все формы записи комплексного числа

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Тогда оказывается справедливым равенство:

(3)

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Главное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримеры

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

то по формуле (10) получаем:

Источник

Комплексные числа. Свойства. Формы записи.

БИЛЕТ1

Комплексные числа. Свойства. Формы записи.

Комплексным числом называется выражение вида , где — действительные числа ; — число, квадрат которого равен минус единице ; число обозначается .

Свойства комплексных чисел:

1) комплексные числа коммутативны по сложению и по умножению.

2) комплексные числа ассоциативны по сложению и по умножению.

3) комплексные числа дистрибутивны.

Для комплексных чисел операция деления определена как операция обратная операции умножения. Если , то z является решением уравнения . Решим это уравнение, домножив левую и правую часть на и разделив обе части на квадрат модуля. Получим, что

Формы записи:

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Из формулы вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Из формулы Эйлера и тригонометрической формы записи комплексного числа вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число
z = x + i y может быть записано в виде

БИЛЕТ 2.

Интегрирование простейших рациональных функций

1)Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
2)Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
3)Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4)Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно.

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где — правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

1)

2)

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где Затем применяются следующие формулы:

3)

4)

5)

Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

6.

БИЛЕТ 3

БИЛЕТ4

БИЛЕТ5

5. Интегрирование иррациональных функций

Пусть — рациональная функция от и , т. е. функция, получаемая из и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления). Примерами таких функций могут служить

Если заменить в переменную выражением , то получим функцию от одной переменной . Интеграл от нее имеет вид:

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки

В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно функцию, то переменная рационально выражается через переменную

Тогда — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной

Замечание. Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.

БИЛЕТ6

6. Интегрирование диф. бинома (теорема Чебышёва)

Дифференциальным биномом называют выражение вида

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида , где s — знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

3. Третьему случаю соответствует целому число . Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида , так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

БИЛЕТ7

Примеры: 1. 2. 3. 4.

БИЛЕТ8

8. Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а

Источник