движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной называется

Теоретическая механика

19. Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютное движение точки.

Относительное, переносное и абсолютное движение точки

Выберем две системы отсчета – неподвижную и подвижную системы отсчета. Например, баржа, движущаяся относительно неподвижного берега (неподвижная система координат, связанная с неподвижным берегом) и человек идущий по движущейся барже (подвижная система координат, связанная с движущейся баржей).

Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным движением точки.

Движение точки вместе с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы отсчета называется переносным движением точки.

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным или сложным движением точки.

Очевидно, что скорость и ускорение движущейся точки связаны с выбором системы отсчета, относительно которой исследуется движение. Поэтому логично предположить, что производная по времени от радиус-вектора движущейся точки также будет связана с выбором системы отсчета. Для количественного отражения этой связи необходимо определить производную по времени в различных системах отсчета.

Абсолютная и относительная производные от вектора

Пусть наблюдатель связан с подвижной системой координат (рис.К.16).

Тогда радиус-вектор движущейся точки в подвижной системе координат может быть представлен в виде

Для наблюдателя, связанного с подвижной системой координат, орты не меняют свое направление, поэтому можно записать

Таким образом, можно записать, что

Выражение (К.15) является записью абсолютной производной вектора по времени равной сумме относительной производной и векторного произведения

Источник

Техническая механика

Сложное движение точки

Что такое сложное движение точки?

В предыдущей статье рассматривалось движение точки относительно одной системы координат, которую считали неподвижной. В реальном мире все находится в непрерывном движении, и неподвижная система координат в действительности не существует.
Поэтому нередко возникает необходимость рассматривать движение точек одновременно по отношению к двум системам отсчета, одна из которых условно считается неподвижной, а вторая определенным образом движется по отношению к первой.
Движение точки в этом случае называется сложным.

Скорость точки в абсолютном движении называется абсолютной скоростью, а скорость точки в относительном движении называется относительной скоростью. Скорость точки, мысленно закрепленной в данный момент времени на подвижной системе координат, называется переносной скоростью.
Связь между этими скоростями устанавливает теорема о сложении скоростей.

Теорема о сложении скоростей

Пример решения задачи на сложение скоростей

Найти абсолютную скорость ползуна в момент времени t = 1 сек.

Решение.
Выберем неподвижную систему координат xOy ; подвижной системой будет считать стержень. В этом случае относительным движением является движение ползуна М по стержню. Следовательно, относительная скорость направлена вдоль стержня и равна

В момент времени t = 1 сек относительная скорость по модулю будет равна v_r1 = 4 м/с.

Переносным движением является вращательное движение стержня ОА с мысленно закрепленным на нем в данный момент времени ползуном, поэтому переносная скорость v_e ползуна направлена перпендикулярно стержню, причем ее значение определяется по формуле

Полагая t = 1 сек, получим v_e1 = 8 м/с.

Подставив в это уравнение значение скоростей при t = 1 сек, получим:

v = √(v_e 2 + v_r 2 ) = √(42 + 82) = 8,94 м/с.

Источник

Сложное движение точки. Теорема Кориолиса

Здесь мы покажем, что при сложном движении, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где – кориолисово ускорение.

Пример применения изложенной ниже теории приводится на странице “Сложное движение точки. Пример решения задачи”.

Сложное (составное) движение точки

Часто встречаются случаи, когда точка совершает известное движение относительно некоторого твердого тела. А это тело, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат. Причем движение точки относительно тела и закон движения тела относительно неподвижной системы координат известны или заданы. Требуется найти кинематические величины (скорость и ускорение) точки относительно неподвижной системы координат.

Такое движение точки называется сложным или составным.

Сложное или составное движение точки – это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Далее, для ясности изложения, будем считать, что подвижная система координат жестко связана с некоторым твердым телом. Мы будем рассматривать движение точки относительно тела (относительное движение) и движение тела относительно неподвижной системы координат (переносное движение).

Относительное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно тела (подвижной системы координат) считая, что тело покоится.

Переносное движение точки при сложном движении – это движение точки, жестко связанной телом, вызванное движением тела.

Абсолютное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно неподвижной системы координат, вызванное движением тела и движением точки относительно тела.

Относительная скорость и ускорение

Относительная скорость точки при сложном движении – это скорость точки при неподвижном положении тела (подвижной системы координат), вызванная движением точки относительно тела.

Относительное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки при неподвижном положении тела, вызванное движением точки относительно тела.

Переносная скорость и ускорение

Переносная скорость точки при сложном движении – это скорость точки, жестко связанной с телом, вызванная движением тела.

Переносное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки, жестко связанной с телом, вызванное движением тела.

Подставляем в (4):

.
Таким образом, выражение (4) приводит к формуле для скорости точек твердого тела.

Выполняя подобные преобразования над формулой (5), получим формулу для ускорения точек твердого тела:
,
где – угловое ускорение тела.

Абсолютная скорость и ускорение

Абсолютная скорость точки при сложном движении – это скорость точки в неподвижной системе координат.

Абсолютное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки в неподвижной системе координат.

Теорема о сложении скоростей

При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Доказательство

Дифференцируем (1) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (2) и (4).
(1) ;
(7)
.

Теорема Кориолиса о сложении ускорений

При составном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где
– кориолисово ускорение.

Доказательство

В последнем члене применим (6) и (2).

.
Тогда
.

Источник

Сложное движение точки

Рассмотрим движущееся тело А (рис. 2.36) и точку М, не принадлежащую этому телу, а совершающую по отношению к нему некоторое движение. Тело перемещается относительно неподвижной системы координат O₁х₁y₁z₁. С телом неизменно связана система координат Oxyz, которая перемещается вместе с телом, поэтому в дальнейшем будем называть ее подвижной системой координат. Движение точки можно рассматривать одновременно как по отношению к подвижной, так и по отношению к неподвижной системам координат. Движение, совершаемое при этом точкой, называют сложным. Например, сложное движение совершает лодка, переплывающая реку, пассажир, перемещающийся в вагоне движущегося поезда.

Движение точки относительно неподвижной системы координат O₁х₁y₁z₁ называется абсолютным или сложным. Скорость и ускорение точки относительно неподвижной системы координат соответственно будем называть абсолютными и к символу скорости и ускорения добавлять индекс по названию точки. Например, для точки М – _{M, M}. Иногда, если исследуется движение одной точки, индекс опускается и пишется просто , .

Движение подвижной системы координат Oxyz относительно неподвижной O₁х₁y₁z₁ называется переносным. Переносными скоростью и

Связь между абсолютной, относительной и переносной скоростями точки показана в теореме о сложении скоростей точки при сложном движении, согласно которой абсолютная скорость точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

= _{r+ e}. (2.57)

Для определения абсолютной величины одного из членов, входящих в уравнение (2.57), можно использовать какой-либо известный метод сложения векторов, например, метод треугольника или проекций.

Согласно теореме о сложении ускорений при сложном движении материальной точки (теорема Кориолиса) абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса:

= _r+ _e + _k. (2.58)

Ускорение Кориолиса определяется векторным произведением:

(2.59)

где _e – вектор переносной угловой скорости (угловая скорость подвижной системы координат).

Модуль ускорения Кориолиса будет равен

(2.60)

где sin( _e, _r) – синус угла между векторами _e, _r.

Из выражения (2.60) следует, что ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях:

а) ω_e = 0, то есть при поступательном перемещении подвижной
системы координат;

б) _e || _r, то есть когда вектор угловой скорости подвижной системы координат параллелен вектору относительной скорости;

в) V_r =0, то есть в момент времени, в который относительная
скорость точки равна нулю.

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определять по правилу направления вектора, получаемого в результате векторного произведения двух векторов, но удобнее воспользоваться правилом Н.Е. Жуковского, согласно которому для определения направления вектора ускорения Кориолиса необходимо вектор относительной скорости спроецировать на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости (оси переносного вращения), а затем повернуть на угол 90 градусов в направлении переносного вращения (рис. 2.37).

Так как правая часть векторного уравнения (2.58) содержит, как правило, больше двух векторов, выполнение операций суммирования при решении этого уравнения удобно выполнять методом проекций. Заметим, что если переносное движение не прямолинейное поступательное, а относительное движение точки происходит по криволинейной траектории, ускорения _e, _r будут содержать несколько составляющих. В таких случаях вид уравнения (2.58) существенно осложняется. Так, например, если переносное движение вращательное, а относительное происходит по криволинейной траектории, уравнение (2.58) приобретает вид

= _e n + _e τ + _r n + _r τ + _k, (2.61)

При решении задач на сложное движение материальной точки важно правильно указать направление векторов, входящих в уравнения (2.57), (2.58). Обычно определение направления нормальных составляющих векторов не вызывает трудностей. Для правильного определения направлений векторов скоростей и касательных составляющих ускорения обязательно предварительно определить их алгебраические величины и, соответственно, используя теорию поступательного или вращательного движения тела, выбрать направления этих векторов.

Существует большое количество задач механики, которые можно успешно решать, используя теорию сложного движения материальной точки. Несмотря на значительные различия в их условиях, решение можно производить в следующей последовательности:

а) выделить тело, движение которого является для изучаемой точки
переносным;

б) определить положение точки на теле, если оно не задано;

в) задать подвижную и неподвижную системы координат;

г) классифицировать вид переносного движения и траекторию относительного;

д) записать уравнения теорем о сложении скоростей и сложении
ускорений для исследуемой материальной точки;

е) подсчитать алгебраические величины и модули векторов, входящих в уравнения теорем о сложении скоростей и ускорений, для которых это возможно (кроме ускорения Кориолиса);

ж) указать на чертеже направление векторов, входящих в уравнения теорем о сложении скоростей и сложении ускорений, для которых это
возможно сделать (кроме направления ускорения Кориолиса);

з) подсчитать модуль и указать на чертеже направление ускорения
Кориолиса;

и) решая уравнение теоремы о сложении скоростей, найти неизвестные величины, входящие в него; решение уравнения возможно как с использованием правила треугольника, так и метода проекций;

к) проецируя уравнения теоремы о сложении ускорений на оси декартовой системы координат, найти неизвестные величины, входящие в него.

Пример 2.8. Тележка перемещается по прямолинейным направляющим по закону L = t 3 + 4t см. В корпусе тележки имеется канал в форме дуги окружности радиусом R=48 см с центром в точке В. По каналу перемещается материальная точка М по закону AM = 4π· t 2 см. В момент времени t₁ =2 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М (рис. 2.38).

В этой задаче движение корпуса тележки будет переносным, движение точки относительно корпуса – относительным. Положение точки на корпусе тележки определим углом (рис. 2.39):

рад

Введем неподвижную систему координат O₁х₁y₁. Ось O₁х₁ направим по направляющей, по которой перемещается тележка. Ось O₁y₁ вверх, перпендикулярно оси O₁х₁. Начало координат расположим в точке направляющей, относительно которой отсчитывается перемещение тележки. Тогда

Подвижную систему координат Оху свяжем с корпусом тележки
(рис. 2.39).

Запишем уравнение теоремы о сложении скоростей для точки М:

= _e+ _r. (2.62)

= _e+ _r n + τ _r. (2.63)

Определим алгебраические величины и модули векторов, входящих в правые части уравнений (2.62), (2.63):

см/с; см/с;

см/с 2 ; см/с 2 ;

см/с 2

Нанесем на чертеж (рис. 2.39) все векторы, входящие в правые части уравнений (2.62), (2.63), учитывая знаки их алгебраических величин. Так как переносное движение прямолинейное поступательное, векторы _e, _e направим параллельно оси O₁х₁. Векторы _r, τ _r направим перпендикулярно отрезку ВМ в сторону увеличения дуги AM. Вектор n _r направим по отрезку ВМ от точки М к точке В – центру дуги окружности.

Из чертежа видно, что угол между векторами _e и _r равен 120°, поэтому для вычисления модуля абсолютной скорости используем формулу, вытекающую из теоремы косинусов, получим

см/с.

Спроецировав векторное уравнение (2.63) на оси системы координат O₁х₁y₁ определим проекции вектора абсолютного ускорения точки М:

Пример 2.9. Полое кольцо радиусом R=0,3 м, укрепленное на стержне ОК длиной 1=0,3 м, вращается вокруг точки О по закону
φ = 5t-4t 2 рад. По каналу внутри кольца перемещается шарик М, причем длина дуги AM изменяется по закону s = AM = 0,15π· t 3 /8 м. В момент времени t₁ =2c определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение шарика (рис. 2.40).

В данной задаче движение кольца будет переносным и вращательным относительно точки О. Движение шарика относительно кольца будет относительным. Положение шарика относительно кольца определим углом а (рис. 2.41):

рад

Введем в рассмотрение неподвижную декартову систему координат O₁х₁y₁, расположенную в плоскости вращения кольца, начало которой поместим в точке О, оси координат направим произвольно. Подвижную декартову систему координат Оху свяжем с вращающимся кольцом; ее начало также расположим в точке О, ось Ох направим по стержню ОК, ось Ох перпендикулярно оси Оу (рис. 2.41).

Запишем уравнение теоремы о сложении скоростей для точки М:

= _e+ _r. (2.64)

Так как переносное движение вращательное, а относительное совершается по криволинейной траектории, уравнение теоремы о сложении ускорений для точки М примет вид:

= _e n + _e τ + _r n + _r τ + _k. (2.65)

Определим алгебраические величины и модули векторов, входящих в правые части уравнений (2.64), (2.65)

1/c; 1/c 2

_e = OM· _e= OM· (5 – 8t) м/с; _r = ds/dt = 0,056π · t 2 м/с;

W_r n = V_r 2 /R = 0,0031π 2 t 4 м/с 2 ; _r τ = = 0,113π · t м/с 2

Учитывая, что ОМ = R√5 = 0,67 м, при t₁ = 2с получим:

_e =-11 1/с, _e =-8 1/с 2 ; _e =-7,37 м/с; _r =0,71 м/с;

Учитывая знаки алгебраических величин векторов, входящих в правые части уравнений (2.64), (2.65), нанесем направления этих векторов на чертеж (рис. 2.41), на котором также изогнутой стрелкой укажем направление вращения кольца.

Модуль ускорения Кориолиса будет равен

Угол между векторами _r и _e в данном случае будет равен 90°, так как вектор _r лежит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, а вектор _e направлен по этой оси.

Для определения направления ускорения Кориолиса воспользуемся правилом Жуковского. Так как вектор _r уже лежит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, для определения

направления ускорения Кориолиса достаточно повернуть его на угол 90° в направлении переносного вращения (в данном случае по направлению вращения часовой стрелки). Нанесем направление вектора ускорения Кориолиса на чертеж (рис. 2.41).

Для проецирования векторов, входящих в правые части уравнений (2.64), (2.65) на оси системы координат Оху, определим косинус и синус угла b – угла между положительным направлением оси Ох и отрезком ОМ, получим

Проецируя уравнение (2.64) на оси системы координат Оху, найдем проекции вектора абсолютной скорости точки М на ее оси:

по которым определим модуль абсолютной скорости:

м/с.

Проецируя уравнение (2.65) на оси подвижной системы координат Оху, найдем проекции вектора абсолютного ускорения точки М на ее оси:

по которым затем определим модуль абсолютного ускорения

Пример 2.10.Кулисный механизм состоит из шатунов ОВ, О₁А и ползуна (рис 2.42). Ползун шарнирно прикреплен к кривошипу ОВ и скользит по кривошипу О₁А. Кривошип ОВ вращается с угловой скоростью ω_O = 5 1/с и угловым ускорением ε_O = 10 1/с 2 в направлении, указанном на рис. 2.42. Рассматривая ползун как материальную точку, совпадающую с шарниром В, определить угловую скорость и угловое ускорение кривошипа О₁А и относительную скорость и относительное ускорение перемещения ползуна по кривошипу О₁А, если О₁В = ОВ = О₁О = 1 м.

В данной задаче вращательное движение кривошипа О₁А для ползуна будет переносным, поступательное перемещение ползуна по кривошипу О₁А будет относительным, а движение ползуна вместе с кривошипом ОВ относительно точки О будет абсолютным.

Так как точка В крепления ползуна и кривошипа ОВ является для них общей, а кривошип ОВ совершает вращательное движение относительно неподвижной точки О, абсолютные скорость и ускорение точки В ползуна можно определить как ускорение точки В кривошипа ОВ во вращательном движении относительно точки О.

Запишем для точки В теорему о сложении скоростей при сложном движении:

= _{e+ r}, (2.66)

и теорему о сложении ускорений при сложном движении. С учетом того, что абсолютное движение точки В ползуна происходит по известной нам криволинейной траектории, переносное движение вращательное, а относительное движение поступательное, уравнение теоремы о сложении ускорений для точки В примет вид:

n + τ = _e n + _e τ + _r+ _k. (2.67)

Определим модули векторов, которые мы можем определить на данном этапе решения задачи:

Используя правило Жуковского, определим направление ускорения Кориолиса. Для этого, учитывая, что вектор _r уже расположен в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, повернем его на

угол 90° в направлении переносного вращения.

Проецируя уравнение (2.66) на оси подвижной системы координат Вху, определим модули векторов переносной и относительной скоростей _e и _r:

Найдем модуль угловой скорости переносного движения (кривошипа О₁А):

После этого можем определить модуль нормальной составляющей переносного ускорения и модуль ускорения Кориолиса:

Угол между векторами _r и _е равен 90°, так как вектор _r лежит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, по которой направлен вектор _е.

Спроецировав векторное уравнение (2.67) на оси подвижной системы координат Вху, получим два скалярных уравнения:

из которых определим модуль относительного ускорения ползуна и касательной составляющей ускорения точки В в переносном движении:

Модульуглового ускорения кривошипа О₁А будет равен

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: учебник для вузов. М.: Наука, 1979. Т. 1.

2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики: учебник для университетов. М.: Наука, 1965. Т. 1.

3. Никитин М. М. Курс теоретической механики: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1990 и предыдущие издания.

4. Тарг СМ. Краткий курс теоретической механики: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1998 и предыдущие издания.

5. Яблонский А.А. Курс теоретической механики: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1984 и предыдущие издания. Т. 1.

6. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1990 и предыдущие издания.

7. Теоретическая механика: методические указания и контрольные задания / под ред. С.М. Тарга. М.: Высшая школа, 1989.

8. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / под ред. А.А. Яблонского. М.: Высшая школа, 1985.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.1. Основные понятия и определения. 5

1.2. Аксиомы статики. 8

1.3. Момент силы относительно точки и оси. 10

1.5. Связи, реакции связей. 14

1.6. Система сходящихся сил. 18

1.7. Пространственная и плоская системы сил. 26

1.8. Центр тяжести тела. 45

1.9. Равновесие тел при наличии трения. 51

2.1. Кинематика точки. 59

2.2. Поступательное движение твердого тела. 72

2.3. Вращательное движение твердого тела. 72

2.4. Плоскопараллельное движение твердого тела. 81

2.5. Сложное движение точки. 96

Список литературы. 107

ЛИСИЦКИЙ Леонтий Анатольевич

ПАВЛОВ Дмитрий Геннадиевич

ЦВЕТКОВА Ольга Алексеевна

ЧЕБОТАРЕВСКИЙ Юрий Викторович

ЯГУБОВА Ольга Алексеевна

Статика и кинематика

3-е издание, переработанное и дополненное

Редактор Л.А. Скворцова

Компьютерная верстка К.В. Балашова

Подписано в печать 15.07.11 Формат 60×84 1/16

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Источник