вычисление вычетов в особых точках

Вычисление вычетов в особых точках

Обозначается вычет

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С_-1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z—z₀) для z₀, принадлежащей области комплексных чисел:

ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.

Если конечная особая точка z₀ является устранимой особой точкой функции f(z), то

ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.

ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.

ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.

ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Вычеты. Основная теорема о вычетах

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

] в лорановском разложении этой функции в точке z0. Отсюда, в частности, вытекает, что вычет в устранимой особой точке равен нулю. Укажем некоторые формулы для вычисления вычета в полюсе функции /(г).

Поэтому по теореме Коши для многосвязной области имеем Из этой формулы, пользуясь определением вычета получаем требуемое равенство (5). 6.1. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Говорят, чтофункция f(z) является аналитической в бесконечно удаленной точке z = оо, если функция аналитична вточке С =0. Это следует понимать так: функцию g(0= f (f) можно доопределить до аналитической, положив Например, функция аналитична в точке z = оо, поскольку функция аналитична в точке С = 0.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть функция /(г) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z = оо). Точка z = оо называется изолированной особой точкой функции /(г), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек функции f(z). Функция имеет в бесконечности неизолированную особенность: полюсы zk = к-к этой функции накапливаются в бесконечности, если к оо. Говорят, что z — оо является устранимой особой тонкой, полюсом или существенно особой точкой функции f(z) в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует lim f(z).

Критерии типа бесконечно удаленной точки, связанные с разложением Лорана, изменяюгся по сравнению с критериями для конечных особых точек. Теорема 22. Если z — оо является устранимой особой точкой функции /(z), то лоранов-ское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит полож и тельных степеней z;eaiu z — оо — полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z, в случае существенной особенности — бесконечное число положительных степеней z.

При этом лорановским разложением функции /(z) в окрестности бесконечно удаленной точки будем называть разложение в ряд Лорана, сходящийся всюду вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z — 0 (кроме, быть может, самой точки z — оо). Пусть функция f(z) — аналитична в некоторой окрестности точки z = оо (кроме, быть может, самой этой точки). Вычетом функции /(z) в бесконечности называют величину пае 7 — достаточно большая окружность \z\ = р, проходимая по часовой стрелке (так, что окрестность точки z — оо остается слева, как и в случае конечной точки г = го).

И з этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при z

Известные тейлоровские разложения функций е1, cosz, sinz, chz, shz можно рассматривать также и как лорановские разложения в окрестности точки z — оо.

Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то перечисленные функции имеюгвточке z = оо существенную особенность. Теорема 23. Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю. Так что, если — конечные особые точки функции f

Пример 4:

Вычислить интеграл Полюсами (конечными) подынтегральной функции являются корни zt уравнения гя = —1, которые все лежат внутри окружности В окрестности точки г = оо функция /(z) имеет следующее разложение: ИЗ КОТОРОГО ВИДНО, ЧТО В силу теоремы 6.2. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов. Интегралы от рациональных функций Теорема 24. Пусть f(x) — рациональная функция, т. е. где — многочлены степеней пит соответственно.

Пример 5:

Пример 6. Вычислить интеграл Применяя подстановку z = е,г. после простых преобразований (см. формулы (II)) получим, что Внутри единичного круга при условии находится только один полюс (второго порядка) Вычет функции Интегралы вида гдеД(х) — правильная рациональная дробь, а > 0 — вещественное число. При вычислении таких интегралов часто бывает полезной следующая лемма. Лемма Жордана. Пусть функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости исключением конечного числа изолированных особых точек, и при \ стремится к нулю равномерно относительно arg z.

где 7л — верхняя полуокружность Условие равномерного стремления /(г) к нулю означает, что на полуокружности 7R Оценим исследуемый интефал. Замечая, что на 7Л В силу известного неравенства (см. рис. 31) справедливого при (для доказательства достаточно заметить, что и, значит, функция ^ убывает на полуинтервале Сопоставляя формулы (13) и (14), заключаем, что 4 Введем вспомогательную функцию Пример 7. Вычислить интеграл Нетрудно видеть, что если г = х, то Jmh(z) совпадает с подынтегральной функцией.

Отсюда откуда Упражнения Найдите действительную и мнимую части функдаи: Найдите образы действительной и мнимой осей при отображении: Докажи те, что функция непрерывна на всей комплексной плоскости: Пользуясь условиями Коши—Римана, выясните, является ли функция аналитической хотя бы в одной точке или нет: Восстановите аналитическую в окрестности точки 20 функцию /(г) по известной действительной части и (или по известной мнимой части v(x, у)) и значению f(z0):

Покажите, что следующие функци и являются гармоническими: Может ли данная функция быть действительной или мнимой частью аналитической функции Найдите действительную и мнимую части функции: Найдите модуль и главное значение аргумента функции в указанной точке zq: Найдите логарифмы следующих чисел: Решите уравнение: 38. Вычислите интеграл /— линия, соединяющая точки z\ = 0 отрето к прямой, б) дуга параболы ломаная 39. Вычислите интеграл — полуокружность Вычислите интегралы: 43.

Вычислите интеграл / где 7 — верхняя половина окру*« ости |z| = 1 (выбирается Вычеты Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов Интегралы от рациональных функций Лемма Жордана Вычисление интегралов Френеля ветвь функци и л/z, для которой 44. Вычислите интеграл / ^ dz, где 7 — отрезок прямой, идущий из точки zj = 1 в точку.

Вычислите интегралы: Найдите радиус сходимости ряда: Рашожите функцию в ряд Тейлора и найдите радиус сходимости полученного ряда: постепеням z + I. 55. cosz постепеням 56.—-— постепеням z + 2. 57.—^— постепеням z. 58. sh2 z постепеням z. Найдите нули функции и определите их порядки: z Определите область сходимости ряда: Разложите в ряд Лорана в окрестности точки г = 0: Разяожитс в ряд Лорана в уюзан ном кольце: Найдите особые точки и определит е их характер:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Вычеты

1.Определение вычета и основная теорема о вычетах.

4.Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки

1. Определение вычета и основная теорема о вычетах.

Пусть f ( z ) – функция, аналитическая в каждой точке облас-

R в ряд Лорана имеет вид

Определение 1. Вычетом аналитической функции f ( z )

в изолированной особой точке

называется комплексное чис-

ло, равное значению интеграла

содержащему внутри себя

единственную особую точку z 0

Если в выражении c n =

∫ + ( ζ − f ( z ζ ) ) n + 1 d ζ

относительно особой точки

эффициенту при первой отрицательной степени в разложении функции f ( z ) в ряд Лорана.

Теорема 1 (Коши). Пусть f ( z ) есть функция, аналитиче-

ружности попарно не пересекались и целиком лежали в области, ограниченной Γ (рис.1).

Коши для многосвязной области имеем

2. Вычисление вычетов функции.

Пусть точка z 0 является

в точке z 0 можно найти либо по

В первом случае нахождение вычета функции

f ( z ) сводится к вычислению интеграла, во втором случае – к

f ( z ) в ряд Лорана. Рассмотрим вычисле-

ние вычетов в различных особых точках.

Вычисление вычетов функции относительно устранимой особой точки. Пусть z 0 есть устранимая

Вычисление вычетов функции относительно полюса.

Случай 1. Простой полюс.

Так как в правой части равенства находится обыкновенный степенной ряд, то его сумма является непрерывной функцией в

f ( z ) есть частное двух аналити-

ческих в точке z 0 функций

является простым полюсом функции f ( z ) =

z → z 0 h ( z ) − h ( z 0 )

В правой части равенства находится степенной ряд, который равномерно сходится в любом круге, целиком лежащим в его круге сходимости. Поэтому возможно почленное дифференцирование этого ряда любое число раз в круге его сходимости. Дифференцируя последнее равенство ( m − 1 ) раз, имеем

d m − 1 [( z − z 0 − ) m f ( z )] = dz m 1

z 1 = 0 – полюс второго порядка и z 2 = 1 – простой полюс. Тогда имеем

Вычисление вычетов функции относительно существенно особой точки. Пусть точка z 0 является

щественно особой точкой. Разложим данную функцию в ряд Лорана в окрестности точки z = 0

Отсюда находим Res e

3. Логарифмический вычет.

функции f ( z ) называется функция

логарифмической производной функции f ( z ) :

Res ( ln f ( z )) ′ = Res

Теорема 3. Пусть f ( z ) – мероморфная функция в области

► Пусть функция f ( z ) мероморфна в области E и Γ –

f ( z ) являются точки

f ( z ) являются точки

Применяя к функции ( ln f ( z )) ′ основную теорему о вычетах и учитывая теорему 2, получим

2 π 1 i Γ ∫ + f f ′ ( ( z z ) ) dz =

т. е. функция f ( z ) является аналитической в некоторой окрест-

ности бесконечно удаленной точки.

где Γ — замкнутый кусочно-гладкий контур, целиком лежащий в той окрестности бесконечно удаленной точки, в которой функция f ( z ) является аналитической.

Здесь интегрирование по контуру Γ совершается в отрицательном направлении, т. е. так, чтобы при обходе контура бесконечно удаленная точка оставалась слева.

удаленной точки, разложение функции f ( z ) в ряд Лорана имеет

Так как ряд Лорана функции f ( z ) сходится равномерно на

Учитывая, что для k = 0,1, ± 2, L ∫ z k dz = 0 и

Источник