деление числа в заданном отношении
Деление числа в данном отношении + задачи с решением
В шестом классе изучается тема деления чисел в данном отношении. Тема для учеников не всегда понятна с первого объяснения учителя, поэтому разберем ее подробнее на страницах сайта 7 гуру. Напишем понятия и правила, разберем примеры решения задач на деление в данном отношении.
Понятие отношения
Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b. Числа a и b называются членами отношения.
Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Цена товара – это отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.
Правило деления числа в данном отношении.
Чтобы разделить число c в отношении a к b, можно разделить число c на сумму членов отношения a + b и результат умножить на каждый член отношения, числа a, b и c не равны нулю.
Задача 1. Разделите между двумя друзьями 80 конфет в отношении 1:4.
1 способ:
Таким способом мы решали подобные задачи в начальной школе. Сначала узнаем, сколько всего частей в целом. Узнаем количество предметов в одной части. Умножаем на нужные количества частей, чтобы ответить на вопрос.
2 способ:
Решаем по правилу деления числа на части. Этим способом предпочтительнее пользоваться при решении подобных задач.
Ответ: конфеты между друзьями надо разделить так: первому – 16 конфет, а второму – 64 конфеты.
Задача 2. Сестра и брат сложили свои деньги для покупки лотерейного билета. У сестры было 50 рублей, а у брата 30 рублей. Билет выиграл 4000 рублей. Как они должны разделить эти деньги между собой?
Ответ: 2500 рублей, 1500 рублей.
Задача 3. Трое хотят купить фирму по продаже мороженого. Первый желает иметь 6 частей акций, второй – 4 части акций, третий – 2 части. Всего нужно заплатить 960 000 рублей. Сколько денег должен внести каждый из них.
Ответ: 480 000 рублей, 320 000 рублей, 160 000 рублей.
Задача 4. Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая – за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?
Ответ: первой машинистке – 108 страниц, второй – 72 страницы.
Задача 5. Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 4 часа, а велосипедист – за 12 часов. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проедет каждый до встречи, если расстояние между пунктами 120 километров?
Так как время преодоления расстояния мотоциклистом и велосипедистом равно 12:4, значит, скорость мотоциклиста будет в 3 раза больше, чем велосипедиста. Следовательно, за одно и то же время мотоциклист проедет в 3 раза большее расстояние. Это значит, что весь путь делится между ними в отношении 1:3.
Задача 6. Сортировка элементов по категориям. Поставьте в соответствующие столбцы (1:4; 2:5) числа, которые можно разделить нацело в заданных отношениях. Варианты ответов: 25, 13, 14, 45, 28, 6.
Для решения нужно сначала посчитать сумму частей первого столбца:
1 + 4 = 5
Затем проверить, какие из чисел кратны 5. Это 25 и 45.
Аналогично для второго столбца.
2 + 5 = 7
Числа, кратные 7: 14 и 28.
Математика. 6 класс
Конспект урока
Деление числа в данном отношении
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b.
Числа a и b называются членами отношения.
Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Цена товара – это отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сегодня мы с вами разберём, что означает деление числа в данном отношении.
Правило деления числа в данном отношении.
Чтобы разделить число c в отношении a к b, можно разделить число c на сумму членов отношения a + b и результат умножить на каждый член отношения, числа a, b и c не равны нулю.
Ответ: конфеты между друзьями надо разделить так: первому – 16 конфет, а второму – 64 конфеты.
Сестра и брат сложили свои деньги для покупки лотерейного билета. У сестры было 50 рублей, а у брата 30 рублей. Билет выиграл 4000 рублей. Как они должны разделить эти деньги между собой?
Ответ: 2500 рублей, 1500 рублей.
Трое хотят купить фирму по продаже мороженого. Первый желает иметь 6 частей акций, второй – 4 части акций, третий – 2 части. Всего нужно заплатить 960 000 рублей. Сколько денег должен внести каждый из них.
Ответ: 480 000 рублей, 320 000 рублей, 160 000 рублей.
Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая – за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?
Ответ: первой машинистке – 108 страниц, второй – 72 страницы.
Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 4 часа, а велосипедист – за 12 часов. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проедет каждый до встречи, если расстояние между пунктами 120 километров?
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.
Поставьте в соответствующие столбцы числа, которые можно разделить нацело в заданных отношениях.
№2. Тип задания: подчеркивания.
Нужно подчеркнуть правильный вариант ответа.
Математика. 6 класс
Конспект урока
Деление числа в данном отношении
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b.
Числа a и b называются членами отношения.
Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Цена товара – это отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сегодня мы с вами разберём, что означает деление числа в данном отношении.
Правило деления числа в данном отношении.
Чтобы разделить число c в отношении a к b, можно разделить число c на сумму членов отношения a + b и результат умножить на каждый член отношения, числа a, b и c не равны нулю.
Ответ: конфеты между друзьями надо разделить так: первому – 16 конфет, а второму – 64 конфеты.
Сестра и брат сложили свои деньги для покупки лотерейного билета. У сестры было 50 рублей, а у брата 30 рублей. Билет выиграл 4000 рублей. Как они должны разделить эти деньги между собой?
Ответ: 2500 рублей, 1500 рублей.
Трое хотят купить фирму по продаже мороженого. Первый желает иметь 6 частей акций, второй – 4 части акций, третий – 2 части. Всего нужно заплатить 960 000 рублей. Сколько денег должен внести каждый из них.
Ответ: 480 000 рублей, 320 000 рублей, 160 000 рублей.
Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая – за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?
Ответ: первой машинистке – 108 страниц, второй – 72 страницы.
Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 4 часа, а велосипедист – за 12 часов. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проедет каждый до встречи, если расстояние между пунктами 120 километров?
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.
Поставьте в соответствующие столбцы числа, которые можно разделить нацело в заданных отношениях.
№2. Тип задания: подчеркивания.
Нужно подчеркнуть правильный вариант ответа.
Деление числа в данном отношении
На практике и в курсе математики довольно часто приходится делить число (величину) в данном отношении. Такие задачи решают на ЕГЭ, решали и в глубокой древности. Начнём с задачи из Древнего Египта.
Задача 1. Число и его половина составляют 9. Найдите число.
Решение. Пусть половина числа составляет 1 часть, тогда само число — 2 такие же части, так как число в 2 раза больше своей половины.
1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на число и его половину,
2) 9: 3 = 3 (единицы) — приходится на 1 часть, это половина числа,
3) 3 * 2 = 6 (единиц) — приходится на число.
Изменим условие задачи на части — получим задачу на деление числа в данном отношении.
Задача 2. Разделите число 9 в отношении 2: 1. Найдите полученные числа.
Решение задачи записано выше. Сделаем вывод в виде правила, которому можно следовать при решении других задач, меняя число и члены отношения.
Чтобы число 9 разделить в отношении 2: 1, надо это число разделить на сумму членов отношения и результат умножить на каждый член отношения.
Запишем решение задачи по новому правилу.
Решение. 1) 9: (2 + 1) * 2 = 6 — большее число,
2) 9: (2 + 1) * 1 = 3 — меньшее число.
Разумеется, меньшее число можно было найти вычитанием: 9 — 6 = 3.
Задача 3. Брат и сестра разделили 35 конфет в отношении 3: 4. Брату досталась меньшая часть. Сколько конфет досталось сестре?
Решение. 1) 35: (3 + 4) * 3 = 15 (конфет) — досталось брату,
2) 35 — 15 = 20 (конфет) — досталось сестре.
Задача 4. Малыш и Карлсон разделили 16 плюшек в отношении 3: 5. Сколько плюшек досталось Карлсону, если Малышу досталось меньше плюшек?
Решение. 1) 16: (3 + 5) * 3 = 6 (плюшек) — досталось Малышу,
2) 16 — 6 = 10 (плюшек) — досталось Карлсону.
Задача для ребят постарше.
Задача 5. В треугольнике три стороны имеют длину 8, 10 и 12. На какие отрезки биссектриса треугольника делит среднюю его сторону?
Решение. Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам треугольника, то есть в отношении 8: 12 = 2: 3. Разделим сторону 10 в отношении 2: 3.
1) 10: (2 + 3) * 2 = 4 — длина меньшей части,
2) 10 — 4 = 6 — длина большей части.
На ЕГЭ базового уровня в 2018 году была такая задача.
Задача 6. Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
Решение. Так как варенья они съели поровну, а Медведь ест варенье в 3 раза быстрее Маши, то на варенье Медведь потратил времени в 3 раза меньше, чем Маша. Печенье Медведь ел в 3 раза больше времени, чем Маша, которая в это время ела варенье. Так как скорость поедания печенья у Медведя в 3 раза больше, чем у Маши, то Медведь съел печенья в 3*3 = 9 раз больше, чем Маша. Делим 110 печений в отношении 9: 1.Медведь съел 110: (9 + 1)*9 = 99 (печений).
Авторы комментариев ФИПИ к результатам ЕГЭ отметили, что в группе хорошо подготовленных к сдаче экзамена на базовом уровне решили эту задачу менее половины выпускников, включенных в эту группу. При этом предполагалось, что задачу будут решать составлением уравнения. Как показано выше, задачу можно решить и арифметически.
Конспект урока по математике на тему » Деление числа в данном отношении. Основные понятия»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема урока: Деление числа в данном отношении. Основные понятия
Цель урока: Проверить знания учащихся по теме «Масштаб». Научится делить число в данном отношении; формирование навыков решения задач по теме.
Планируемые результаты: Предметные
Знать: правило деления числа в данном отношении. Уметь: применять правило при решении заданий.
Регулятивные: принимать учебную задачу; планировать (в сотрудничестве с учителем и одноклассниками или самостоятельно) необходимые действия, операции, действовать по плану; осуществлять самоконтроль и самооценку; осознание качества и уровня усвоения.
Познавательные: самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель; умения работать с имеющейся информацией в новой ситуации ; осуществлять для решения учебных задач операции анализа, синтеза, сравнения; устанавливать причинно-следственные связи, делать выводы.
Коммуникативные: вступать в учебный диалог с учителем, одноклассниками, участвовать в общей беседе, соблюдая правила речевого поведения; формулировать собственное мнение;
задавать вопросы, слушать и отвечать на вопросы других, строить небольшие монологические высказывания ;
Личностные: р азвитие навыка самостоятельности в работе, трудолюбия, аккуратности, развитие навыков самоанализа и самоконтроля при оценке результата и процесса своей деятельности.
Оборудование: учебник «Математика, 6 класс» Никольский С.М., Шевкин А.В., оценочный лист, тетрадь, карточки – задания, презентация к уроку.
Тип урока: урок изучения нового материала
Приветствует учащихся, организует рабочее место.
Проверка учителем готовности класса к уроку; организация внимания; инструктаж по работе с листом самооценки.
Добрый день, добрый час!
Как я рада видеть вас.
Друг на друга посмотрели
И тихонько дружно сели.
Девизом нашего урока будут слова канадского математика Айвена Нивена: «Математику нельзя изучать, наблюдая как это делает сосед»
— Как вы понимаете эти слова?
Предлагает ответить на поставленные вопросы:
— Что ж, ребята выполним устный счет и повторим табличное умножение и деление.
— А теперь, ребята давайте с вами повторим понятие, с которым знакомились на предыдущих трех уроках. А это было понятие?
Верно, масштаб. А что называют масштабом?
( Масштаб – это отношение длины отрезка на плане к его настоящей длине.)
Самостоятельная работа по теме «Масштаб».
Теперь нам с вами необходимо проверить знания по теме «Масштаб»
Раздает карточки с заданиями в 2-х вариантах
Организует выполнение комплекса упражнений
Мы работали отлично,
Отдохнуть не прочь сейчас,
И зарядка к нам привычно
На урок приходит в класс.
Раз – подняться, потянуться
Два – нагнуться, разогнуться
Три – в ладоши, три хлопка
На четыре – руки шире
Пять – руками помахать
Шесть – на место тихо сесть
Целепологание и мотивация
Подготовить учащихся к изучению новой темы.
— Чтобы обозначить тему нашего урока посмотрите на это сочетание букв. Прочитайте его но без букв У и К:
какие цели поставим на этот урок?
Я согласна с вами. Цель урока: Познакомиться с правилом деления числа в данном отношении и научиться применять при решении заданий.
— Но нам необходимо сначала вспомнить, что же такое отношение? ( Частное двух не равных нулю чисел a и b называют отношением чисел a и b .)
Изучение нового материала
-Ребята, для того, чтобы познакомиться с новым правилом, решим вот такую задачу.
Пусть требуется разделить между двумя друзьями 60 конфет в отношении 2 : 3.
1 друг – ? конфет
— Умеем ли мы с вами решать такие задачи?
— А другим способом мы можем решить эту же задачу?
— Да ребята, мы с вами пока можем решать только одним способом, а теперь рассмотрим еще один.
1) 2 + 3 = 5 (частей) – составляют все конфеты;
2) 60 : 5 = 12 (конфет) – приходится на 1 часть;
3) 2 × 12 = 24 (конфеты) – приходится на 2 части, это для 1 друга;
4) 3 × 12 = 36 (конфет) – приходится на 3 части, это для 2 друга.
1) 
(конфеты) – приходится на 2 части, это для 1 друга;
2) 
(конфет) – приходится на 3 части, это для 2 друга.
Ответ : 24 конфеты, 36 конфет.
Выведем правило деление числа в данном отношении.
Таким образом, чтобы разделить число 60 в отношении 2 : 3, можно разделить число 60 на сумму членов отношения 2 + 3 и результат умножить на каждый член отношения.
Запишем определение в общие тетради.
1 число: 
;
2 число: 
.
Первичное закрепление во внешней речи
-Предлагает прочитать в учебнике определения.
— Рассмотрим еще одну задачу и ее решение оформим в тетрадях:
Задача 1. Два брата сложили свои деньги для покупки акций. Старший внес 500 р., а младший – 300 р. Через некоторое время они продали акции за 1000 р. Как они должны разделить эти деньги между собой?
Естественно разделить 100 р. в том отношении в котором они вложили деньги, т.е. в отношении 500 : 300 = 5 : 3.
1) старшему брату 
;
2) младшему брату 
.
Решим устно. После сбора урожая яблок одна их часть была высушена, а другая использована для приготовления сока. Сколько яблок пошло на сушку, а сколько на сок?