вычет в математике это

GOUSPO студенческий портал!

форум, учебники, лекции, и многое другое

Основы алгебры вычетов.

Тема 9. Основы алгебры вычетов.

План:

2.Сравнение по модулю.

3. Свойства сравнимости

Цель. Знакомство с понятиями класса вычетов, отношением сравнимости и его свойствами.

Теоретические сведения

1. Понятие вычета.

Вычетом числа a по модулю m называется остаток от деления a на m

Из определения видно, что вычеты связаны с делением с остатком.

Разделить натуральное число a на нату­ральное число b с остатком означает yнайти неотрицательные числа два числа q и г, причем г (а ± с) º (b ± d)(mod p).

Слагаемые можно переносить из одной части сравне­ния в другую с противоположным знаком.

3. Сравнения можно перемножать:

4. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число k:

5. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же число:

6. Обе части сравнения можно возвести в степень (следствие свойства 3):

Понятие сравнения ввел К.Ф.Гаусс в работе Ариф­метические исследования (1802). Алгебра вычетов возникает в тех случаях, когда рассматриваются некоторые циклически повторя­ющиеся события, например время в течение дня, повторяющееся каждые 24 часа, углы по окружности, повторяющиеся через пе­риод 2к, и т.д.

Алгебра вычетов один из тех разделов математики, которые рождались как некоторые формальные рассуждения и только спустя годы нашли свое практи­ческое применение.

Задание 9-2. Для степени y=2 n (n–натуральное число) установить классы сравнимости. Установить зависимость последней цифры этой степени от ее показателя.

Решение и комментарии.

Как известно, натуральные степени числа 2 оканчиваются циф­рами <2, 4, 8, 6>. См. таблицу нескольких степеней числа 2.

Опреде­лим функцию, которая ставит в соответствие каждому натуральному числу п последнюю цифру числа 2 я :

цифра 2 т1222443884166532266447128882566

Эта функция f(n) периодична с периодом 4. Это значит, что для целого числа k: f(n)=f(n+4)= f(n+4k),.

Причем справедливы так же равенства: f(n)=f(n-4)= f(n-4k)

Но это задача на делении с остатком числа n на 4:

n=4k+m, k- частное, т остаток.

Очевидно, последняя цифра числа 2 зависит от остатка, полученного при делении показателя n степени 2 n на 4.

Отразим этот факт в записи функции: f(n)= f(n mod 4)

Из этой формулы можно установить, если f(n mod 4)=0, то

При делении чисел на 4 nÎN, останки могут быть: 0,1,2,3. Таким образом, в частности, множество всех возможных показателей степени 2 n для любого n состоит из четырех подмножеств: 4k, 4k+ 1, 4k+ 2, 4k+3.

Задание 9-3. Установить последнюю цифру степени y=2 2007

Решение. Имеем 2007=501·4+3, значит f (2007)=f (3)=2 3 =8. Ответ 8.

Требования к знаниям умениям и навыкам

Студенты должны знать определения вычета. Иметь представление о выполнении операций над вычетами. Иметь представление о числовом и цифровом кодировании.

Источник

Модульная арифметика

2.2. Модульная арифметика

Операции по модулю

Как показано на рис. 2.9, оператор по модулю ( mod ) выбирает целое число ( a ) из множества Z и положительный модуль ( n ). Оператор определяет неотрицательный остаток ( r ).

Мы можем сказать, что

Найти результат следующих операций:

Система вычетов: Zn

Сравнения

Рисунок 2.11 показывает принцип сравнения. Мы должны объяснить несколько положений.

Система вычетов

Круговая система обозначений

Операции в Zn

Выполните следующие операторы (поступающие от Z_n ):

а. Сложение 7 и 14 в Z₁₅

б. Вычитание 11 из 7 в Z₁₃

в. Умножение 11 на 7 в Z₂₀

Ниже показаны два шага для каждой операции:

Выполните следующие операции (поступающие от Z_n ):

a. Сложение 17 и 27 в Z₁₄

b. Вычитание 43 из 12 в Z₁₃

Ниже показаны два шага для каждой операции:

Свойства

Первое свойство: (a + b) mod n = [(a mod n) + (b mod n)] mod n

Третье свойство: (a x b) mod n = [(a mod n) x (b mod n)] mod n

Рисунок 2.14 показывает процесс до и после применения указанных выше свойств. Хотя по рисунку видно, что процесс с применением этих свойств более длинен, мы должны помнить, что в криптографии мы имеем дело с очень большими целыми числами. Например, если мы умножаем очень большое целое число на другое очень большое целое число, которое настолько большое, что не может быть записано в компьютере, то применение вышеупомянутых свойств позволяет уменьшить первые два операнда прежде, чем начать умножение. Другими словами, перечисленные свойства позволяют нам работать с меньшими числами. Этот факт станет понятнее при обсуждении экспоненциальных операций в последующих лекциях.

Следующие примеры показывают приложение вышеупомянутых свойств.

Источник

Материал для подготовки к разделу «Арифметика вычетов»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

1. Арифметика вычетов

В отличие от (1) операция означает остаток от деления (например, ). Эта операция называется приведением по модулю.

Далее приведены свойства функции сравнения:

Сравнения по одинаковому модулю можно почленно складывать.

Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень.

Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, взаимно простой с модулем.

Обе части сравнения и его модуль можно умножить на одно и то же целое число или разделить на их общий делитель.

Если сравнение имеет место по нескольким разным модулям, то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному этих модулей.

Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая часть сравнения должна делиться на то же число.

К обеим частям сравнения можно прибавить одно и тоже число; обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число.

Свойство операции приведения по модулю:

Проверим свойство операции приведения:

Найдем при помощи свойства операции приведения по модулю:

Такой прием называется цепочкой разложения, в основе которой лежит двоичное представление числа.

Свойства классов вычетов:

Любые чисел попарно не сравнимые по модулю образуют полную систему вычетов.

Полная система вычетов – это совокупность вычетов, взятых по одному из каждого класса эквивалентности.

Рис. 1. Иллюстрация к образованию классов вычетов по модулю 8

На рис. 1 изображен процесс «наматывания» цепочки целых чисел на колечко с делениями, при этом на одно деление автоматически попадают сравнимые между собой числа.

Свойства функции Эйлера:

Алгоритм Евклида (применяется при небольших для нахождения : ).

Выполним следующие деления с остатком:

Найдем линейное разложение НОД’а: :

Отрицательным моментом этого метода является то, что необходимо возводить в степень.

Свойства данного числа :

По любому простому модулю существует первообразный корень.

Значит, первообразными корнями по модулю являются 3 и 5.

Таким образом, в данном параграфе мы раскрыли основные понятия арифметики вычетов, такие как сравнения в кольце целых чисел, основные теоремы и свойства сравнений.

Итак, рассмотрим сравнение: по степеням простого числа 7. При n =1 сравнение имеет два решения:

Таким образом, получаем решение

Аналогично при n =3 получаем и из сравнения

Этот процесс мы можем продолжать бесконечно.

Мы получим последовательность

Она обладает свойствами:

Итак, процесс построения последовательности

Чем-то напоминает процесс извлечения квадратного корня из 2.

При возрастании n становится сколь угодно 7-близкими к 2.

Можно предположить, что наша последовательность так же определяет число a некоторой новой природы, причем такое, что =2.

Сравнение показывает, что

То же самое, что и последовательность Последовательность, все члены которой удовлетворяют условиям и 0, будем называть канонической.

Следовательно, всякая каноническая последовательность имеет вид

Теорема. Всякое отличное от нуля p-адическое число однозначно представляется в виде

Объяснение р-адических чисел с помощью ввода новых математических объектов

«Квазибесконечным числом» (КБЧ) называется бесконечная последовательность цифр (из какой-либо системы счисления, например десятичной), идущая справа налево.

Эти числа названы «квазибесконечными», потому что они кажутся бесконечными, но на самом деле не являются таковыми.

Рассмотрим те КБЧ, в которых влево от некоторой позиции идут одни нули, например:

Нетрудно заметить, что такие числа при сложении и умножении ведут себя как обычные неотрицательные целые числа.

1) Каждую цифру x _i заменить на (N−1)−x _i (где N — основание системы счисления)

Например, в десятичной системе:

В двоичной системе:

Таким образом, те КБЧ, в которых влево от некоторой позиции идут одни только наибольшие цифры данной системы счисления, можно отождествить с обычными отрицательными целыми числами.

Сумма двух КБЧ вычисляется справа налево по обычному методу сложения столбиком (вычисляется сумма двух цифр очередного разряда, прибавляется единица при наличии переноса из предыдущего разряда, затем определяется цифра суммы данного разряда и наличие переноса в следующий разряд). [В нижеприведённых таблицах наличие переноса обозначается чертой над соответствующей цифрой.] Например:

Аналогично вычисляется разность двух КБЧ (только вместо переноса здесь заимствование из следующего разряда). Умножение также вычисляется по обычном методу умножения столбиком, как сумма бесконечного ряда слагаемых. Деление осуществляется подбором цифр справа налево, используя тот факт, что для вычисления n последних (правых) цифр произведения достаточно перемножить числа, образованные n последними цифрами сомножителей. (Деление выполняется проще, если основание системы счисления – простое число, иначе возникают неоднозначности в подборе цифр)

Естественно предположить, что всякое периодическое КБЧ (т. е. такое, в котором слева от некоторого разряда идёт бесконечно повторяющаяся последовательность цифр) представляет некоторую дробь (т. е. при умножении периодического КБЧ на некоторое конечное число можно получить конечное число).

Теорема. Если основание системы счисления N – простое число, то для любого числа x, не кончающегося на 0, существует обратное число x −1 (т. е. такое, что x · x −1 =1).

Далее, исходя из алгоритма умножения столбиком, для очередной цифры x _i мы подберём цифру y _i по уравнению

(вычисления осуществляются по модулю N; C –«довесок», образующийся от перемножения предыдущих цифр).

Поскольку x ₀ ≠ 0, то это уравнение всегда разрешимо. Теорема доказана.

Следствие. Если основание системы счисления – простое число, то можно делить (без остатка) на любое число, не кончающееся на 0.

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Наглядности ради, p- адические числа можно уподобить ветвям и листьям огромного раскидистого дерева. Если представить, что такое дерево выросло из некоторой определенной точки на числовой прямой, то обнаруживается удивительное соответствие этих множеств. То есть ветвей и листьев на математическом дереве настолько много, что для любой точки на числовой оси можно найти соответствующую величину и на древовидной структуре – продвигаясь по дереву согласно строго определенным правилам.

В данном параграфе мы выяснили, что такое p-адические числа. Они почти не отличаются от вышеописанных квазибесконечных чисел, однако имеют следующие особенности: основание системы счисления – всегда простое число; цифры записываются в обратном порядке по сравнению с вышеописанным (т. е. бесконечный хвост уходит вправо, а не влево; однако это лишь форма записи, суть от этого не меняется).

3. Арифметика вычетов по модулю m

При сложении двух однозначных чисел может получиться либо однозначное число, например 1 + 4 = 5, 7 + 2 = 9, либо двузначное число, например 3 + 9 = 12, 5 + 8 = 13, 7 + 9 = 16, 4 + 6 = 10. Условимся, если сумма двузначная, оставлять только последнюю цифру и писать 3+9=2, 5+8=3, 7+9=6, 4+6=0.

При таком новом определении операции сложения сумма любых двух однозначных чисел есть снова однозначное число.

При перемножении двух однозначных чисел может получиться либо однозначное число: 2*3 = 6, 1*8 = 8, 3*3 = 9, либо двузначное число: 6 * 7 = 42, 7* 8 = 56, 9 * 9 = 81. В случае, если произведение двузначно, будем брать только последнюю цифру и писать 6*7 = 2, 7*8 = 6, 3*3 = 9.

При этом новом определении операции умножения произведение двух однозначных чисел всегда является однозначным числом. Введенные нами операции отличаются от действий, которые мы привыкли называть сложением и умножением и обозначать знаками «+» и «*». Строго говоря, следовало бы поэтому ввести для этих новых операций новые названия и новые знаки. Однако оказывается, что все формулы обычной алгебры, содержащие только знаки «+», «*» и любое число скобок, сохраняются и для новых операций.

В частности остаются верными формулы:

а+(в+с)=(а+в)+с, а+в=в+а, а(вс)=(ав)с, а(в+с)=ав+ас, а также формулы

и другие. Поэтому употребление привычных знаков в новом смысле не может повести к недоразумениям.

Итак, мы построили новую арифметику, отличную от арифметики, изучаемой в школе, но при всем этом во многом похожую на нее. Эта новая арифметика окажется нам полезной при решении многих задач из обычной арифметики и алгебры.

Нашу новую арифметику мы будем называть арифметикой вычетов по модулю 10, или 10-арифметикой, потому что в ней только 10 чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Составим таблицы сложения и умножения в 10-арифметике:

Сделаем еще одно важное замечание: если в любом правильном числовом равенстве из обыкновенной арифметики, содержащем, кроме чисел, только знаки сложения, умножения и скобки, заменить каждое число его последней цифрой, то получится равенство, верное в смысле 10-арифметики.

В 7-арифметике семь чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сложение и умножение в 7-арифметике определяются следующими правилами: чтобы сложить два числа, надо найти их сумму в смысле обычной арифметики и затем взять остаток от деления этой суммы на 7; чтобы перемножить два числа, надо найти их обычное произведение и взять остаток от деления его на 7. Например, 3+5=1, 4+6=3, 3+4=0, 5*3=1, 3*6=4, 2*6=5.

Например, в 7-арифметике 2-5=4, либо 5+4=2.

Мы будем называть ряд рядом без повторений, если он не может совместиться с собой при повороте на угол, больший 0, но меньший 360 градусов.

Из приведенных на рис. 2 рядов первый и третий являются рядами без повторений. Второй ряд является рядом с повторениями, ибо он совмещается с собой при повороте на 180 градусов. Заметим, что если в некотором круговом ряде встречается дважды одна и та же пара соседних элементов, то этот ряд является рядом с повторениями.

Треугольником Паскаля называется следующая бесконечная таблица чисел:

Каждое число в этой таблице равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа. Треугольник Паскаля симметричен относительно своей биссектрисы. Строки треугольника нумеруются сверху с нулевой строки.

Составим 3-арифметический треугольник Паскаля

Мы видим, что он (по крайней мере в той его части, которая изображена на схеме) составлен из треугольников трех типов, обращенных вершинами вверх:

Треугольники, с одинаковым числом строк можно складывать между собой и умножать на число.

Список использованной литературы

Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике [Текст] / Н.В. Богомолов. – М.: Дрофа, 2009. – 206 с.

Бухштаб, А.А. Теория чисел [Текст] / А.А. Бухштаб. – М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике [Текст] / М.Я. Выгодский. – М.: Дрофа, 2006. – 509 с.

Журбенко, Л.Н. Математика в примерах и задачах [Текст] / Л.Н. Журбенко. – М.: Инфра-М, 2009. – 373 с.

Иванов, О.А. Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей [Текст] / О.А. Иванов. – М.: МЦНМО, 2009. – 384 с.

Карп, А.П. Задания по алгебре и началам анализа для организации итогового повторения и проведения аттестации в 11 классе [Текст] / А.П. Карп. – М.: Просвещение, 2005. – 79 с.

Куланин, Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике [Текст] / Е.Д. Куланин. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 624 с.

Лейбсон, К.Л. Сборник практических заданий по математике [Текст] / К.Л. Лейбсон. – М.: Дрофа, 2010. – 182 с.

Манова, А.Н. Математика. Экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ: уч. пособие [Текст] / А.Н. Манова. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012. – 541 с.

Михелович, Ш.Х. Теория чисел [Текст] / Ш.Х. Михелович. – М.: Высшая школа, 1967. – 336 с.

Сергеев, И.Н. ЕГЭ: 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С [Текст] / И.Н. Сергеев. – М.: Экзамен, 2012. – 301 с.

Соболев, А.Б. Элементарная математика [Текст] / А.Б. Соболев. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. – 81 с.

Источник

Вычет в математике это

1. Сравнения и классы вычетов

* ) ( Понятие сравнимости впервые было введено великим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855) в его трактате «Арифметические исследования» и является одним из основных понятий теории чисел.)

Запись a ≡ 0 (mod n) означает тогда, что само число а делится на n, т. е. a = k · n.

Если зафиксировать некоторый модуль сравнения n, то всякое натуральное число с можно единственным образом представить в виде

В теории чисел (см., например, [5]) доказывается ряд свойств сравнений, во многом аналогичных свойствам обычных равенств. Подобно тому, как мы это делаем с равенствами, сравнения по одинаковому модулю можно складывать, перемножать и т. д. (так, перемножив сравнения 17 ≡ 5 (mod 4) и 7 ≡ 3 (mod 4), получим, как нетрудно убедиться, верное сравнение 119 ≡ 15 (mod 4). Вообще, если a₁ ≡ b₁, а₂ ≡ b₂, то a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂, a₁a₂ ≡ b₁b₂.

Значение этих свойств заключается в том, что при рассмотрении вопросов делимости чисел и различных числовых арифметических выражений мы можем входящие в эти выражения числа заменять на другие, сравнимые с ними по данному модулю n; в частности, каждое число может быть заменено своим вычетом. Проиллюстрируем сказанное следующей задачей.

Доказать, что число (1981) k + (1982) k при любом нечетном натуральном k делится на 3.

Замечаем, что 1981 ≡ 1 (mod 3), 1982 ≡ 2 (mod 3). Заменяя в исходном выражении числа 1981, 1982 их вычетами по модулю 3, получаем

т. е. если k нечетно, то исходное выражение делится на 3.

В разобранной задаче числа 1981 и 1982 могли быть заменены любыми числами а и b, дающими при делении на 3 остатки соответственно 1 и 2. Ни утверждение задачи, ни способ его доказательства от 1 этого не изменились бы. Таким образом, в некоторых вопросах все числа, имеющие один и тот же вычет r по модулю n, и, следовательно, сравнимые между собой по этому модулю, оказываются взаимозаменяемыми. Объединим все их в один класс, обозначаемый r‾:

Ясно, что эти классы попарно не пересекаются и каждое целое число попадает ровно в один класс.

Мы обнаруживаем, далее, что используя операции сложения и умножения чисел, можно производить аналогичные операции и над классами вычетов.

Тогда будем считать, что «сумма» классов r‾₁ и r‾₂ равна r‾, а их «произведение» равно s‾:

Законность этого определения обосновывается тем, что класс, которому принадлежит сумма а₁ + а₂ (соответственно произведение а₁а₂) не зависит от выбора элементов а₁ и а₂ в классах r‾₁ и r‾₂.

Часто, когда это не вызывает путаницы, в обозначениях классов вычетов опускают черту, записывая их как обычные натуральные числа. В основном тексте книги это делается без специальных оговорок. Выпишем, например, таблицы сложения и умножения классов по модулю 4 в этих упрощенных обозначениях:

Эти таблицы можно понимать и буквально, считая, что они определяют две операции на множестве <0, 1, 2, 3>— сложение и умножение по модулю 4.

Заходите чтобы vulkan бесплатно так если вы решили играть в игровые автоматы на деньги то

Источник

Калькулятор социальных вычетов

Сколько вам должно государство

Если вы поставили платную пломбу, заплатили за обучение ребенка или отучились в автошколе, то можете вернуть часть потраченных денег за счет социального налогового вычета (ст. 219 НК РФ). Внесите свои расходы за год и посмотрите, сколько денег можно вернуть.

Cколько денег можно вернуть

Когда вы получаете зарплату, вы платите с нее 13% подоходного налога. Если вы потратили часть зарплаты на лечение или обучение, государство компенсирует затраты: вернет уже уплаченный налог за год, в котором были расходы, или разрешит с этой суммы не платить НДФЛ.

Размер вычета зависит от суммы доходов за год, в котором были расходы. Вы не сможете вернуть больше, чем заплатили >НДФЛ, даже если сумма вычета окажется больше. Остаток неиспользованного вычета на обучение и медицину обнуляется и на следующий год не переносится.

Заявить вычет можно за последние три года. В 2021 году можно получить вычет по расходам 2020, 2019 и 2018 годов.

Как получить вычет

Есть два способа: в следующем году по декларации через налоговую или в текущем году у работодателя без декларации.

Если хотите получать вычет каждый месяц на работе и не платить НДФЛ, напишите заявление и приложите к нему уведомление из налоговой о подтверждении права на вычет. Чтобы получить уведомление, отправьте в налоговую заявление с подтверждающими документами.

Юлия, при чём здесь банк? Это налоговый вычет, деньги возвращает государство.

Добавьте, пожалуйста, ИИС сюда.

Юлия, скоро сделаем 😉

Николай, индивидуальные предприниматели не являются плательщиками НДФЛ, поэтому и возвращать нечего)

Николай, мне тоже это интересно.

Елена, Добрый день) Прошу уточнить готовность калькулятора по ИИС для данной статьи)

Владислав, сделали отдельный калькулятор для ИИС: https://journal.tinkoff.ru/iis-a/

Владислав, просто добавьте 13 % к сумме вложения на ИИС, но не более 52 тысячи (что соотносится с 400 тысячами вложений в год

Юлия, наоборот, выгодно. Вы получите вычет и положите средства на ИИС)

Евгений, если учебное заведение зарегистрировано официально и платит налоги

Тульский, если ты студент, который платит ндфл

Виктор, у меня ИП и я на осно. И делаю высчет 13%

Дмитрий, если платишь налог 3 ндфл, то предусмотрено.

Дмитрий, да, вы же подаходный налог не платите, а работники ИП могут

Виктор, если на осно.

Олег, возвращается 13-ти % налог, но каким боком он относится к ИП?

Олег, медицина? Расскажите поподробнее.

Дмитрий, для ИП вообще никогда и никаких возвратов не предусмотрено 🙁

What, чек не важен. Вы должны в клинике специальную выписку получить (у них это все ведется и учитывается, выдают без проблем).

Михаил, почему? Собственник, как руководитель, также себе зарплату может начислять.

Еще не хватает накопительного страхования жизни (при договоре на более чем пять лет)

What, я в этом году не мог найти чеки, мне сказали главное договор и справка. Все оплаты сейчас в налоговую электронно уходят с кассы. Доки я потом нашел правда. Но пока на камералке.

Если ты ИП на УСН или самозанятый, то ничего не полагается.

Граждане, я понимаю все ваши толкования, но никак не могу понять следующего:
—
отучилась в автошколе — заплатила 30 тысяч рублей;
Разве это не могут преподавать в наших общеобразовательных школах и тем более в выпускных классах? Школярам преподают такие математ. формулы и их решения, что и в жизни больше с ними не сталкиваешься не только на практике, но даже в написании и переадресации кому-то.
—
записала сына в секцию борьбы за 4 тысячи рублей в месяц, а дочь — в музыкальную школу за 2 тысячи рублей;
Мы воспитываем детей, а сами и при получении з/платы во внебюджетные фонды государства и в частности в этом случае, отчисляем в ФСС (Фонд соц. страхования) сумашедшие деньги, если брать по всей стране и в тоже время и за свои средства ищем и находим чем-то интересным занять свое подрастающее поколение.
собственно спрашивается вопрос, а где все эти средства, что поступают в этот ФСС? НЕ уж то на содержание его аппарата и прочего персонала идет большая часть этих собираемых средств.
И только не говорите мне, что часть средств идет на оплату безвозмездных путевок, т.к. в этом случае я «Вам» конкретно задам тогда вопрос, когда «ВЫ» персонально бесплатно отдыхали последний раз в летный период на берегу любого нашего российского южного моря?
—
установила протез зуба за 30 тысяч рублей;
И практически все тоже самое, что и про ФСС, но здесь с акцентом про аналогично медицинские фонды и известные как ФФОМС (Федеральный фонд обще медицинского страхования) и ТФОМС (Территориальный фонд общемедицинского страхования), что за свои дополнительные деньги еще и ремонтировать свое бесценное здоровье?

И возвращаясь к теме того, что ФНС возвращает часть подоходного налога, с моей точки зрения, это как некая «кость брошенная собаке», что мол и государство тоже как бы принимает участие в Вашей жизни.

P.S. Не обессудьте, что получилось очень длинно, но вопросы они ведь как были, так собственно никуда и не делись.

Евгений, у Курсеры нет лицензии на образование в России, поэтому нельзя

Алексей, нет такого правила. Где Вы такое вычитали?) Это не сумма за квартиру, которую можно растянуть.

Источник