второй закон кирхгофа в операторной форме
Курс лекций по электротехнике
Законы Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа:
Так как изображение любого тока по Лапласу имеет вид
тогда первый закон Кирхгофа в операторной форме:
I1(p) + I2(p) + I3(p) + … = 0, (1.9.1)
Второй закон Кирхгофа, представленный в п.1.8 на примере отдельной ветви(рис.1.8), можно распространить на контур:
— второй закон Кирхгофа в операторной форме.
1.10. Формула разложения.
В результате расчета переходных процессов операторным методом получаем изображение соответствующего тока или напряжения. Следующим этапом является определение оригинала функции, это становится возможным, если воспользоваться обратным преобразованием Лапласа или таблицей соответствия оригиналов и изображений по Лапласу. В общем случае для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения. Полученное операторное изображение представляется в виде отношения двух полиномов, например для тока:
где N(p) и M(p) – полиномы относительно р, при этом знаменатель М(р) имеет п простых корней.
Рациональная дробь может быть разложена на простые дроби:
Окончательно искомая функция может быть представлена следующим образом:
где п – общее число корней.
1.11. Методика расчета цепи операторным методом
1. Определяются независимые начальные условия цепи до коммутации.
2. Для цепи после коммутации составляется операторная схема, которая учитывает возможность появления операторных источников энергии.
3. Любым из известных методов расчета сложных электрических цепей определяется операторный ток или напряжение.
4. По теореме разложения осуществляют переход от изображения к оригиналу.
1.12. Общая методика расчета цепи операторным методом
на примере цепи второго порядка
1. Расчет проведем на примере цепи (рис.1.12.1).
Рис.1.12.1. Схема цепи с двумя накопителями энергии
R1=R2=10 Ом, L=5 мГн, С=10 мкФ, Е=100 В.
1. Определяем независимые начальные условия:
2. Составляем операторную схему:
Рис.1.12.2. Операторная схема цепи с двумя накопителями энергии
3. Входное сопротивление цепи в операторной форме:
Изображение тока первой ветви:
После алгебраических преобразований получим:
4. Оригинал функции рассчитаем по теореме разложения:
Решение уравнения М(р) = 0 дает следующие корни:
Наличие нулевого корня говорит о том, что принужденная составляющая тока i2(t) не равна нулю. Выражение в квадратных скобках полностью повторило полученное характеристическое уравнение цепи после коммутации, и его корни нам известны, тогда:
В сумме слагаемых и мнимые части слагаемых сокращаются и остается удвоенная вещественная часть выражения i2(t), в итоге такого преобразования получим окончательное решение:
Расчет тока i2(t) классическим и операторным методами показывает их полное совпадение.
Второй закон Кирхгофа в операторной форме
Второй закон Кирхгофа в операторной форме
Второй закон Кирхгофа в операторной форме. Для замкнутых контуров электрических цепей уравнения могут быть созданы согласно второму закону Кирхгофа для мгновенных величин.
положительное направление тока ветви и положительное направление обхода цепи. Людмила Фирмаль
Запишите уравнения в соответствии со вторым законом Кирхгофа о контурах инжира. 320. Контур обведен по часовой стрелке. Считаем, что индукторы Lr и L. имеют магнитную связь.
oLM = et (0-e3 (/). (10.44) 2 dt dt 14 ‘3 v’
начальное значение тока i2 равно Людмила Фирмаль
Уравнение (J.47) представляет собой математическое обозначение второго закона Кирхгофа в операторной форме. Состав £ з. (P) В общем, внутренний е также включен. и
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
2 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.
Операторная схема замещения
Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить основные законы теории цепей в операторной форме.
Рассмотрим, например, последовательный RLC – контур (рис.12.4), находящийся при ненулевых начальных условиях: 
Уравнение равновесия напряжений для этого контура согласно второго закона Кирхгофа имеет вид:
Применив к (12.3) прямое преобразование Лапласа и учитывая свойства линейности (12.4), дифференцирования (12.5) и интегрирования (12.6) оригинала или выражения для напряжений на резистивном (12.8), индуктивном (12.9) и емкостном (12.10) элементах, получим:
Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для последовательной цепи:
Если в Z(p) заменить p на jw, то получим комплексное сопротивление цепи.
Величины Li(0) и Uc(o)/p называют расчетными напряжениями. Они характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную в L и C к моменту коммутации.
Величина, обратная Z(p) называется операторной проводимостью цепи:
Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид:
Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в операторной форме.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме:
Он гласит: алгебраическая сумма операторных токов в любом узле цепи равна нулю.
Второй закон Кирхгофа в операторной форме:
алгебраическая сумма операторных падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме операторных ЭДС, включенных в этот контур.
Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны этим же законам в комплексной форме с той лишь разницей, что в каждой из m ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют дополнительные расчетные источники Lkik(0) и –Uck(0)/p, положительное направление которых совпадает с выбранным положительным направлением тока в этой ветви.
На основе законов Ома и Кирхгофа в операторной форме можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмотренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами.
При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и U(t) заменяются соответствующими изображениями I(p) и U(p), индуктивность L заменяется на Lp, а емкость C – на 1/Cp при нулевых начальных условиях.
Если начальные условия ненулевые, то последовательно с Lp добавляется источник напряжения Li(0), а с C – источник напряжения –Uc(0)p (рис.12.2,б и 12.3,б).
Например, эквивалентная операторная схема замещения для цепи, изображенной на рис.12.5, будет иметь вид (рис.12.6).
Применение операторных расчетных схем замещения цепей повышает наглядность и упрощает расчет.
3 Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом.
Расчет переходного процесса операторным методом предусматривает следующий порядок операций:
вычерчивается исходная расчетная схема замещения цепи и определяются начальные условия коммутации;
все известные электрические величины и параметры изображаются в операторной форме (сложение функции – с помощью таблиц оригиналов и изображений) и осуществляется переход к операторной схеме замещения цепи;
на основе законов Ома, Кирхгофа в операторной форме в соответствии с выбранным методом расчета цепи после ее коммутации составляется система операторных уравнений с учетом начальных условий, которая решается относительно изображений искомых переходных токов и напряжений;
получение изображения искомых переходных токов и напряжений преобразуются либо к табличным, либо к виду, удобному для применения теоремы разложения, и определяются оригиналы (переходные токи и напряжения);
производится анализ характера переходного процесса.
Второй закон кирхгофа в операторной форме
Сущность операторного метода заключается в том, что функции 
вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция 
комплексной переменной 
, которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.
Изображение 
заданной функции 
определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:
 . | (1) |
В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:
или 
Следует отметить, что если оригинал 
увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля 
. Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.
В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.
Таблица 1. Изображения типовых функций
Оригинал  | Изображение  |
| A |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Некоторые свойства изображений
.
.
С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что
.
Изображения производной и интеграла
В курсе математики доказывается, что если 
, то 
, где 
— начальное значение функции 
.
Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать
или при нулевых начальных условиях
.
Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности
.
Аналогично для интеграла: если 
, то 
.
С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:
.
или при нулевых начальных условиях
,
откуда операторное сопротивление конденсатора
.
Закон Ома в операторной форме
Пусть имеем некоторую ветвь 
(см. рис. 1), выделенную из некоторой
сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.
Для мгновенных значений переменных можно записать:
.
Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:
.
 , | (2) |
где 
— операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.
Следует обратить внимание, что операторное сопротивление 
соответствует комплексному сопротивлению 
ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на 
.
Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.
Законы Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю
.
Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура
.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде
.
В первом случае в соответствии с законом Ома 
.
Во втором случае, т.е. при 
, для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:
откуда 
; 
и 
.
Переход от изображений к оригиналам
Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:
1. Посредством обратного преобразования Лапласа
,
которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:
.
На практике этот способ применяется редко.
2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями
В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.
Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать
.
Тогда в соответствии с данными табл. 1
,
что соответствует известному результату.
3. С использованием формулы разложения
Пусть изображение 
искомой переменной определяется отношением двух полиномов
,
где 
.
Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
 , | (3) |
где 
— к-й корень уравнения 
.
Для определения коэффициентов 
умножим левую и правую части соотношения (3) на ( 
):
.
При 
.
Рассматривая полученную неопределенность типа 
по правилу Лопиталя, запишем
.
.
Поскольку отношение 
есть постоянный коэффициент, то учитывая, что 
, окончательно получаем
 . | (4) |
Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения 
равен нулю, т.е. 
, то уравнение (4) сводится к виду
.
В заключение раздела отметим, что для нахождения начального 
и конечного 
значений оригинала можно использовать предельные соотношения
которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.
С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.
Ответ: 
.
Ответ: 
.