолжение: 8, 13, 21, …

8. Скопируй по клеткам этот угол и проверь угольником, что он – прямой.

Пояснение. Секрет в том, что точка В получается из точки А по правилу «1 клетка вниз и 2 вправо», а точка С получается из точки В по правилу «1 клетка влево и 2 вниз». Для учителя скажем, что если достроить чертеж так (см. рисунок), то получатся два равных прямоугольных треугольника ADB и BEC, угол ABD составляет 90о с углом А, а значит, и с углом СВЕ. Для учащихся сообщим, что прямой угол АВС можно построить так:

отметить любую точку А,

получить точку В, переместившись из А на а клеток вниз и на b клеток вправо,

получить точку С, переместившись из В на а клеток влево и на b клеток вниз.

9. У Васи и Коли вместе 15 марок. Вася подарил из них Коле 2 марки. Сколько стало у них вместе марок после этого?

Это – задача-шутка. Марок осталось, сколько было, – 15.

10. У Даши две юбки: красная и синяя – и две блузки: в полоску и в горошек. Сколько разных нарядов есть у Даши?

Решение видно из таблицы:

11. Какой вес можно взвесить гирями 1 кг, 2 кг и 4 кг на чашечных весах, если гири можно класть на одну чашу весов?

Решение можно сопроводить рисунками.

Ответ: Любой вес от 1 до 7 кг.

12. В коробке лежит 4 шарика: черных, белых и красных. Красных шариков столько же, сколько белых и черных вместе. Сколько черных шариков в коробке?

Решение. Красные шарики составляют половину всех шариков, то есть их 2. Черных и белых шариков вместе 2. Значит, их по одному каждого цвета.

Ответ: Черных 1, белых 1, красных 2.

13. У котенка на лапе 5 когтей, а у цыпленка 4. Во дворе находятся 10 котят и цыплят, а когтей у всех у них 104. Сколько котят во дворе?

1) Сколько когтей у одного котенка? 5 х 4 = 20 (к.).
2) Сколько когтей у одного цыпленка? 4 х 2 = 8 (к.).
3) Сколько было бы когтей, если бы во дворе было 10 цыплят? 8 х 10 = 80 (к.).
4) Сколько когтей «лишние»? 104 – 80 = 24 (к.).
5) На сколько когтей у одного котенка больше, чем у одного цыпленка? 20 – 8 = 12 (к.).
6) Сколько было котят? 24 : 12 = 2 (кот.).

Хорошо бы ответ проверить. Всего у 2 котят 40 когтей, а у 8 цыплят 64 когтя, итого 104 когтя.

14. У Даши и Маши 15 книг со стихами. Даше подарили еще три книги со стихами. Сколько теперь стало у них книг вместе?

Решение. Хотя мы не знаем, сколько книг было у Даши и сколько у нее стало книг, мы можем решить задачу. Если к одному из слагаемых прибавить некоторое число, то сумма увеличится на это число: (а + c) + b = (a + b) + c по сочетательному свойству сложения. Значит, от прибавления к книгам Даши еще 3 книг общее число книг увеличится на 3 книги, то есть станет равным 15 + 3 = 18.

15. Слава задумал число, прибавил к нему 1, отнял 2, умножил результат на 3 и разделил на 4. Получилось 6. Какое число задумал Слава?

Решение надо вести с конца: 6 х 4 : 3 + 2 – 1 = 9.

Проверка: (9 + 1 – 2) х 3 : 4 = 6.

16. На двух полках стояло 19 книг. На каждую полку поставили еще столько книг, сколько было на ней. Сколько книг стало на двух полках после этого?

Решение. Если каждое слагаемое умножить на одно и то же число, то сумма умножится на это число: а х с + b х c = (a + b) х c. Так как сумма равнялась 19, а каждое слагаемое увеличили в 2 раза, то сумма увеличилась в два раза и стала равна 19 х 2 = 38.

17. Девять точек в узлах клеток образуют квадрат. Какое наименьшее число точек можно к ним добавить, чтобы получился новый квадрат, содержащий имеющиеся точки?

Решение. Надо нарисовать точки, о которых говорится в задаче.

Сразу приходит на ум решение.

Но оно не минимально. Повернем рисунок так.

И тогда можно догадаться о таком решении.

18. Сколько существует двузначных чисел, у которых все цифры нечетные?

Решение. В двузначном числе две цифры. Первая цифра должна быть нечетной, то есть это может быть 1, 3, 5, 7 или 9. Вторая цифра также нечетная, то есть тоже 1, 3, 5, 7 или 9. Поэтому всего таких чисел 25. Это хорошо видно из таблицы:

19. Проживание за один день в сказочной гостинице стоит 1 сольдо. У Буратино имеются купюры в 1 сольдо и в 2 сольдо. Как он должен расплачиваться ежедневно за гостиницу на протяжении 3 дней?

Решение желательно театрализовать. Пусть к доске выйдет Буратино с двумя купюрами в 1 и в 2 сольдо и хозяин гостиницы. Учитель комментирует события так:

– Буратино прожил в гостинице первый день и отдал хозяину 1 сольдо (Буратино дает хозяину купюру в 1 сольдо).
– Буратино прожил в гостинице второй день и отдал хозяину еще 1 сольдо (Буратино дает хозяину купюру в 2 сольдо и берет сдачу – купюру в 1 сольдо).
– Буратино прожил в гостинице третий день и отдал хозяину еще 1 сольдо (Буратино дает хозяину последнюю купюру в 1 сольдо).

Ответ: 1. В первый день отдать 1 сольдо, во второй отдать 2 сольдо и взять сдачу 1 сольдо, в третий день отдать 1 сольдо.

20. На двух полках вместе 42 книги, причем на второй полке на 12 книг больше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

Решение получается из рисунка, который строится в процессе беседы учителя с классом.

Вопрос. О чем говорится в задаче?
Ответ, которого надо добиться. О полках с книгами.
Вопрос. Сколько было полок?
Ответ: Две.
Вопрос. Мы будем обозначать полки отрезками. Сколько надо начертить отрезков?
Ответ: Два.
Вопрос. Как назовем первый отрезок?
Ответ: Первая полка.
Вопрос. Как назовем второй отрезок?
Ответ: Вторая полка.
Вопрос. Эти отрезки одинаковой длины?
Ответ: Нет.
Вопрос. Какой отрезок длиннее?
Ответ: Второй.
Вопрос. Как обозначить на чертеже, что на второй полке было на 12 книг больше, чем на первой?
Ответ: (Обозначение на чертеже).
Вопрос. Как обозначить на чертеже, что всего на обеих полках было 42 книги?
Ответ: (Обозначение на чертеже).
Вопрос. Все ли условия отражены на чертеже?
Ответ: Все.

После того, как модель построена, нужно дать детям подумать и решить задачу в два вопроса:

1) Сколько было бы книг на обеих полках, если бы на второй полке было столько книг, сколько на первой? 42 – 12 = 30 (к.).
2) Сколько книг на первой полке? 30 : 2 = 15 (к.).
3) Сколько книг на второй полке? 15 + 12 = 27 (к.). (или 42 – 15 = 27).

Можно решать задачу и по-другому:

1) Сколько было бы книг на обеих полках, если бы на первой полке было столько книг, сколько на второй? 42 + 12 = 54 (к.).
2) Сколько книг на второй полке? 54 : 2 = 27 (к.).
3) Сколько книг на первой полке? 27 – 12 = 15 (к.). (или 42 – 27 = 15).

Ответ: На первой полке 15 книг, на второй полке 27 книг.

21. Отцу и сыну вместе 40 лет. Сколько будет им вместе через три года?

Решение. В этой задаче неизвестно, чему равны слагаемые: возраст отца и возраст сына. Однако, известна их сумма – 40 лет. Неизвестно и то, сколько будет лет каждому из них через 3 года. Но известно, что каждое слагаемое увеличится на 3, а значит, сумма увеличится на 3 + 3 = 6.
Значит, она станет равной 40 + 6 = 46.
Полезно изобразить решение на рисунке.

22. Один нехороший человек всегда говорит неправду. Что он ответит на вопрос: «Правдивы ли вы?»?

23. На сколько частей разорвется круглая цепь, если распилить три несоседних звена?

Решение видно из рисунка.

Цепь распадется на три распиленных звена и три куска между этими звеньями.

24. В доме отдыха 15 человек играют в уголки. Они провели между собой соревнование. После каждой партии выбывал проигравший. В первый день состоялось 5 партий, во второй 6, а в третий день соревнование закончилось. Сколько партий состоялось в третий день?

Решение. Выбыть должно 15 – 1 = 14 человек. Каждый из них выбывает в результате одной партии. Значит, партий должно быть 14. В третий день будет сыграно 14 – (5 + 6) = 3 партии.

25. Расшифруй ребус: 8 х * = 8.

Решение. В этом ребусе произведение состоит из множителя 8 (не равного нулю!) и второго множителя – неизвестного. Произведение равно первому множителю. Значит, второй множитель равен единице

26. На сколько частей могут разделить лист бумаги три прямые?

Решение видно из рисунка.

Все дело в том, пересекаются ли и как именно эти прямые на листе бумаги.

Ответ: На 4, на 5, на 6 или на 7 частей.

27. Сколько существует двузначных чисел, у которых все цифры четные?

Решение. На первом месте не может стоять нуль. Поэтому всего будет 4 х 5 = 20 чисел.

28. Проживание за один день в сказочной гостинице стоит 1 сольдо. У Буратино имеются одна купюра в 1 сольдо и две купюры по 2 сольдо. Как он должен расплачиваться ежедневно за гостиницу на протяжении 5 дней?

Решение желательно проводить, как в задаче 19. Распределение купюр по дням видно из таблицы:

29. На первой и второй полках вместе 50 книг, на первой и третьей вместе 40 книг, на второй и третьей вместе 30 книг. Сколько книг на каждой полке?

Решение. Обозначим число книг на первой полке римской цифрой I, на второй – цифрой II, на третьей – III. Известно, что I + II = 50, I + III = 40, II + III = 30. Cложим все три числа, получится 120. В эту сумму войдет число I два раза, число II два раза, число III тоже два раза. Значит, число 120 включает каждое из чисел I, II и III по два раза. Значит, 120 в два раза больше, чем сумма чисел I + II + III. Отсюда сумма этих чисел (число книг на всех трех полках вместе) равна 120 : 2 = 60. Дальше все просто. Например, число книг на одной только третьей полке равно общему числу книг без книг на первой и второй полке, и т.д. Итак, задача решается ответами на следующие вопросы.

1) Чему равно удвоенное число книг на всех трех полках? 50 + 40 + 30 = 120.
2) Чему равно число книг на всех трех полках? 120 : 2 = 60.
3) Сколько книг на первой полке? 60 – 30 = 30.
4) Сколько книг на второй полке? 60 – 40 = 20 (или 50 – – 30 = 20).
5) Сколько книг на третьей полке? 60 – 50 = 10 (или 40 – – 30 = 10, или 30 – 20 = 10).

Ответ: На первой полке 30 книг, на второй 20, на третьей 10.

30. Расшифруй предложение, в котором каждая буква заменена ее номером в русском алфавите:

Ответ: Лень мать всех пороков.

31. Мы знаем, что Вася родился с 15 по 18 июля. За сколько вопросов мы можем узнать его день рождения, если он согласен отвечать на наши вопросы только «да» или «нет». Каким может быть первый вопрос?

Решение. Нужно определить одно из 4 чисел. Это делается в два вопроса.

Ответ: 2. Первый вопрос может быть таким: «Ты родился с 15 по 16 июля?»

32. На двух полках стояло 25 книг. На каждую полку поставили еще столько книг, сколько было на другой полке. Сколько книг стало на двух полках после этого?

Решение. Обозначим число книг на первой полке римской цифрой I, а на второй – II. Тогда на первую полку поставили еще II книг, а на вторую еще I книг. Всего было книг I + II, а стало (I + II) + (II + I). Но нам известно, что I + II = 25. Значит, всего на двух полках стало 25 + 25 = 50 книг.

33. Фраза читается одинаково слева направо и справа налево (перевертыш). Здесь написана ее первая часть, превышающая половину. Закончи фразу: «аргентинам…».

Решение. Центром фразы может быть только буква м, так как она не повторяется. Значит, нужно после буквы м написать все буквы в обратном порядке: аргентина м анитнегра. Правильно разбив фразу на слова, получим: «Аргентина манит негра». Это аналогично знаменитой фразе из «Золотого ключика» «А роза упала на лапу Азора».

Ответ: Аргентина манит негра.

34. Ваня написал все числа от 1 до 1000. Сколько цифр написал Ваня?

Решение. Первые девять однозначных чисел написаны девятью цифрами. Двузначные числа от 10 до 99 требуют по две цифры. А так как этих чисел 90, то на их написание ушло 180 цифр. На 900 трехзначных чисел ушло 3 х 900 = 2700 цифр. И на число 1000 потрачено четыре цифры. Общее число написанных цифр равно 9 + 2 х 90 + 3 х 900 + 4 = 2893 цифры.

35. Гласные буквы расположили под согласными так:

б в г д ж з к л м н п р с т ф х ц ч ш щ
а е и о у ы э ю я а е и о у ы э ю я а е

Зашифруй, заменяя согласные гласными по этому правилу, фразу «Молоко полезно для здоровья». Как облегчить расшифровку этой фразы?

Ответ: яоюоэо еоюеыао оюя ыооиоеья. Расшифровку можно облегчить, подчеркнув те гласные, которые остались неизменными: яоюоэо еоюеыао оюя ыооиоеья.

36. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры нечетные?

Решение. На первое место можно поставить любую из пяти нечетных цифр, на второе – любое из пяти нечетных цифр, на третье – любое из пяти нечетных цифр. Итого чисел 5 х 5 х 5 = 125.

37. У продавца сколько угодно монет по 2 рубля и товары стоимостью 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 и 10 рублей. А у покупателя есть 2 монеты по 5 рублей. Докажи, что покупатель может купить любой из этих товаров, получив необходимую сдачу.

Решение. Лучше всего перечислить все необходимые 8 случаев. Это и будет требуемым доказательством.

38. У двух братьев вместе 100 марок. Старший брат подарил младшему на его день рождения 20 марок, и у них стало марок поровну. Сколько марок было у каждого брата до этого?

1) Сколько марок стало у каждого после подарка? 100 : 2 = 50.
2) Сколько марок было у старшего брата до подарка? 50 + 20 = 70.
3) Сколько марок было у младшего брата до подарка? 50 – 20 = 30 ( или 100 – 70 = 30),

39. Чему равно А: * х А = *А?

Решение. В этом ребусе однозначное число, обозначенное звездочкой, умножено на однозначное число А. Произведение – двузначное число, оканчивающееся на цифру А. А не равно 1, так как первый множитель однозначен, а произведение двузначно. А может равняться 2 в примере 6 х 2 = 12. А может равняться 4 в примере 6 х 4 = 24. А может равняться 5 в примерах 3 х 5 = 15, 5 х 5 = 25, 7 х 5 = 35 и 9 х 5 = 45. А может равняться 6 в примере 6 х 6 = 36. А может равняться 8 в примере 6 х 8 = 48.

Ответ: 2, 4, 5, 6 или 8.

40. В произведении чисел 24 и 12 второй множитель увеличили в два раза. Как изменилось произведение?

Решение. Конечно, можно решить задачу следующими вопросами.

1) Чему равно произведение данных чисел?
2) Чему стал равен второй множитель?
3) Чему стало равно произведение?
4) Во сколько раз изменилось произведение?

Собственно, так и нужно решать эту задачу, если ученики не понимают решения. Для этого и даны в задаче числовые данные. Но совсем хорошо решать задачу в общем виде, не используя лишних числовых данных. Это решение состоит в утверждении: если один из множителей не менять, а другой увеличить в два раза, то произведение увеличится в два раза.

Ответ: Произведение увеличилось в 2 раза.

41. Из 25 человек класса 17 изучают английский язык, а 15 – французский, причем каждый ученик класса изучает один из этих языков. Сколько детей изучает оба эти языка?

Решение иллюстрируется схемой, в которой левый круг обозначает детей, изучающих английский язык, а правый – изучающих французский. В пересечении кругов – дети, изучающие оба языка.

Схема заполняется в процессе решения задачи.

1) Сколько человек не изучает французский язык (изучает только английский)? 25 – 15 = 10 (рис. а).
2) Сколько человек не изучает английский язык (изучает только французский)? 25 – 17 = 8 (рис. б).
3) Сколько человек изучает только один язык (французский или английский)?10 + 8 = 18.
4) Сколько человек изучает оба языка 25 – 18 = 7 (рис. в).

42. Костя считает, что билет, купленный у кондуктора в автобусе или в трамвае, может приносить счастье. Для этого нужно, чтобы сумма первых трех цифр его шестизначного номера и сумма последних его цифр были равны между собой. Однажды в автобусе ему достался счастливый билет. Костя спрятал его. А когда потом вынул из кармана, то увидел, что последняя цифра стерлась. Первые же пять цифр были такие: 32875. Помоги Косте установить номер билета.

Решение. Номер билета выглядит так: 32875*. Так как билет счастливый, то 3 + 2 + 8 = 7 + 5 + *, откуда и получается ответ:

43. Таня живет в 16-этажном доме, на 7 этаже, если считать сверху. На каком этаже живет Таня?

Решение. Можно сообразить, что под Таней имеется еще 9 этажей.

44. Докажи, что имея 5 гирь по 2 кг и одну гирю в 5 кг, можно взвесить на чашечных весах любой вес от 1 до 10 кг.

Доказательство. Любой четный вес получается двухкилограммовыми гирями. Как взвесить 1, 3, 5, 7 и 9 кг, показано на рисунках.

45. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры четные?

Решение. На первое место можно поставить любую из четырех цифр 2, 4, 6 или 8, на второе – любую из пяти четных цифр, на третье – любую из пяти четных цифр. Поэтому всего таких чисел 4 х 5 х 5 = 100.

46. Длина удава 3 м 80 см, или 38 попугаев. Какова длина попугая?

Решение. Надо разделить 3 м 80 см на 38 одинаковых частей. Конечно, решая эту задачу, следует рассказать детям прекрасную сказку Г.Остера «38 попугаев», из которой и взят сюжет задачи.

47. В кувшине втрое больше воды, чем в чайнике, а в чайнике на 12 стаканов воды меньше, чем в кувшине. Сколько воды в кувшине?

Решение получается из рисунка

и состоит из следующих вопросов.

1) На сколько частей в чайнике меньше воды, чем в кувшине? 3-1 = 2.
2) Сколько стаканов в одной части, то есть сколько воды в чайнике? 12 : 2 = 6.
3) Сколько воды в кувшине? 6 + 12 = 18 (или 6 х 3 = 18).

48. В произведении чисел 24 и 12 первый множитель уменьшили в три раза. Как изменилось произведение?

Решение аналогично задаче 40.

Ответ: Произведение уменьшилось в 3 раза.

49. Мы знаем, что Костя родился с 12 по 16 декабря. В сколько вопросов мы можем узнать его день рождения, если он согласен отвечать на наши вопросы только «да» или «нет». Каким может быть первый вопрос?

Решение. Нужно определить одно число из 5. Поэтому двух вопросов может оказаться мало.

Ответ: В три вопроса. Первый вопрос может быть таким: «Ты родился с 12 по 14 декабря?»

50. Из клетки с цыплятами и кроликами торчат 15 голов и 36 ноги. Сколько в клетке цыплят и сколько кроликов?

Решение. Если бы все в клетке были цыплятами, то ног было бы 15 х 2 = 30. А так как их больше на 36 – 30 = 6 ног, то 6 ног принадлежат кроликам. У кролика на 4 – 2 = 2 ноги больше, чем у цыпленка, значит, лишние 6 ног принадлежат 6 : 2 = 3 кроликам. А цыплят в клетке 15 – 3 = 12.

Ответ: 12 цыплят и 3 кролика.
Ответ хорошо бы проверить: у 12 цыплят 24 ноги, у 3 кроликов 12 ног, итого 15 голов и 36 ног.

51. Папе, маме и дочке вместе 70 лет. Сколько будет им вместе через четыре года?

Решение. Известна сумма трех чисел и известно, что каждое слагаемое увеличится на 4. Значит, сумма увеличится на 4 + 4 + 4 = 12. Она будет равна 70 + 12 = 82.

52. Какой вес можно взвесить гирями 1 кг и 3 кг на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?

Решение видно из рисунка.

Ответ: Любой вес от 1 до 4 кг.

53. Чему равно А: ** + ** = А**?

Решение. Сумма двух двузначных чисел не может быть больше, чем 99 + 99 = 198, значит, А = 1.

54. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные?

Решение. На первое место можно поставить любую из пяти нечетных, на второе – любую из пяти нечетных цифр, на третье – любую из пяти нечетных цифр, на четвертое – любую из пяти нечетных цифр. Поэтому всего таких чисел 5 х 5 х 5 х 5 = 625.

55. В кувшине вчетверо больше воды, чем в чайнике, а в чайнике на 15 стаканов воды меньше, чем в кувшине. Сколько воды в чайнике?

Решение аналогично задаче 47.

56. Боря разделил 256 на 32. Галя разделила 256 на число, вчетверо меньшее, чем 32. У кого получился больший результат и во сколько раз?

Решение. Конечно, можно решить задачу следующими вопросами.

1) Сколько получилось у Бори?
2) На какое число делила Галя?
3) Сколько получилось у Гали?
4) Во сколько раз изменилось частное?

Собственно, так и нужно решать эту задачу, если ученики не понимают общего решения. Для этого и даны в задаче числовые данные. Но совсем хорошо решать задачу в общем виде, не используя числовых данных. Это решение состоит в утверждении: если делитель разделить на 4, то частное увеличится в 4 раза.

Ответ: Результат Гали больше в 4 раза.

57. Скопируй по клеткам этот угол и проверь угольником, что угол – прямой.

Решение аналогично задаче 8.

58. Имеются два сосуда вместимостью в 3 л и в 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана в ведро 4 л воды?

Решение. Наливаем из крана в большой сосуд 5 л. Переливаем из большого сосуда в малый 3 л. Переливаем в ведро из большого сосуда оставшиеся в нем 2 л. Затем повторяем все сначала. В ведре окажется 2 + 2 = 4 литра воды.

59. Среди этих фигур есть квадраты и круги; большие, маленькие и средние. Сколько фигур отличаются от фигуры А одним свойством?

Решение. Фигура А – это маленький круг. Одним свойством (размером) отличаются от него большой и средний круги (размером), а также маленький квадрат (формой).

60. Апельсин и мандарин весят вместе 500 г, апельсин и яблоко весят вместе 800 г, яблоко и мандарин весят вместе 600 г. Сколько весят они по отдельности?

Решение. Сложим все эти массы. Получится 500 + 800 + 600 = 1900 граммов. В эту сумму вошли массы двух апельсинов (один вошел в сумму 500, другой в сумму 800), двух яблок и двух мандаринов. Значит, апельсин, яблоко и мандарин вместе весят 1900 : 2 = 950 (г). Вычитая из этой суммы веса двух фруктов, получаем вес третьего.

Ответ: Апельсин весит 350 г, яблоко весит 450 г, мандарин 150 г.

61. Скопируй по клеткам треугольник АВС и проверь угольником, что один из его углов – прямой.

Решение – см. задачу 8.

62. Путешественник прошел путь в 40 км за три дня. За первый день он прошел втрое больше, чем за третий, а за второй день он прошел столько же, сколько за первый и третий день вместе. Сколько километров прошел путешественник за каждый из трех дней?

Решение. За второй день путешественник прошел столько же, сколько за остальное время, то есть за второй день он прошел половину пути – 20 км. Чтобы узнать, сколько пройдено по отдельности в первый и в третий день, нужно нарисовать два отрезка.

Из рисунка видно, что оставшиеся 20 км составляют четыре части, а значит, на каждую часть приходится по 5 км. Поэтому за третий день он прошел 5 км, а за первый день он прошел 15 км.

Задача может быть решена в пять вопросов:

1) Сколько пройдено за 2-й день? 40 : 2 = 20 (км);
2) Сколько пройдено за 1-й и 3-й дни вместе? 40 – – 20 = 20 (км);
3) Сколько было частей? 3 + 1 = 4 (ч);
4) Сколько километров в одной части (сколько пройдено за третий день)? 20 : 4 = 5 (км);
5) Сколько пройдено за первый день? 5 х 3 = 15 (км).

Ответ: 15 км, 20 км, 5 км.

63. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры четные?

Решение. См. задачу 45.

64. Частное двух чисел равно 24. Чему будет равно частное, если делитель увеличить в три раза?

Решение. См. задачу 56

65. Фраза читается одинаково слева направо и справа налево (перевертыш). Здесь написана ее первая часть, превышающая половину. Закончи фразу: я вижу ма…

Ответ: Я вижу маму. Жив я!

66. Скопируй по клеткам отрезок АВ и нарисуй, куда он попадет, если каждая его точка сдвинется на 2 см вниз.

Решение. Обозначим концы отрезка точками А и В. Сдвинем точки А и В на 2 см (то есть на 4 клетки) вниз. Соединим поучившиеся точки. Это и есть новое положение отрезка АВ. Для проверки возьмем на отрезке АВ еще одну точку С и проверим, что и она попадет на отрезок MN, если сдвинется на 2 см вниз.

Ответ дан на рисунке.

67. Светлана задумала один из семи дней недели и согласна отвечать на вопросы только «да» или «нет»? В сколько вопросов можно узнать, какой день недели задумала Светлана? Каким может быть первый вопрос?

Решение. Так как отгадывается один день из семи, то может понадобиться от двух до трех вопросов. Нужно показать, в каких случаях оказывается достаточно двух вопросов, а когда нужны все три.

Ответ: 2 или 3 вопроса. Первый вопрос может быть такой: «Ты задумала день с понедельника до четверга включительно?».

Решение. Трехзначное число А** равна сумме двузначного и однозначного чисел, а значит, оно меньше 200, то есть его первая цифра А = 1. Ребус приобретает вид: ** + 1 = 1**.

Сумма двузначного числа и единицы равна трехзначному числу. Значит, двузначное число равно 99, а трехзначное равно 100.

69. Сколько весит яблоко и сколько мандарин?

Решение. Из первого рисунка ясно, что мандарин весит 50 г + 50 г = 100 г. А тогда из второго рисунка получается, что яблоко весит 100 г + 300 г = 400 г.

Ответ: Яблоко весит 400 г, мандарин весит 100 г.

70. Частное двух чисел 48. Как изменится частное, если делимое разделить на 2?

Решение можно сопроводить примером. Желательно, чтобы пример придумали дети.

Ответ: Частное уменьшится в 2 раза.

71. Сколько существует пятизначных чисел, у которых сумма цифр равна 2?

Решение. В таком числе не может быть других цифр, кроме нулей, единиц и двоек, причем двойка может быть только одна, и тогда остальные четыре цифры – нули. Единиц может быть только две, и тогда все остальные цифры – нули. Таких чисел с двойкой всего одно, так как пятизначное число с нуля начинаться не может, – это 20000. А с единицами таких цифр несколько, и все они начинаются с единицы, а вторая единица занимает либо второе, либо третье, либо четвертое, либо пятое места: 11000, 10100, 10010 и 10001.

72. Произведение двух чисел равно 81. Как изменится произведение, если один из множителей уменьшить в 3 раза?

Решение можно сопроводить примером. Желательно, чтобы пример придумали дети.

Ответ: Произведение уменьшится в 3 раза

73. Шесть пирожных разделили между братьями и сестрами так, что у сестер их оказалось вдвое больше, чем у братьев. Сколько у кого?

Ответ: У братьев два, у сестер четыре.

74. Во сколько раз увеличится двузначное число АБ, если приписать к нему справа такое же число?

Решение. Сначала нужно провести пробы: получить из числа 48 число 4848, из числа 10 число 1010 и т.д. Пробы нужно продолжать до получения гипотезы: число увеличится в 101 раз. А затем умножить столбиком на 11 сперва 48, потом 10, а потом число АБ:

75. Летели галки, увидели палки. Если на каждую палку сядет по галке, то для одной галки не хватит палки. А если на каждую палку сядет по две галки, то одна из палок останется без галок. Сколько было галок и сколько было палок?

Решение. Это трудная старинная задача. Чтобы разобраться в ее решении, решим ее сначала для себя. Для этого обозначим число галок буквой Г, а число палок буквой П. Тогда Г-П = 1. (П–1) х 2 = Г. Из первого уравнения получаем, что Г = П + 1, а из второго Г = (П – 1) х 2. Значит, П + 1 = 2П – 2, П = 3. Отсюда Г = 4. В самом деле, если 4 галки увидели 3 палки, то все произошло, как сказано в задаче. Сев по одной на каждую палку, они оставили бы одну галку без палки, а сев по две на каждую палку, они оставили бы одну палку без галки.
Зная ответ, подумаем, как решать эту задачу в классе. Ну, конечно, мы будем рисовать: палки в виде отрезков, а галок в виде точек на них. Нарисуем одну палку. Выполним первое условие: посадим на нее галку. Тогда должна остаться галка без палки. Рисуем точку в стороне. Получилось две галки и одна палка. Проверяем второе условие: если посадить на одну палку двух галок, все палки будут заняты, то есть условие не выполнено. Итак, палок было больше одной. Рисуем две палки. Тогда галок должно быть три. Если бы они садились на эти две палки по две, то не осталось бы свободной палки (одна палка была бы, правда, только с одной галкой). И, наконец, если нарисовать три палки и четыре галки, то все получится. Доказывать ли, что палок не могло быть больше трех, или удовлетвориться одним найденным ответом, – дело учителя.

Ответ: Четыре галки и три палки.

76. Придумай возможное продолжение этой последовательности чисел: 1, 1, 2, 4, 8,…

Решение. Можно считать, что первые два числа – единицы, а каждое число, начиная с третьего, равно сумме всех предыдущих чисел: 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 2 = 4, 1 + 1 + 2 + 4 = 8 и т.д.

77. Сколько весит попугайчик и сколько воробей?

Решение. Из первого рисунка ясно, что попугайчик весит 50 г. Считая, что попугайчики имеют одинаковый вес, по второму рисунку находим вес воробья.

78. Скопируй по клеткам отрезок АВ и нарисуй, куда он попадет, если каждая его точка сдвинется на 3 см вправо.

Решение. Обозначим концы отрезка точками А и В. Сдвинем точку А и точку В на 3 см вправо. Соединим поучившиеся точки. Это и есть новое положение отрезка АВ. Для проверки возьмем на отрезке АВ еще одну точку С и проверим, что и она попадет на отрезок MN, если сдвинется на 3 см вправо.

Ответ дан на рисунке.

79. Первые четыре цифры номера «счастливого» трамвайного билета таковы: 3216. Найди последние цифры, если номер билета шестизначный.

Решение. Сумма цифр первой тройки равна 3 + 2 + 1 = 6. Сумма цифр второй тройки тоже должна равняться 6, так как билет счастливый. Но первая цифра ее равна 6, значит, остальные две цифры – нули.

Решение. Можно подметить, что первое число последовательности 3, а каждое следующее число получается удвоением предыдущего.

81. Веселого человечка рисуют так: , а грустного так: . Сколько разных рисунков можно сделать из такой заготовки .

Решение видно из рисунка.

82. Веня съел на два пончика больше Коли и на два пончика меньше Оли. Вместе они съели 12 пончиков. Сколько съел каждый?

1) Сколько съели бы дети, если бы Веня съел столько, сколько Коля? 12 – 2 = 10.
2) На сколько Оля съела больше Коли? 2 + 2 = 4.
3) Сколько съели бы дети, если бы и Оля, и Веня съели каждый столько, сколько Коля? 10 – 4 = 6.
4) Сколько съел Коля? 6 : 3 = 2. И так далее.

83. Расшифруй ребус ААА х А = ААА.

Решение. Так как произведение трехзначного числа на однозначное равно первому множителю, то второй множитель равен единице.

Ответ: 111 х 1 = 111.

84. Мы знаем, что Валя родилась с 1 по 8 июня. В сколько вопросов мы можем узнать ее день рождения, если она согласна отвечать на наши вопросы только «да» или «нет». Каким может быть первый вопрос?

Решение. Так как отгадывается одно число из 8, то нужно три вопроса.

Ответ: 3 вопроса. Первый вопрос может быть таким: «Ты родилась с 1 по 4 июня?»

85. Среди трех монет одна фальшивая. Как с помощью чашечных весов без гирь найти фальшивую монету?

Решение. Чашечными весами без гирь пользуются так: кладут на обе чашки одинаковое число монет и выясняют, какая группа тяжелее. В данной задаче всего три монеты, поэтому на чаши весов можно положить только по одной монете. Назовем эти две монеты «первая» и «вторая» и нарисуем возможные результаты первого взвешивания.
Если весы уравновесились, то первая и вторая монеты одинаковые (настоящие) и фальшивая монета – третья.
Если же весы не уравновесились, то понадобится второе взвешивание. Мы проведем его, зная, что третья монета в этом случае – настоящая. Сравним первую монету с третьей. Если они не уравновесятся, то первая монета имеет не такую массу, как настоящая третья, и тогда первая монета фальшивая. А если первая и третья монеты уравновесятся, то она имеет такую же массу, как третья, и тогда фальшивая монета – вторая.

Ответ: надо сравнить первую и вторую монеты, а если они неравны, то первую и третью.

86. Малыш получил от Карлсона шифрованное письмо: 123456789(10)(11)(11)74(12)(13)(11)(12)(14). В нем разные цифры означают разные буквы, а одинаковые цифры обозначают одинаковые буквы. Какой из следующих текстов мог быть зашифрован в этом письме?

Текст 1. Котлета вкуснее пирога. Текст 2. Пирог вкуснее котлеты.

Решение. Конечно, зашифрован текст 2. Это можно определить хотя бы по числу букв. В первом тексте их 19, а во втором 18, как и в шифровке. Можно определить это и иначе, сообразив, что в первом тексте одинаковы третья и шестая буква, а в шифровке первые девять букв все разные.

87. Скопируй по клеткам этот квадрат и нарисуй, куда он попадет, если каждая его точка сдвинется на 25 мм вниз.

Ответ дан на рисунке.

88. Среди этих фигур есть треугольники и круги; большие и маленькие; черные и белые. Сколько фигур имеют только одно одинаковое свойство с фигурой А?

Решение. Фигура А – большой белый треугольник. Одно одинаковое свойство с ним имеют большой черный круг, маленький белый круг и маленький черный треугольник. Остальные фигуры либо не имеют общих свойств с А, либо имеют с А два общих свойства.

89. Произведение двух чисел равно 60. Как изменится произведение, если один из множителей увеличить в 2 раза?

Ответ: Произведение увеличится в два раза.

90. Веселого человечка рисуют так: , а грустного так: . Сколько разных рисунков можно сделать из такой заготовки: .

Решение видно из рисунка.

91. Веня съел пирожков вдвое больше Коли и на два меньше Даши. Вместе они съели 12 пирожков. Сколько съел каждый?

Решение. 1) Сколько бы съели все трое, если бы Даша съела столько, сколько Веня? 12 – 2 = 10. 2) Сколько было частей? 2 + 1 + 2 = 5. 3) Сколько пирожков в каждой части (сколько съел Коля)? 10 : 5 = 2. 4) Сколько съел Веня? 2 х 2 = 4. 5) Сколько съела Даша? 4 + 2 = 6.

92. Среди трех монет одна фальшивая – более легкая. Сколько понадобится взвешиваний на чашечных весах без гирь, чтобы найти фальшивую монету?

Решение. В задаче известно, что фальшивая монета – более легкая. Поэтому достаточно одного взвешивания для выявления фальшивой монеты. Сравним вес первой и второй монеты. Если весы уравновесились, то фальшивая монета третья, если перевесила первая монета, то фальшивая (более легкая) – вторая. Если перевесила вторая, то фальшивая – первая.

Ответ: Одно взвешивание.

93. Произведение двух чисел равно 72. Как изменится произведение, если каждый множитель увеличить в 2 раза?

Ответ: В 4 раза. Условие 72 – лишнее.

94. Отцу 41 год, старшему сыну 13 лет, дочери 10 лет, а младшему сыну 6 лет. Через сколько лет возраст отца будет равен сумме лет трех его детей?

Решение. Сумма лет трех детей равна 29, что на 12 лет меньше возраста отца. Каждый год возраст отца будет увеличиваться на единицу, а сумма лет троих детей – на 3. Значит, каждый год дети будут догонять отца на 2 года. Через 6 лет сумма возрастов детей сравняется с возрастом отца. Полученный ответ следует проверить, подсчитав, сколько лет будет каждому через шесть лет.

95. Один нехороший человек всегда говорит неправду. Что он ответит на вопрос: «Что бы вы ответили, если бы вас спросили, правдивы ли вы?»?

Решение. Если спросить лжеца, правдив ли он, он солжет: «Да». Мы спрашиваем, что бы он ответил на этот вопрос. И лжец не может правдиво сказать, что он ответил бы «Да»; он лжет: «Я ответил бы «Нет»».
Это хорошая иллюстрация на тему «минус на минус дает плюс»: ложь обо лжи может быть правдой.

96. 7 карандашей дороже 8 тетрадей. Что дороже, 8 карандашей или 9 тетрадей?

Решение. Так как 7 карандашей дороже 8 тетрадей, то 1 карандаш дороже одной тетради (доказательство: 7 карандашей дороже 8 тетрадей, значит, 7 карандашей дороже 7 тетрадей, значит, 1 карандаш дороже 1 тетради). Прибавляя к большей цене (7 карандашей) большую (1 карандаш), мы получаем больше, чем если к меньшей цене (8 тетрадей) прибавим меньшую (1 тетрадь).
Следует формализовать решение:

7к > 8 т
7к > 7 т
1к > 1 т
7 + 1 (к) > 8 + 1 (т)
8к >9 т

Ответ: 8 карандашей дороже, чем 9 тетрадей.
Заметим, что из условий задачи нельзя узнать, что дороже, 6 карандашей или 7 тетрадей. В классе полезно сказать об этом.

97. Произведение двух чисел равно 72. Как изменится произведение, если первый множитель увеличить в 2 раза, а второй уменьшить в 2 раза?

Ответ: Не изменится. Желательно выявить лишнее условие в этой задаче: число 72.

98. Сеня съел конфет вдвое меньше Коли и на две больше Вали. Вместе они съели 14 конфет. Сколько съел каждый?

99. Имеются два сосуда вместимостью в 3 л и в 5 л. Других емкостей у нас нет. Как налить из водопроводного крана в больший сосуд 1 л воды?

Решение. Нальем в малый сосуд из крана 3 л и перельем их в большой сосуд. Снова нальем в малый сосуд из крана 3 л и отольем из него в большой сосуд 2 л (пока не заполним большой сосуд). В малом сосуде останется 1 л. Опорожним большой сосуд и перельем в него 1 л из малого.

100. Из такой заготовки можно сделать одногорбого верблюда: , а можно двугорбого: .

Сколько разных рисунков можно сделать из такой заготовки?

101. Из 9 одинаковых на вид монет одна фальшивая. Как найти ее двумя взвешиваниями на чашечных весах, если известно, что она тяжелее остальных?

Ответ: Взвесить любые три монеты и другие три. Если весы уравновесятся, фальшивая монета в третьей тройке, если нет, – в той, которая перетянула при первом взвешивании. Зная, в какой тройке фальшивая монета, сравниваем любые две монеты этой тройки.

102. Расшифруй ребус ААА х 3 = ББ6.

Решение. Так как на конце произведения стоит цифра 6, а второй множитель равен 3, то первый множитель оканчивается на 2. Поэтому А = 2.

Ответ: 222 х 3 = 666.

103. Толя согласен отвечать на наши вопросы только «да» или «нет». В сколько вопросов мы можем узнать у Толи, в каком месяце он родился? Каким может быть первый вопрос?

Решение. Так как надо отгадать один из 12 месяцев, то может понадобиться от 3 до 4 вопросов. Следует привести примеры случаев «везения», когда вопросов понадобится только 3.

Ответ: 3 или 4. Первым может быть вопрос: «Ты родился с января по июнь?».

104. На какую цифру оканчивается произведение всех чисел от 23 до 27?

Решение. Так как среди множителей есть четное число (и даже не одно), а также есть число с пятеркой на конце (число 25), то произведение оканчивается нулем.

105. В этом предложении каждая буква заменена следующей в алфавите. Прочти предложение: «Нпспи й тпмочж, ежоы шфежтоьк».

Ответ: Мороз и солнце, день чудесный.

106. Один из множителей увеличили в 6 раз. Как нужно изменить второй множитель, чтобы произведение не изменилось?

Ответ: Уменьшить в 6 раз.

107. Скопируй по клеткам треугольник АВС и нарисуй, куда он попадет, если каждая его точка сдвинется на 15 мм влево.

Ответ дан на рисунке.

108. Веня съел пончиков вдвое больше Коли и вдвое меньше Оли. Вместе они съели 14 пончиков. Сколько съел каждый?

109. Сколько разных рисунков можно сделать из такой заготовки?

110. Из 4 одинаковых на вид монет одна фальшивая. Как найти ее взвешиваниями на чашечных весах, если известно, что она легче остальных?

Решение. Надо взвесить монеты по две. Затем сравнить монеты из более легкой пары.

111. Как двум разбойникам разделить пополам добычу, чтобы никто не мог пожаловаться, что другой его обманул при дележе?

Решение. Нужно вникнуть в условие. У разбойников нет средства для точного деления добычи пополам. Поэтому делить приходится на глаз. Решение тут единственное: один делит добычу на две части, а другой выбирает понравившуюся ему часть.
Более подробно это выглядит так.
Вначале разбойники бросают жребий, кто из них будет делить добычу, а кто выбирать. Первый разбойник делит добычу на две одинаковые ( по его мнению) части. Второй из этих двух частей выбирает ту, которая ему больше нравится.
Требование задачи выполнено, так как ни один разбойник не может пожаловаться, что его обманули: первый сам делил, второй сам выбирал.

Ответ: Один делит, другой выбирает.

112. Делимое увеличили в 2 раза. Как изменилось частное?

Ответ: Увеличилось в два раза.

113. Найди сумму всех чисел от 1 до 100. Великий немецкий математик Карл Гаусс решил эту задачу за одну минуту в шестилетнем возрасте.

Решение Гаусса. Сумма первого и последнего числа равна 1 + 100 = 101. Точно так же 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, и т.д. Так как чисел всего 100, то пар чисел 50. И если брать в пару одинаково удаленные от концов ряда числа, то их сумма всегда будет 101. А 101 х 50 = 5050.

114. Делитель увеличили в 3 раза. Как изменилось частное?

Ответ: Уменьшилось в 3 раза.

115. Среди этих фигур есть квадраты и треугольники; большие, маленькие и средние, черные и белые. Сколько фигур имеют с фигурой А только два одинаковых свойства?

Решение. Фигура А – большой белый квадрат. Только два одинаковых свойства с ним имеют большой белый треугольник (размер и цвет), большой черный квадрат (размер и форма), маленький и средний белые квадраты (цвет и форма).

116. Расшифруй ребус ААА х 2 = 8ББ.

Решение. Первый множитель либо 111, либо 222, либо 333, либо 444, так как 555 х 2 – четырехзначное число. Из названных чисел годится только 444, так как 333 х 2 меньше 800.

Ответ: 444 х 2 = 888.

117. Катя прочитала за месяц на три книги больше, чем Толя, и на две книги меньше, чем Даша. Всего они прочитали 20 книг. Сколько прочитал каждый?

118. Перед долгой разлукой пятеро друзей обменялись фотографиями: каждый дал каждому по одной своей фотографии. Сколько им для этого понадобилось фотографий?

Первый способ. Каждый дал по четыре фотографии, поэтому всего понадобилось 4 х 5 = 20 фотографий.
Второй способ. Каждый получил по четыре фотографии, поэтому всего понадобилось 4 х 5 = 20 фотографий.

119. Здесь по-разному начерчены прямоугольники площадью 6 кв. см. Начерти по-разному прямоугольники площадью 3 кв. см.

120. Мы знаем, что Поля родилась с 15 по 28 января. В сколько вопросов мы можем узнать ее день рождения, если она согласна отвечать на наши вопросы только «да» или «нет». Каким может быть первый вопрос?

Решение. Нужно отгадать одно число из 14. Поэтому может понадобиться до 4 вопросов. Нужно привести примеры «везения», когда понадобится всего 3 вопроса.

Ответ: 3 или 4. Первым вопросом может быть: «Ты родилась с 15 по 21 января?».

121. Сколько нужно сделать разломов, чтобы такую шоколадку разделить на отдельные кусочки?

Решение. Каждый разлом увеличивает число кусочков на 1. Первоначально имеется 1 кусок – целая шоколадка. Надо получить 12 кусочков. Значит, нужно провести 11 разломов. Важно сначала не сообщать детям этого простого решения. Тогда они скорее всего будут пробовать по-разному ломать шоколадку. Но каждый раз в результате будет получаться 11 разломов.

122. Деду 60 лет, а внуку 10. Когда дед будет втрое старше внука?

Ответ: Через 15 лет.

123. Делимое увеличили в 3 раза. Как нужно изменить делитель, чтобы частное не изменилось?

Ответ: Увеличить в 3 раза.

124. Уезжая из летнего лагеря, друзья обменялись фотографиями: каждый дал каждому по одной своей фотографии. Всего им для этого понадобилось 6 фотографий. Сколько было друзей?

Решение получается из рассмотрения рисунка. На нем друзья обозначены точками, а фотографии отрезками со стрелками : отрезок АВ обозначает, что А дал фотографию В. Видно, что если друзей двое, то фотографий нужно две, а если трое – то 6. Если же друзей больше, чем 3, то и фотографий будет больше, чем 6.

125. Начерти по-разному прямоугольники площадью 4 кв. см.

126. Расшифруй ребус 2АА х 4 = БББ.

Решение. Если А = 1, то ребус «не сходится»: 211 х 4 не дает числа, записываемого одинаковыми цифрами. То же относится и к А = 3. При А = 4 получаем четырехзначный результат. И только А = 2 приводит к разгадке.

Ответ: 222 х 4 = 888.

127. Найди сумму чисел.

7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28

Решение. В данной последовательности каждое следующее число больше предыдущего на одно и то же число (на 3). Поэтому суммы пар, одинаково удаленных от концов, равны между собой, а пар таких всего 4, так как чисел восемь. Имеем: 7 + 28 = 10 + 25 = 13 + 22 = 16 + 19 = 35. 35 х 4 = 140.

128. Во сколько раз путь на девятый этаж длиннее пути на третий этаж того же дома?

Решение. Ответ «в 3 раза» неверный. На девятый этаж ведут восемь лестничных маршей, а на третий два марша. Значит, путь длиннее в 4 раза. Решение надо сопроводить рисунком.

129. Катя прочитала за месяц вдвое меньше книг, чем Толя, и на три книги больше, чем Даша. Всего они прочитали 17 книг. Сколько прочитал каждый?

130. Близнецов зовут Иван Петрович и Василий Петрович. Их отцу столько же лет, сколько обоим близнецам вместе. А его отцу Николаю Денисовичу столько же лет, сколько обоим близнецам и их отцу. Как зовут отца близнецов и сколько им лет, если Николаю Денисовичу 80 лет?

Решение. Близнецы – Петровичи, значит, их отца зовут Петр. Он сын Николая Денисовича, значит, он Николаевич. Его возраст вместе с возрастом близнецов равен возрасту Николая Денисовича, то есть равен 80 годам. А так как его возраст равен возрасту обоих близнецов, то его возраст равен 40 годам и возраст обоих близнецов равен 40 годам. Но близнецы имеют одинаковый возраст. Значит, каждому из них 20 лет.

Ответ: Петр Николаевич; 20 лет.

131. Зашифруй предложение «Прямой угол больше острого угла», заменяя каждую букву следующей в алфавите (алфавит написан по кругу, за Я следует А).

132. Расставаясь, друзья обменялись рукопожатиями и улыбками: каждый пожал руку и улыбнулся каждому. Чего было больше, рукопожатий или улыбок?

Ответ: Улыбок вдвое больше, чем рукопожатий.

133. Мы знаем, что Витя родился с 10 по 30 мая. В сколько вопросов мы можем узнать его день рождения, если он согласен отвечать на наши вопросы только «да» или «нет». Каким может быть первый вопрос?

Решение. Надо отгадать одно из 21 числа. Поэтому может понадобиться от 4 до 5 вопросов. Нужно привести пример, когда вопросов только 4.

Ответ: 4 или 5. Первый вопрос может быть таким: «Ты родился с 10 по 20 мая?».

134. Начерти по-разному прямоугольники площадью 8 кв. см.

135. Сколько нулей на конце произведения всех чисел от 1 до 20?

Решение. Нуль появляется, когда четное число умножается на пятерку. Четных чисел тут много, поэтому надо подсчитать число пятерок. Они содержатся в четырех числах (5, 10, 15, 20), значит произведение оканчивается четырьмя нулями.

136. Расшифруй ребус ААА х А = БББ.

Решение. А = 1 не подходит, так как в произведении стоит буква Б, а не А. Годятся А = 2 и А = 3. Не годятся А, большие 3, так как в произведениях получаются четырехзначные числа.

Ответ: 222 х 2 = 444 и 333 х 3 = 999.

137. Расставаясь, друзья обменялись рукопожатиями: каждый пожал руку каждому. Всего было 10 рукопожатий. Сколько было друзей?

Решение надо сопроводить рисунком. На нем друзья обозначены точками, а рукопожатия отрезками: отрезок АВ обозначает, что А и В обменялись рукопожатием. Видно, что если друзей двое, то рукопожатие одно, если трое – то 3, если четверо, то 6, если пятеро, то 10. Если же друзей больше, чем 5, то и рукопожатий будет больше, чем 10.

138. Найди сумму всех чисел до 100, оканчивающихся на 0 или на 5.

Решение. Нужно найти сумму.

5 + 10 + 15 + … + 90 + 95 + 100

Этих чисел 20, и каждое на одно и то же число (на 5) больше предыдущего. Значит, равны суммы пар чисел, одинаково удаленных от концов этой последовательности: 5 + 100 = 10 + 95 = 15 + 90 = 105. Всего пар 10, значит, сумма равна 105 х 10.

139. Мы знаем, что Вася родился в сентябре. В сколько вопросов мы можем узнать его день рождения, если он согласен отвечать на наши вопросы только «да» или «нет»? Каким может быть первый вопрос?

Решение. Нужно узнать одно число из 30 дней сентября. На это понадобится от 4 до 5 вопросов. Нужно привести примеры, когда вопросов 4 и когда их 5.

Ответ: 4 или 5. Первый вопрос может быть таким: «Ты родился с 1 по 16 сентября?».

140. Среди девяти фигур есть квадраты, треугольники и круги; большие, средние и маленькие. Сколько фигур отличаются от среднего круга только одним свойством?

Решение. Только одним свойством отличаются от него большой и маленький круги (размер), средний квадрат и средний треугольник (форма). Остальные фигуры отличаются от среднего круга двумя свойствами.

141. 10 жуков построились в хоровод и каждый взял за лапку каждого из своих соседей. Сколько всего лапок оказались свободными?

Решение. У каждого жука 2 лапки заняты, а остальные 4 свободны.

142. В семье трое братьев. Каждый следующий младше предыдущего на 3 года. А сумма их возрастов равна 15 годам. Сколько лет каждому?

143. В этом предложении каждая гласная буква заменена следующей за ней в алфавите гласной буквой, а каждая согласная буква заменена следующей за ней в алфавите согласной. Прочти предложение: «Мёпь – нефь гтёц русулуг».

Ответ: Лень – мать всех пороков.

144. 10 пауков построились в хоровод и каждый взял за лапку обоих соседей. Сколько лапок оказались свободными?

Решение. У каждого паука 2 лапки заняты, а остальные 6 свободны.

145. Из школы до магазина можно дойти двумя путями. Из магазина до Петиного дома тоже два пути. Сколькими способами может Петя дойти из школы домой, зайдя при этом в магазин?

Решение видно из рисунка.

146. В одном автобусе ехало 20 мальчиков, в другом 20 девочек. Автобусы встретились. Пять мальчиков перешли в автобус девочек, а потом столько же детей перешли из автобуса девочек в автобус мальчиков. Кого стало больше, мальчиков в автобусе девочек или девочек в автобусе мальчиков?

Решение. В автобусе девочек стало несколько мальчиков. Их места в автобусе мальчиков освободились, их заняли девочки. Значит, девочек в автобусе мальчиков столько же, сколько мальчиков в автобусе девочек. Нужно привести конкретные примеры.

147. Какой вес можно взвесить, имея гири 1, 2 и 4 кг?

Ответ: Любой вес от 1 до 7 кг.

149. Расшифруй ребус АА2 х 3 = БББ.

Решение. Последняя цифра произведения равна 2 х 3 = 6. Значит, Б = 6, и ребус можно переписать так: АА2 х 3 = 666. Поэтому А = 2.

Ответ: 222 х 3 = 666.

150. В семье три cестры. Каждая следующая вдвое младше предыдущей, а вместе им 21 год. Сколько лет каждой?

151. На каждой из 10 карточек Коля нарисовал один треугольник или один квадрат. Всего он провел 36 отрезков. Сколько квадратов он начертил?

Решение. Если бы все 10 фигур были треугольниками, то отрезков бы было 30. Остается 6 отрезков, добавив которые по одному к 6 треугольникам, получаем 6 квадратов.

Ответ: 4 треугольника и 6 квадратов.

152. Из Москвы в Петербург можно доехать поездом или долететь самолетом. Из Нижнего Новгорода в Москву можно доехать поездом или долететь самолетом, или доплыть пароходом. Сколькими способами можно добраться из Нижнего Новгорода в Петербург через Москву?

153. Сколько семерок во всех числах от 1 до 100?

Решение. На месте единиц семерок 10 – в каждом десятке по одной. На месте десятков их тоже 10 – во всех числах от 70 до 79.

154. Первые три цифры номера «счастливого» автобусного билета таковы: 999. Каковы последние его цифры?

155. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 72. Чему равно уменьшаемое?

Решение. Уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности (если а – b = с, то а = b + c). Значит, уменьшаемое равно половине суммы всех этих трех чисел, оно равно 72 : 2 = 36.

156. Расставь между числами 9999 знаки действий так, чтобы получилось 100.

157. Из Тихого океана можно проплыть в Атлантический океан по Панамскому каналу или обогнув мыс Горн. Из Атлантического океана можно проплыть в Индийский океан по Суэцкому каналу или обогнув мыс Доброй Надежды. Сколькими способами можно проплыть из Тихого океана в Индийский океан через Атлантический океан?

158. Этот квадрат разделен на 16 квадратов. Как, проведя всего два отрезка, разделить его на 19 квадратов?

Решение. Если любой из малых квадратов разделить на 4, то число квадратов увеличится на 3 и станет равным 19.

Ответ: Это можно сделать, например, так.

159. Зашифруй предложение «Лгать грешно», заменяя каждую гласную букву следующей за ней в алфавите гласной буквой, а каждую согласную букву следующей за ней в алфавите согласной буквой.

Ответ: МДЕФЬ ДСЁЩПУ.

160. Какую массу можно взвесить гирями 1, 3 и 9 кг, если гири можно класть на обе чаши весов?

Ответ: Любой вес от 1 до 13 кг.

161. На веточке сирени 35 цветков, у каждого из которых по 4 или по 5 лепестков. Всего лепестков 153. Сколько цветков с 5 лепестками?

Решение. Если бы на каждом цветке было по 4 лепестка, то лепестков было бы 140. Лишние 13 лепестков принадлежат 13 цветкам с 5 лепестками.

162. Расставь скобки и знаки действий между числами 5555 так, чтобы получилось 100.

163. В семье трое братьев. Каждый следующий брат вдвое младше предыдущего, а вместе им 28 лет. Сколько лет каждому?

164. Имеются два сосуда вместимостью в 3 л и в 5 л. Других емкостей у нас нет. Как налить в больший сосуд из водопроводного крана 4 л воды?

Ответ: Налить в него 1 л, как описано в решении задачи 99, а затем наполнить малый сосуд и влить из него еще 3 л в большой сосуд.

165. Этот квадрат разделен на 25 квадратов.

Как разделить его на 31 квадрат?

Решение. Нужно увеличить число квадратов на 6. Для этого достаточно выбрать любые два и разделить каждый из них на 4 квадрата.

Ответ: Это можно сделать, например, так.

166. Вася отметил на окружности 6 точек и соединил каждые две точки отрезками. Сколько отрезков получилось?

Из первой точки можно провести 5 отрезков, из второй останется провести 4 отрезка, из третьей – 3 отрезка, из четвертой – 2 отрезка, из пятой – 1 отрезок.

167. Двум отцам вместе 80 лет, двум сыновьям вместе 40 лет, а отцу и сыну вместе 60 лет. Сколько лет вместе всем троим?

Решение. Это задача-шутка. Речь идет о дедушке, отце и сыне. Число лет дедушки обозначим буквой Д, число лет отца обозначим буквой О, число лет сына обозначим буквой С. Сложим все три данные числа: 80 + 40 + 60 = 180. В эту сумму вошли два Д, два С и два О. Значит, Д + О + С = 180 : 2 = 90. И так как Д + О = 80, то С = 10, О = 30, Д = 50.

Ответ: Дедушке 50 лет, отцу 30 лет, сыну 10 лет.

168. Произведение делимого, делителя и частного равно 16. Чему равно делимое?

Решение. Делимое равно произведению делителя и частного (если а : b = с, то а = b х c). Значит, делимое и произведение делителя и частного – равные числа, произведение которых равно 16. Значит, каждое из этих чисел равно 4.

169. В квадрате 3х3 расставь три единицы, три двойки и три тройки, чтобы суммы чисел по строкам и по столбикам были равны между собой.

Источник