вычисление интегралов через вычеты

Электронная библиотека

Определение. Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых f(z) не является аналитиче­ской, называют особыми точками (в частности, точки, в которых f(z) не определена).

Определение. Точка z₀ называется нулем (корнем) порядка (кратности) аналитической функции f(z),если:

б) существует, конечен и не равен нулю.

Определение. Пусть f(z) аналитическая функция в окрестности точки z₀, за ис­ключением самой точки z₀. В этом случае точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z).

Различают изолированные особые точки одно­значной функции трёх типов:

2) полюс k-го порядка – изолированную особую точку z₀, в которой существует конечный предел, не равный нулю:

3) сущест­венно особую точку – изолированную особую точку z₀, которая не является ни уст­ранимой, ни полюсом. То есть не существует, ни конечный, ни бесконечный.

Теорема (о связи между нулем и полюсом). Если точка z₀ – нуль порядка к функции f(z), то для функции 1/f(z) эта точка является полюсом порядка к.

Пусть f(z) – функция, аналитическая в каждой точке об­ласти D, за исключением конечного числа изолированных осо­бых точек, и L — кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области D и не проходящий через особые точки функции f(z).

Если в области, ограниченной контуром L, не содержится особых точек функции f(z), то по основной теореме Коши

Если же в области, ограниченной контуром L, имеются особые точки функции f(z), то значение этого интеграла, вообще говоря, отлично от нуля.

Вычет f(z) относительно точки z₀ обозначается симво­лом resf(z₀)(Resf(z₀)) или так, что имеем:

Вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю:

Вычет f(z) относительно простого полюса можно найти по формуле:

Вычет f(z) относительно полюса порядка к находят по формуле:

Эта теорема имеет большое значение для приложений.

Од­но из них – это вычисление некоторых интегралов от функции комплексной переменной.

Замечание. В предыдущих рассуждениях о вычетах неявно предпола­галось, что рассматриваются конечные изолированные особые точки (это ясно из того, что интеграл по замкнутому контуру по умолчанию брался в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, а особая точка при этом попадает внутрь конту­ра только в случае, когда она конечна). В случае же, когда рас­сматривается бесконечно удаленная точка, ситуация несколько иная. Точнее, сформулируем это так.

Определение. Вычетом функции f(z) относительно бесконечно уда­ленной точки называют интеграл:

Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах:

Решение

1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):

2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область графически (рис. 2.7).

3) Определим тип рассматриваемой изолированной особой точки z = 0. Найдем предел по формуле (2.41):

Так как предел существует, то z = 0 – полюс первого порядка (простой полюс).

4) Найдем вычет функции относительно простого полюса z = 0, используя формулу (2.44):

5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47):

Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах:

Решение

1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):

2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область (рис. 2.8).

Обе особые точки лежат внутри области интегрирования.

4) Найдем вычеты функции относительно простых полюсов и используя формулу (2.44):

5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47)

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Источник