Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.

В этой статье мы разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении. Сначала мы получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого приведем подробные решения нескольких характерных примеров.

Навигация по странице.

Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

В силу операции сложения векторов можно записать равенства и . Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то , откуда . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что , поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство . Подставив в него , имеем . Тогда равенство можно переписать как , откуда в силу свойств операций над векторами получаем .

Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами и в координатах. Так как и , то , следовательно, .

Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве.

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения.

Пришло время применить полученные формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.

.

В данном примере . Так как точка С делит отрезок АВ в данном отношении, то справедливы формулы и , из которых получаем и соответственно. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А :

.

Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.

Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:

.

Источник

Как осуществить деление отрезка?

Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости.

Деление отрезка в заданном соотношении: координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, a-b точка

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости

Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С, делящая отрезок АВ в отношении λ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С лежит на отрезке АВ (т.е. между точками А и В). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков АС и СВ равно λ. Т.е. верно равенство:

Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1, то точка С является серединой отрезка АВ.

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, в пространстве

Точка С делит отрезок АВ в отношении λ. Необходимо определить координаты точки С.

Известно, что центром тяжести любого треугольника является точка пересечения его медиан (пусть это будет точка М). Каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины. Исходя из этого, найдем ответ на поставленный вопрос.

Найдем координаты точки D. Так как AD – медиана, то точка D – середина отрезка ВС. Тогда, используя формулу нахождения координат середины отрезка, получим:

Теорема Фалеса и деление отрезка в заданном отношении

Давно о геометрии не говорили, а о теореме ФАлеса (или ФалЕса?) вообще мало говорят. Хотя она весьма полезна. Начнем с формулировки, которая весьма не вразумительна, чем и объясняется не популярность данной теоремы.

Мутно, долго, не понятно. Мне больше нравится другая формулировка. Тоже не понятно, но элегантно и коротко. Задачи, которые решаются с помощью данной теоремы, довольно специфичны. Но есть одна задача на построение, которую можно встретить в реальной жизни. Это задача о делении отрезка в заданном отношении.

Суть вопроса: Дан отрезок. Его нужно поделить на два куска, чтобы их длины относились, как 2 : 5. Кусков может быть сколько угодно и отношение, может быть каким угодно. Алгебраически задача решается крайне легко: находим общее количество частей (2 + 5 = 7), делим длину отрезка на общее количество частей, находим длину каждого куска.

Но алгебраическое решение не всегда прокатывает. Например, мы не можем найти длину отрезка, или при делении получаются не целые числа. Тогда можно воспользоваться геометрическим способом. Во-первых, проводим луч из конца отрезка. Любой, в любую сторону.

Дальше, на этом луче от точки А откладываем 7 (общее количество частей) равных отрезков. Последнюю получившуюся точку — J соединяем с точкой В, а затем через каждую точку луча проводим прямую параллельную JB.

Таким образом, мы разделили отрезок АВ на 7 равных частей (по теореме Фалеса). Отсчитываем две части и ставим точку. Получаем: AK : KB = 2 : 5.

Вот таким простым образом, вы можете поделить свою комнату с соседом в любом отношении. Если вам кажется, что построение такого количества параллельных прямых дело сложное, то подумайте о перпендикулярах.

Источник

Урок 3

расстояние между двумя точками.

деление отрезка в данном отношении.

Расстояние между двумя точками.

так как Полученный треугольник Прямоугольный, то По теореме Пифагора

Пример 1. найти расстояние между точками а(-2;3) и в(5;4).

решение. исПользуя данную формулу, Получим:&amP;NbSP;

уПражнение. даны точки а(0;0), в(3;-4), с(-3;4). найдите расстояние между точками: а) аи в; б) в и с; в) а и с. (ответ: а) 5, б) 10, в) 5)

доказательство. Площадь треугольника авс, изображенного на рисунке, можно найти так:

выражая Площадь каждой траПеции через координаты точек а, в и с, находим:

S adec =1/2 (ad+ce)*de = 1/2( x 3 – x 1 )( y 3 + y 1 )

S bceF =1/2 (ec+bF)*eF = 1/2 ( x 2 – x 3 )( y 2 + y 3 )

S abFd =1/2 (ad+bF)*dF = 1/2 ( x 2 – x 1 )( y 2 + y 1 )

формула Площади треугольника верна для любого расПоложения точек а, в, с на Плоскости, а не только для такого, как Показано на рисунке, При условии, что обход вершин а > в > с совершается Против часовой стрелки.

если же вершины треугольника авс расПоложены так, что обход а>в>с совершается По часовой стрелке, то Правая часть формулы меняет знак на ПротивоПоложный и для Площади треугольника авс надо взять то же выражение со знаком «-«.

Пример 2. даны точки а(1;1), в(6;4), с(8;2). найти Площадь треугольника авс.

решение. Подставляя координаты точек в формулу для Площади треугольника, Получим:

S abc =1/2 |(6 – 1)(2 –1) – (8 – 1)(4 – 1)| = 1/2 l-16l =8

уПражнение. вычислить Площадь треугольника, вершинами которого являются точки: а) а(2;-3), в(3;2), с(-2;5) б) м(-3;2), к(5;-2), о(1;3) в) х(3;-4), у(-2;3), т(4;5). (ответ: а) 14, б) 12, в) 25).

Деление отрезка в данном отношении.

задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы По данному отношению Л и данным координатам точек м 1, м 2 найти координаты точки м.

эту задачу Позволяет решить следующая теорема.

Пример 3. даны точки а(-2;3) и в(4;6). отрезок, ограниченный этими точками, разделен в отношении Л =2. найдите координаты точки м(х;у).

решение. Подставим координаты точек и Л =2 в формулы, Получим: х= (-2+2*4) / (1+2)=2; у= (3+2*6) / (1+2)=5. следовательно, координаты точки деления м(2;5).

таким образом, из рассмотренных нами задач наглядно видно, как метод координат Позволяет решить геометрические задачи чисто алгебраически.

на оси ох найдите точку, расстояние которой от точки а(3;4) равно 5. (ответ: (6;0) и (0;0))

точка м является серединой отрезка оа, соединяющего начало координат о с точкой а(-5;2). найдите координаты точки м. (ответ: (-2,5;1))

точка м(2;3) делит отрезок ав в отношении 1:2. найдите координаты точки в, если известно, что точка а имеет координаты (1;2). (ответ: в(4;5))

найдите координаты центра тяжести однородной Пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами а(-2;1), в(2;-1), с(4;3).(ответ: х=4 / 3, у=1, указание: центр тяжести треугольника находится в точке Пересечения его медиан, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины)

три вершины Параллелограмма- точки а(3;7), в(2;-3) и с(-1;4). найдите длину высоты, оПущенной из вершины в на сторону ас. (ответ: 7 или 4)

отрезок, ограниченный точками а(1;-3) и в(4;3), разделен на три равные части. оПределите координаты точек деления. (ответ: (2;-1) и (3;1))

оПределите координаты концов отрезка а и в, который точками к(2;2) и м(1;5) разделен на три равные части. (ответ: а(3;-1) и в(0;8))

найдите Площадь Пятиугольника с вершинами о(0;0), а(3;-2), в(5;-1), с(8;4) и е(4;5). (ответ: 29,5)

Источник

Способы деления отрезка в заданном отношении

Деление отрезка прямой в заданном отношении по средствам построения. Геометрическое определение «золотого сечения». Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении. Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Московской области

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский государственный областной университет (МГОУ)

Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики

по курсу «Элементарная математика»

Задача о деление отрезков в заданном отношении и порождаемые ею теории

Выполнила: Колесник Анна

Студентка 21 группы 2 курса

Ст. преп. Высоцкая П.А.

1.1 Задачи на построение

1.2 Геометрическое определение «золотого сечения»

1.3 Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости

1.4 Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве

1.5 Теории порождаемые задачей о делении отрезка в данном отношении (Теорема Чевы, Теорема Менелая)

2. Нахождение координат точки

2.1 Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении

2.2 Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач

Список используемых ресурсов

Данная работа посвящена задаче о делении отрезка в заданном отношении и порождаемым ею теориям.

Задача о делении отрезка сыграла важную роль в становлении геометрии, на ее основе было создано множество теорий. Многие ученые (от древнего мира до наших дней) рассматривали данную задачу и использовали ее в своих трудах, и в моей работе будут рассмотрены данные теории, таких великих умов как Джованни Чева, Менелая Александрийского и Евклида.

А так же рассмотрим решение задачи о делении отрезка в заданном отношении способом построения, и разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении, получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого рассмотрим решения нескольких характерных задач.

Цель данной работы, рассмотреть различные способы деления отрезка в заданном отношении.

Задачи данной работы:

· изучить вопрос о том, как разделить отрезок прямой в заданном отношении по средствам построения;

· изучить вопросы о том найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости и в пространстве;

· изучить теории порождённые задачей о делении отрезка в заданном отношении и рассмотреть их практическое применение.

Деление отрезка пополам выполняется следующим образом. На отрезке AB необходимо, из точки А, отложить дугу большую половине этого отрезка. Далее, не меняя значения циркуля, из точки В построим засечки, пересекающие нашу дугу. Пересечение дуги и засечек образуют точки E и D, затем проводим прямую через эти точки, которая и поделит наш отрезок АВ ровно на две части. Если продолжить деление полученных частей пополам можно таким же способом разделить отрезок на 4, 8, 16 и т.д., т.е. на число кратное 2.

Деление отрезка прямой на пропорциональные части

Существует теорема Фалеса, которая звучит следующим образом: «если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки». Используя данную теорему мы можем произвести деление отрезка прямой на пропорциональные части. Разберем как выполняется данное деление.

Для того чтобы разделить отрезок АВ в соотношении например 3:2 (отсчитывая от точки А), необходимо под произвольным углом из точки А провести вспомогательную прямую. Затем на этой прямой отложить 5 произвольных, но равных между собой отрезков. Далее соединить прямой точки В и 5 и из точки 3 параллельно прямой В5 провести прямую до пересечения ее с отрезком АВ, полученная точка пересечения D разделит отрезок АВ в соотношении 3:2. Мы получим отношение AD:DB = 3:2

На рисунке отрезок АО разделен так, что отношение отрезка АО к отрезку АК равно отношению отрезка АК к отрезку КО (АО : АК=АК : КО). Такое деление известно под названием золотое сечение или золотое отношение. Правило золотого сечения получило популярность благодаря своим применениям в живописи и, особенно, в архитектуре, а также обнаружению этой пропорции (и тесно связанных с ней чисел Фибоначчи) в живой природе.

Графическое построение золотого сечения выполняется следующим образом: отрезок АО делим на две равные части (точка С); в точке О строим перпендикуляр к отрезку АО, на перпендикуляре откладываем отрезок ОМ который равен отрезку ОС; точки А и М соединяют прямой. Далее на этой прямой от точки М откладывают отрезок MN = ОМ и на отрезке АО от точки А откладывают отрезок АК из точки N. Точка К и будет являться результирующей точкой которая делит отрезок АО в крайнем и среднем отношении.

1.2 Геометрическое определение «золотого сечения»

Самым известным математическим сочинением античной науки являются «Начала Евклида». Это научное произведение написано Евклидом в 3 веке до новой эры и содержит основы античной математики: элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов и др. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики.

Именно из «Начал Евклида» к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Суть задачи состоит в следующем. Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ (Рис. 1), то есть:

Рисунок 1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении («золотое сечение»)

Обозначим отношение (1) через x. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, отношение (1) можно записать в следующем виде:

откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомого отношения x:

Из «физического смысла» отношения (1) вытекает, что искомое решение уравнения (2) должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения (2), который мы обозначим через t, то есть

Леонардо да Винчи назвал это число «золотым сечением» или «золотой пропорцией». Существует мнение, что Леонардо да Винчи не был первым, кто использовал такое название. Считается, что этот термин идет от Клавдия Птоломея, который дал ему такое название, убедившись, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же этот термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал.

Уравнение (2) часто называют «уравнением золотой пропорции».

Заметим, что на отрезке АВ существует еще одна точка D (Рис.1), которая делит его «золотым сечением», так как

Золотое сечение широко встречается в геометрии. Из «Начал Евклида» известен следующий способ геометрического построения «золотого сечения» с использованием линейки и циркуля (Рис. 2). Построим прямоугольный треугольник ABC со сторонами AB = 1 и AC = Ѕ. Тогда в соответствии с «Теоремой Пифагора» cторона

Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок

Рисунок 2. Геометрическое построение золотого сечения.

Проведя дугу DB с центром в точке B до ее пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деление отрезка AB в точке E «золотым сечением», поскольку

Многие математические закономерности, как говорится «лежали на поверхности», их нужно было только увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически, чем и отличались античные философы и математики. Не исключено, что древние математики могли прийти к «золотому сечению», исследуя так называемый простейший прямоугольник с отношением сторон 2:1, называемый также «двухсмежным квадратом», так как он состоит из двух квадратов (Рис. 3).

Рисунок 3. Прямоугольник с отношением сторон 2:1 («двухсмежный квадрат»)

Если вычислить диагональ DB «двухсмежного квадрата», то в соответствии с теоремой Пифагора она равна

Если теперь взять отношение суммы отрезков AD + DB к большей стороне АВ «двухсмежного квадрата», то мы придем к «золотой пропорции», так как

Свое восхищение «золотым сечением» знаменитый астроном Иоганн Кеплер выразил в следующих словах:

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому,

В силу операции сложения векторов можно записать равенства

Их мы используем в следующем абзаце.

Осталось вычислить координаты вектора

выполнив необходимые и в координатах. Так как

1.4 Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Если провести рассуждения, аналогичные случаю на плоскости, то также придем к равенству

Векторы и являются радиус-векторами точек А и В, поэтому,

Теорема (теорема Чевы). Пусть точки A₁,B₁,C₁ лежат на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC соответственно.

Пусть отрезки AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Тогда

(обходим треугольник по часовой стрелке)

Поскольку треугольники AOB и BOC имеют общую сторону OB, то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL и CK:

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники AB₁L и CB₁K подобны по острому углу. Аналогично получаем

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы). Пусть точки A₁, B₁, C₁ лежат на сторонах BC, AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение

Тогда отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

По теореме Чевы для точек A₁,B₁ и C₂ имеем

Значит, точки C1 и C2 делят отрезок AB в одном и том же отношении. Пусть AC₁ = x, AC₂ = y, AB = c. Тогда

то есть точки и совпадают.

Из каждого равенства выразим :

что и требовалось доказать.

Тогда точки и лежат на одной прямой.

Отсюда следует, что

Доказательство этой теоремы, точно такое же, как и доказательство, приведенное выше.

2. Нахождение координат точки

Применим полученные в теоретической части, в пунктах 1.3, 1.4, формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.

Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении пять к трем, если A(11,1,0), B(-9,2,-4).

геометрический отрезок менелай чева

Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.

Известно, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан (обозначим ее как М), а каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника. Поэтому, если нам известны координаты точек, которые являются концами медианы, то мы можем найти координаты точки, делящей медиану в отношении два к одному.

Найдите координаты центра тяжести треугольника АВС, если известны координаты его вершин A(2,3,1), B(4,1,-2), C(-5,-4,8).

Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:

В пункте 1.5 данной курсовой работы мы рассмотрели теоремы Чевы и Менелая, теперь рассмотри практическое использование данных теорем на примерах.

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найти отношение Решение:

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM₁, BM₂ и СM₃ пересекаются в одной точке.

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

По условию NQ = LR, Пусть NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL₁, BL₂, CL₃ пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника

Перемножая почленно полученные равенства, получаем

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C₁B = BA₁ = x, AC₁ = CB₁ = y, BA₁ = AC₁ = z.

Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим два способа решения одной задачи. Первый способ довольно длинный, но данный прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков. Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая.

Итак задача: На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

Вот наш треугольник:

Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:

Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.

Пусть AC = x, BK = 2x.

Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.

Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC = x, то LB = 1,5x.

Пусть LM = 3n, MC = 2n. Тогда LC = 5n.

Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.

Отсюда MO = MC-CO = z-z = z

Отсюда CO:OM = z:z = 5:4 = 1,25.

Теперь используем при решении данной задачи теорему Минелая. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN:

Запишем теорему Менелая для этого треугольника:

Рассмотрев применение теорем Чевы и Менелая при решении задач можно сделать следующий вывод: знание данных теорем весьма упрощает решение задачи, однако зачастую задачу все таки можно решить и не применяя данных теорем, но, как правило, решение будет весьма объёмным.

В данной курсовой работе были рассмотрены теоретические и практические аспекты задачи о деление отрезка в заданном отношении.

Если говорить о значении данной задачи, то можно с уверенностью сказать что ее значимость в геометрии весьма велика. Задача о делении отрезка в заданном отношении нашла свое применение в теории геометрии, послужила основой для создания многих других теорем, а так же применяется при решении различных задач, в том числе и в задачах на построение.

В данной работе рассмотрены не только способы деления отрезок прямой в заданном отношении по средствам построения, а так же изучены вопросы о том найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости и в пространстве. А так же рассмотрены задачи, в которых применяются теоретические знания, полученные в ходе изучения задачи о делении отрезка в заданном отношении и порождённых ей теорий.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РЕСУРСОВ:

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

2. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 к л.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.— М.: Просвещение, 1996.—205 е.: ил.

3. Деление отрезка в данном отношении; Популярные лекции по математике; Н.М. Бескин; издат. «Наука», главная редакуия физико-математической литературы, Москва

4. В.В. Ткачук, “Математика абитуриенту”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004

5. Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

6. Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

7. Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.

8. Деление отрезка прямой

9. Аналитическая геометрия на плоскости; §6 Деление отрезка в данном отношении.

11. Теорема Менелая

12. ЕГЭ, задачи из С части.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.

презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014

Рациональность решения задач с помощью теорем Чевы и Менелая, чем их решение другими способами, например векторным. Доказательство теорем, дополнительное построение. Трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданные применением при решении задач.

контрольная работа [388,3 K], добавлен 05.05.2019

Линейная алгебра. Комплексные числа. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Сферические и цилиндрические поверхности. Замечательные и вычислительные пределы. Производства и дифференциал. Построение графика функций.

методичка [2,4 M], добавлен 19.06.2015

Изучение принципа золотого сечения – высшего проявления структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Золотое сечение – гармоническая пропорция. Деление отрезка прямой. Динамические прямоугольники.

презентация [1,5 M], добавлен 14.12.2011

Методы последовательного поиска: деление отрезка пополам, золотого сечения, Фибоначчи. Механизмы аппроксимации, условия и особенности их применения. Методы с использованием информации о производной функции: средней точки, Ньютона, секущих, кубической.

курсовая работа [361,5 K], добавлен 10.06.2014

Источник