дифференциальное уравнение в неявной форме

Неявные методы решения дифференциальных уравнений

1. Неявные методы

Методы численного решения ОДУ, с которыми мы познакомились в первом разделе этого курса (метод Эйлера, метод средней точки и т. п.), называются «явными» методами. Однако иногда система ОДУ может стать «жесткой», а решать такие системы явными методами неудобно. В этом случае желательно изменить формулировку задачи так, что не пришлось иметь дело с жесткой системой. Но это не всегда возможно, поэтому вы должны уметь решать жесткие ОДУ. Для этого, как правило, используют методы решения, которые называются «неявными».

2. Пример жесткого ОДУ

Теперь, как мы уже говорили выше, нужно попытаться переформулировать свою задачу так, чтобы избежать появления жесткого ОДУ. Если же это не получится, то нужно использовать неявный метод решения ОДУ. Метод, который мы покажем ниже, является самым простым из неявных методов. Он основан на том, что шаг обычного метода Эйлера выполняется «наоборот».

3. Решение жесткого ОДУ

Пусть дано дифференциальное уравнение

Формула явного метода Эйлера

продвигает систему вперед на шаг \(h\) во времени. Для жестких систем, однако, удобнее заменить эту формулу на следующую

Теперь заменим \(f(\textbf_0 + \Delta\textbf)\) следующим приближением

(Заметим, что поскольку \(f(\textbf_0)\) является вектором, то производная \(f^\prime(\textbf_0)\) является матрицей.) Используя это приближение, мы можем записать \(\Delta\textbf\) как

Разделим обе части последнего соотношения на \(h\) и перепишем результат в виде

где \(I\) — единичная матрица.

Вычисление \(\textbf_=\textbf_0+\Delta\textbf\) для неявного метода очевидно требует больших вычислительных затрат, чем при использовании явного метода, так как мы должны решать систему линейных уравнений на каждом шаге. Хотя это может показаться серьезным недостатком (в вычислительном плане), не отчаивайтесь (пока). Для многих классов задач, матрица \(f^\prime\) будет разреженной — например, для «решетки» частиц, соединенных пружинами, \(f^\prime\) будет иметь структуру, которая соответствует связям между частицами. (Обсуждение разреженности и методов решений, применимых в этом случае, см. Baraff и Witkin [1]. Основной материал в Press et al. [2] также будет полезен.) В результате, как правило, можно решить уравнение \eqref в линейном времени (т. е. за время, пропорциональное размерности \(\textbf\) ). Выигрыш в таких случаях будет весьма существенным: мы, как правило, можем делать большие шаги по времени без потери устойчивости (т. е. без расхождения, как это происходит для явного метода, если длина шага слишком велика). Время, необходимое для решения каждой линейной системы, таким образом, более чем компенсируется тем, шагов можно зачастую сделать на порядки больше, чем при использовании явных методов. (Конечно, код, необходимый для реализации всего этого, гораздо сложнее, чем в явном случае; как мы уже говорили: переделывайте свои задачи в нежесткие, а если не получается, то платите положенную цену.)

Применим теперь неявный метод для решения уравнения \eqref. В нашем случае \(f(\textbf(t))\) равно

Дифференцирование по \(\textbf\) дает

Тогда матрица \((1/h)\textbf — f^<\prime>(\textbf_0)\) будет равна

Какова же предельная длина шага в этом случае? Ответ: нет предела! Если позволить \(h\) расти до бесконечности, мы получаем следующее

Это означает, что мы достигнем \(\textbf_=\textbf_0 + (-\textbf_0)=0\) за один шаг! В общем случае для жесткого ОДУ мы не сможем сделать шаг произвольного размера, но мы сможем сделать его гораздо большим, чем если бы использовали явный метод. Дополнительные расходы на решение системы линейных уравнений компенсируются экономией, возникающий благодаря возможности сделать меньше шагов.

4. Решение уравнений второго порядка

Большинство задач динамики записывается в виде ДУ 2-го порядка

Подставив во вторую строку последнего равенства соотношение \(\Delta\textbf = h(\textbf_0 + \Delta\textbf)\) (т. е. первую строку того же равенства), придем к

Вводя единичную матрицу \(I\) и перегруппировав члены, получим соотношение

Выше, мы предполагали, что функция \(f\) не зависит явно от времени. Если же \(f\) зависит от времени явно (например, если \(f\) описывает изменяющиеся во времени внешние силы), то в уравнение \eqref добавляется член, позволяющий учесть эту зависимость

Ссылки

Читайте также

Комментарии

Дмитрий Храмов
Компьютерное моделирование и все, что с ним связано: сбор данных, их анализ, разработка математических моделей, софт для моделирования, визуализации и оформления публикаций. Ну и за жизнь немного.

Источник

а для неявного метода решается уравнение

Поскольку неявный метод не может быть применен для каждого типа дифференциального оператора, иногда рекомендуется использовать так называемый метод разделения операторов, что означает, что дифференциальный оператор переписывается как сумма двух дополнительных операторов

Иллюстрация с использованием прямого и обратного методов Эйлера

Прямой метод Эйлера

Обратный метод Эйлера

можно найти неявное уравнение

для (сравните это с формулой (3), где было дано явно, а не как неизвестное в уравнении). у k + 1 <\ displaystyle y_ > у k + 1 <\ displaystyle y_ >

Кривошипный метод Николсона

можно найти неявное уравнение

Crank Nicolson можно рассматривать как форму более общих схем IMEX ( Im plicit- Ex plicit ).

Вперед-назад метод Эйлера

Чтобы применить IMEX-схему, рассмотрим несколько иное дифференциальное уравнение:

Это следует из того

Источник

Дифференциальное уравнение в неявной форме

Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.

В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).

Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

С другой стороны, по условию задачи имеем

Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) tg α = y ‘ и (1.2) tg α = 2x получим

Решением дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x даются формулой

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M₀ (x₀, y₀), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) y = x 2 + С координаты x и y координатами точки M₀

С = y₀ – , y = x 2 – + y₀.

Таким образом, искомой кривой будет парабола

y = x 2 – + y₀.

Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t₀ точка занимает положение x₀, так что x(t₀) = x₀.

Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому

= f (t). (1.7)

Интегрирование уравнения (1.7) = f (t) состоит в нахождении всех первообразных для функции f (t), которые, как известно из интегрального исчисления, могут быть записаны в виде

x = f (t) dt + C. (1.8)

Выделим решение (движение), в котором

Для этого положим в формуле (1.8) x = f (t) dt + C t = t₀, x = x₀. Получим

x₀ = f (t) dt + C,

откуда C = x₀; следовательно, искомым решением (движением) будет

x = f (t) dt + x₀. (1.10)

Условие (1.9) x = x₀ при t = t₀ называется начальным условием, а числа t₀ и x₀ — начальными данными решения (движения).

3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

x — = 0, z = z (x, y),

то оно называется уравнением с частными производными.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Не всегда удается получать решения в явном виде, например

Аналогично определяются общий интеграл и частный интеграл дифференциального уравнения.

Например, все решения уравнения

y’ =

y = dx + C.

3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.

Если его возможно разрешить относительно производной y ‘, то оно приводится к виду y ‘ = f (x, y). (3.1)

Такая форма дифференциального уравнения первого порядка называется нормальной, а уравнение является разрешимым относительно производной от искомой функции.

Общее решение геометрически задает однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Решение y = y (x) уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) представляет собой на плоскости XOY кривую, а y ‘ — угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x, y). Уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) дает, таким образом, соотношение между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

Задание уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) означает, что в каждой точке M (x, y) области, где определена функция f (x, y), задано направление касательной к интегральной кривой в точке M (x, y). Значит, имея уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) мы получаем поле направлений. Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M (x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен f (x, y).

Задача интегрирования уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) заключается в том, чтобы найти семейство кривых, у которых касательная к каждой точке совпадает с направлением поля в этих точках. Такое истолкование уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) дает графический способ построения его решения.

y ‘ = = p. (3.2)

Это значит, что интегральные кривые пересекают эту линию под одним и тем же углом

= tg α = p,

т.е. все черточки параллельны для всех точек изоклины.

Давая p различные значения, получим ряд изоклин или линий постоянного наклона касательных. Чтобы получить, приближенный график решения, проходящий через данную точку M₀ (x₀, y₀), проводим кривую так, чтобы она пересекала изоклину под углами, указанными черточками и проходила через точку M₀ (x₀, y₀).

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M (x, y). Проведем касательную к интегральной кривой (3.3) y = y (x) в точке M и обозначим через α угол, образованный касательной MT с положительным направлением оси x.

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Чтобы ответить на вопрос, под каким углом интегральные кривые могут пересекать ось x, достаточно подставить в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = = p y = 0, и получим тангенс угла α:

Например, интегральные кривые уравнения

Например, для интегральных кривых уравнения

= y – x

в точках их пересечения с прямой y = y имеем tg α = 0, так что касательные к этим интегральным кривым параллельны оси x.

Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3.2) y ‘ = = p имеют вид

где k = tg α = const. Например, для уравнения (3.5) = x 2 + y 2 изоклинами будут окружности

вырождающиеся в точку (0,0) при k = 0. При k = 1 получаем изоклину

Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси x под углом α. С увеличением k наклон интегральных кривых возрастает, и интегральные кривые имеют вид, указанный схематически на рисунке. Построив достаточно «густое» семейство изоклин (в нашем случае — окружностей); можно получить методом изоклин сколь угодно точное представление об интегральных кривых.

Если в точке M(x, y) правая часть уравнения (3.2) y ‘ = = p обращается в бесконечность, то естественно считать, что направление ноля в такой точке параллельно оси y. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

= . (3.6)

3.4. Задача Коши.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y₀ искомой функции при некотором значении x₀ независимого переменного — это значит задать начальное условие

= y₀.

С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M₀ (x₀, y₀) на плоскости XOY.

Естественно возникает вопрос: всегда ли существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, и, если существует, то будет ли оно единственным?

Ответ на поставленные вопросы дает теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Обозначим через h меньшее из двух чисел a, .

При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x₀ – h ≤ x ≤ x₀ + h, удовлетворяющее начальному условию = y₀.

3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка

которое обычно является особым и представляет наибольший (если не исключительный) интерес для приложений. Геометрически это решение чаще всего является огибающей семейства (6.9) y = xC + ψ(C) и в этом случае представляет собой заведомо особое решение.

где второе уравнение получено из первого, дифференцированием по C. Из этой системы находим

Но эти уравнения отличаются от (6.10) только обозначением параметра.

В случае уравнения Клеро наибольший интерес представляет не общее, а особое решение.

3.7. Уравнение Бернулли.

Рассмотрим одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:

Это уравнение можно переписать в виде

( y 1 – m ) ‘ + p(x)y 1 – m = q(x).

Введя новую неизвестную функцию z:

придем к уравнению

z’ + p(x)z = q(x),

Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле

y = .

Заметим, что если m > 0, то уравнение Бернулли имеет решение y ≡ 0. Это решение будет особым, если 0 (8.2) = 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x, ), зависящей от времени t, положения x и скорости в момент времени t. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

m = F (t, x, ), (8.3)

где есть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3) m = F (t, x, ) в виде

= f (t, x, ), (8.4)

где f = .

Для уравнения n-го порядка

(n > 1) задача Коши ставится так: найти решение

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀, (8.8)

В частности, для уравнения второго порядка (8.1) F (x, y, y ‘, y ») = 0 начальные условия (8.8) y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀ принимают вид

y = y₀, y ‘ = при x = x₀.

Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой y = y(x), проходящей через заданную точку M₀ (x₀, y₀) и имеющей в этой точке касательную M₀T, которая образует с положительным направлением оси x заданный угол α₀:

tg α₀ = .

Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не к одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия — краевыми условиями.

Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Интервал существования решения

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

Предположим, что все коэффициенты p₁, …, p_n и правая часть f (x) заданы и непрерывны в интервале (a, b). Тогда условия сформулированной выше теоремы Пикара заведомо выполняются в окрестности начальной точки (x₀, y₀, , …, ), где x₀ ∈ (a, b), а y₀, , …, — любые заданные числа. Поэтому для линейного уравнения (8.10) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Можно доказать, что решение (8.7) y = y(x) определено во всем интервале (а,b).

В частности, если функции p₁, …, p_n и f (x) — полиномы (или другие функции, непрерывные при всех x), то все начальные данные y₀, , …, можно задавать произвольно. Решение существует, единственно и определено при всех x.

Если функции p₁, …, p_n, f (x) суть рациональные функции, т. е. являются отношениями полиномов

(8.11)

то при постановке задачи Коши начальные значения y₀, , …, можно задавать любыми, а можно брать любым, кроме действительных нулей знаменателей Q₁, …, Q_n, Q_{n + 1}. Решение с такими начальными данными будет заведомо определено в окрестности точки x₀, не содержащей нулей знаменателей Q₁, …, Q_n, Q_{n + 1}.

3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.

Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка

Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения.

Будем предполагать, что функции p₁, …, p_n, f (x) непрерывны в интервале (a, b). Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми y₀, , …, при любом x ∈ (a, b). В частности, единственным решением однородного уравнения (10.2) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = 0 с нулевыми начальными условиями y₀ (x₀) = 0, (x₀) = 0, …, (x₀) = 0 — будет только очевидное нулевое решение y = 0.

Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

L ≡ + p₁ (x) + p_{n – 1} (x) + p_n (x)

и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

L ≡ + p₁ (x) + p₂ (x).

Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

Из этих основных свойств оператора L следует, что

L C_k y_k = C_k L(y_k).

т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) L(y) = f (x) или (10.5) L(y) = 0 в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b):

Здесь действительная и мнимая части e ax cos bx, ie ax sin bx, а вместе с ними и функция e αx определены при всех значениях x.

Введем понятие о производной комплексной функции действительной переменной. Предположим, что действительная и мнимая части комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) имеют производную k-го порядка. Тогда производная k-го порядка этой функции определяется так:

Дадим теперь понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения L(y) = 0. Функция (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) называется комплексным решением уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), если она обращает это уравнение в тождество

откуда вытекает, что

≠ const (a (11.2) y₁, y₂, …, y_m (a линейно зависимы в интервале (a, b), то одна из них является линейной комбинацией остальных.

α₁, α₂, …, α_n (a (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a однородного линейного уравнения n-го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

W(x) =

Этот определитель называется определителем Вронского решений y₁, y₂, …, y_n.

Теорема. Для того чтобы решения (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a были линейно независимы в (a, b), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L(y) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W(x) не обращался в нуль ни в одной точке из (a, b).

Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L(y) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского—Лиувилля:

W(x) = W(x₀) . (11.4)

Таким образом, для того, чтобы n решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a составляли фундаментальную систему решений уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x₀ ∈ (a, b).

Построение общего решения однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений

Знание фундаментальной системы решений уравнения L(y) = 0 дает возможность построить общее решение этого уравнения.

a (n – 1) | (11.5) a (n – 1) | имеет место существование и единственность решения задачи Коши. Покажем, что функция (11.1) C_ky_k удовлетворяет обоим условиям, указанным в определении общего решения уравнения n-го порядка.

1. Система уравнений

(11.6)

2. Функция (11.1) C_ky_k по третьему свойству решений однородного линейного уравнения является решением уравнения L(y) = 0 при всех значениях произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n.

Формула (11.1) C_ky_k содержит в себе все решения уравнения L(y) = 0, ибо она дает возможность найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀ (11.7)

где y₀, , …, можно задавать произвольно, а x₀ брать любым из интервала (a, b). Для этого достаточно подставить в систему (11.6) вместо x, y, y ‘, …, y (n – 1) начальные данные x₀, y₀, , …, и разрешить полученную систему

(11.8)

относительно произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n. Так как определитель системы (11.8) есть W(x₀) и он отличен от нуля вследствие того, что система решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a фундаментальная, то эта система имеет единственное решение

C₁ = , C₂ = , …, C_n =

y = y_k.

Таким образом, фундаментальная система решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a является базисом n–мерного линейного пространства решений уравнения L(y) = 0.

3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

где коэффициенты a₁, a₂, …, a_n суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ≥ – ∞, b ≤ + ∞).

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2) L(y) ≡ y (n) + a₁ y (n – 1) + … + a_{n – 1} y ‘ + a_n y = 0 определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка

где p и q — действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в виде

Из формулы (12.7) L(e λx ) = (λ 2 + pλ + q)e λx следует, что интересующее нас тождество (12.5) L(e λx ) ≡ 0 будет выполняться тогда и только тогда, когда P(λ) = 0, т. е. когда λ является корнем уравнения

Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения

Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и действительные. Обозначим их через λ₁ и λ₂. Тогда, подставляя в формулу (12.4) y = e λx вместо λ числа λ₁ и λ₂, получим два частных решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0

y₁ = , y₁ = . (12.9)

Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

=

не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (12.9) y₁ = , y₁ = можно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

W(x) = = (λ₂ – λ₁) ≠ 0.

Следовательно, частные решения y₁ = , y₁ = образуют фундаментальную систему решений. Тогда общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

y = C₁ + C₂ .

Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения действительные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

поэтому решение (12.10) y = e (a + bi)x можно записать так:

Отделяя в комплексном решении (12.11) y = e ax cos ax + i e ax sin bx действительную и мнимую части, получим два действительных частных решения

Эти решения, очевидно, независимы, так как

≠ const.

Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню λ₂ = a – bi соответствуют действительные частные решения

Если корни λ₁ и λ₂ чисто мнимые, т. е. λ₁ = ib и λ₂ = – ib, то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

есть общее решение этого уравнения.

Случай кратных корней характеристического уравнения

Предположим теперь, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 имеет равные корни λ₁ = λ₂ = – . Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

y₁ = (12.15)

y₁ = . (12.15, а)

Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в том, что

y₂ = x (12.16)

= – x,

= – p + x. (12.17)

L(x) = – px + x + px – x + qx = – + q x ≡ 0 (12.18)

так как – q = 0.

Общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

y = (C₁ + C₂x).

3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.

Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

z = C_k z_k (13.5)

y = y₁ + C_k z_k (13.6)

Общее решение (13.6) y = y₁ + C_k z_k дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными x₀, y₀, , …, из области (11.5) a (n – 1) | за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных.

Задача нахождения частного решения неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) во многих случаях облегчается, если воспользоваться замечательным свойством частных решений, выражаемым следующей теоремой.

и известно, что y₁ есть частное решение уравнения

а y₂ — частное решение уравнения

3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

где a₁, …, a_n — действительные числа, α — действительное число, P_m (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

где α и b — действительные числа, P₁ и P₂ — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

3.15. Метод вариации произвольных постоянных.

Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

где коэффициенты p(x), q(x) и правая часть f (x) есть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

Рассмотрим наряду с уравнением (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) соответствующее ему однородное уравнение

W(x) = ≠ 0 (15.4)

Тогда, как известно, общее решение уравнения (15.3) L(z₁) ≡ 0, L(z₂) ≡ 0 имеет вид

Оно содержит производные второго порядка от искомых функций C₁(x) и C₂(x), так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями — C₁(x) и C₂(x). Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (15.6) L(C₁(x)z₁ + C₂(x)z₂) = f (x) не войдут производные второго порядка от этих функций.

Чтобы при вычислении y» не появились производные второго порядка от C₁(x) и C₂(x), положим

(x)z₁ + (x)z₂ = 0.

Это и есть то дополнительное условие на искомые функции C₁(x) и C₂(x), о котором говорилось выше. При этом условии выражение для y’ примет вид

y’ = C₁(x) + C₂(x). (15.7)

Вычисляя теперь y», получим

y» = C₁(x) + C₂(x) + (x) + (x). (15.8)

C₁(x)L(z₁) + C₁(x)L(z₂) + (x) + (x) = f (x).

Здесь в силу (15.3) L(z₁) ≡ 0, L(z₂) ≡ 0 первые два слагаемых равны нулю, поэтому

(x) + (x) = f (x).

Таким образом мы получили систему дифференциальных уравнений

Эта система в силу (15.4) W(x) = ≠ 0 однозначно разрешима относительно (x) и (x). Решая ее, получим

(x) = φ₁(x) и (x) = φ₂(x),

где φ₁(x) и φ₂(x) суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как z₁, z₂, и непрерывны в интервале (a, b), то в силу (15.4) W(x) = ≠ 0 функции φ₁(x) и φ₂(x) будут непрерывны в интервале (a, b). Поэтому

C₁(x) = φ₁(x)dx + C₁, C₂(x) = φ₂(x)dx + C₂,

y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂. (15.9)

Полагая здесь C₁ = C₂ = 0, получим частное решение

y₁ = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx

так что формулу (15.9) y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂ можно записать в виде

Изложенный метод вариации произвольных постоянных легко распространяется на уравнение n-го порядка. Пусть дано неоднородное линейное уравнение n-го порядка

где коэффициенты p₁ (x), …, p_n (x) и правая часть f (x) суть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

Пусть z₁, z₂, …, z_n — фундаментальная система решений этого уравнения. Тогда

z = C_kz_k

Решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

y = C_k(x)z_k, (15.11)

где функции C_k(x) определяются из системы уравнений

Решая эту систему относительно (k = 1, 2, …, n), находим

= φ_k(x) (k = 1, 2, …, n),

C_k(x) = φ_k(x)dx + C_k (k = 1, 2, …, n).

y = z_kφ_k(x)dx + C_kz_k. (15.12)

Источник