геометрические и механические приложения определенного интеграла

Определенный интеграл и его приложения

Актуальность применения определенного интеграла и его приложений, использование в математике, физике, механике. Решение дифференциальных уравнений практического содержания. Статический момент и координаты центра тяжести плоской кривой, плоской фигуры.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определенный интеграл и его приложения

1. Понятие определенного интеграла

1.1 Введение понятия определенного интеграла

1.2 Условия существования определенного интеграла

1.3 Основные свойства определенного интеграла

2. Геометрические приложения определенного интеграла

2.1 Вычисление площади плоской фигуры

2.2 Вычисление площади криволинейного сектора

2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой

2.4 Вычисление объемов

2.5 Вычисление площади поверхности вращения

3. Физические приложения определенного интеграла

3.1 Работа переменной силы

3.2 Давление жидкости на вертикальную пластинку

3.3 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Список использованных источников

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике. Поэтому тема «Определенный интеграл и его приложения» вводится ещё в школьном курсе математики.

Все выше сказанное подчеркивает актуальность выбранной мною темы курсовой работы.

Цель исследования состоит в изучении актуальности применения определенного интеграла и его приложений, а также широты его использования не только в математике, но и других науках, оценить ее практическую и теоретическую значимость.

Объектом исследования являются определенный интеграл и его приложения. дифференциальный уравнение интеграл кривая

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

— изучить литературу по заданной теме;

— собрать теоретический и практический материал по теме;

— подвергнуть материал обобщению и систематизации.

Раскрытие темы курсовой работы было проведено по следующему плану: определение определенного интеграла и его свойства, геометрические приложения, физические приложения.

1. Понятие определенного интеграла

1.1 Введение понятия определенного интеграла

которая называется интегральной суммой функции на отрезке .

С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рисунок 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ; найдем предел интегральной суммы, когда .

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Геометрический смысл определенного интеграла

1.2 Условия существования определенного интеграла

Теорема 2. Если функция, ограничена на и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

1.3 Основные свойства определенного интеграла

По определению полагаем:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: вычисление теоретический практический

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

2. Геометрические приложения определенного интеграла

С помощью геометрических приложений вычисляются: площадь плоской фигуры, площадь криволинейного сектора, объем тела вращения, длина дуги кривой, площадь поверхности вращения.

2.1 Вычисление площади плоской фигуры

Пример 1: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и

Найдём пределы интегрирования.

4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями

Пример 2: Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

Решение. Искомая площадь

2.2 Вычисление площади криволинейного сектора

Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле:

Вычислим площадь одного лепестка по формуле:

2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

— дифференцируемые функции, то длина дуги:

Пример 4: Вычислить длины дуг плоских кривых:

2.4 Вычисление объемов

Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

2. Вычисление объема тела вращения:

2.5 Вычисление площади поверхности вращения

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

Пример 6. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности вокруг оси (рисунок 10).

Тогда по соответствующей формуле площадь шарового пояса:

3. Физические приложения определенного интеграла

С помощью физических приложений вычисляются: работа переменной силы, давление жидкости на вертикальную пластинку, статические моменты и координаты центра тяжести плоской кривой и плоской фигуры.

3.1 Работа переменной силы

2) Если сила переменная величина, то

3.2 Давление жидкости на вертикальную пластинку

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах. Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями и ; система координат выбрана так, как указано на рисунке 11. Для нахождения давления жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

3.3 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости задана система материальных точек соответственно с массами .

Статическим моментом системы материальных точек относительно оси называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т.е. на расстояния этих точек от оси ):

Аналогично определяется статический момент этой системы относительно оси :

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.

Отсюда следует, что статический момент кривой относительно оси равен:

Статические моменты и кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Пример 8. Найти центр тяжести однородной дуги окружности

, расположенной в первой координатной четверти (рисунок 13).

3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой и прямыми (рисунок 14).

Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Пример 9. Найдем координаты центра тяжести полукруга

Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси ), что Площадь полукруга равна . Находим :

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы мною были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.

Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.

Список использованных источников

4. Власов, В.Г. Конспект лекций по высшей математике / В.Г. Власов, Москва Айрис, 1997г.

5. Иванов, А.А. Курс лекций по математике / А.А. Иванов

7. Кальницкий, Л.А. Специальный курс высшей математики для вузов / Л.А. Кальницкий, Москва, 1976.

9. Кузнецов, Д.А. Сборник задач по высшей математике / Д.А. Кузнецов, Москва, 1983 г

Подобные документы

Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.

контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010

Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры. Первая и вторая теоремы Гульдина. Нахождение объема тела вращения плоской фигуры. Использование интеграла вместо обыкновенной суммы.

курсовая работа [275,3 K], добавлен 30.12.2011

Криволинейный интеграл первого рода. Двойной интеграл в декартовой и полярной системе координат. Интеграл по поверхности (первого рода). Приложение определенного интеграла в геометрии: площадь плоской фигуры и цилиндрической поверхности, объем тела.

методичка [517,1 K], добавлен 27.01.2012

Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности.

лекция [20,9 K], добавлен 04.09.2003

Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.

контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012

Источник

Геометрические и механические приложения определенного интеграла

1. С помощью точек разобьем отрезок [ a ; b ] оси 0 x на n частичных отрезков

2. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f ( c_i ).

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма (4.48) называется интегральной суммой для функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. Обо­значим через γ длину наибольшего частичного отрезка:

1. Найдем предел интегральной суммы (4.48) при n →∞ так, что γ→0. Если при этом указанный предел I существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a ; b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек c_i , то число I называется определенным интегралом функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] и обозначается

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f ( x ) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, отрезок [ a ; b ] – областью (отрезком) интегрирования.

Функция y = f ( x ), для которой на отрезке [ a ; b ] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке. Сформулируем теорему существования определенного интеграла.

Теорема 4.4 (Коши). Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то определенный интеграл существует

Примечание. Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности, для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва

Укажем некоторые основные свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл не зависит от того, по какой переменной он

вычисляется, то есть

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа c :

4. Если c – постоянное число и функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ], то

5. Если функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) интегрируемы на отрезке [ a ; b ], то их с умма также интегрируема на этом отрезке и имеет место равенство:

6. Если функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ] и то

(4.52)

Теорема 4.5 (Ньютона­–Лейбница). Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и F ( x ) – какая–либо ее первообразная на [ a ; b ], то имеет место формула

Пример 4.17. Вычислить определенный интеграл

Решение. Используя формулы (4.7) и (4.53), получим:

Пример 4.18. Вычислить определенный интеграл

Решение. Используя формулы (4.7), (4.36), (4.50) и (4.53), получим:

Примечание. Как видно из примера 4.18, при вычислении определенного интеграла методом подстановки, нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной (осуществлять обратную замену). Основываясь на первом свойстве определенного интеграла, его можно вычислить через введенную переменную. При этом находят пределы интегрирования для новой переменной, подставляя в формулу замены пределы интегрирования первоначальной переменной

Рассмотрим основные геометрические и физические приложения определенного интеграла.

1. Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольных координатах площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс ( f ( x )≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу (рис. 4.1):

Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси 0 x ( f ( x )

Пример 4.19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и (рис. 4.2).

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

Для вычисления искомой площади воспользуемся формулой (4.56), где f ₁ ( x ), f ₂ ( x ) – уравнения парабол, ограничивающих фигуру

Площадь S криволинейного сектора, то есть плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r (φ) и двумя лучами φ = α и φ = β (α r и φ – полярные координаты (рис. 4.3), равна:

Пример 4.20. Вычислить площадь фигуры, ограниченной «трёхлепестковой розой» (рис. 4.4).

Решение. Сначала по формуле (4.58) найдем всей площади искомой фигуры, представляющую собой площадь половины лепестка «розы»

2. Вычисление длины дуги плоской кривой

Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина ее наибольшего звена стремится к нулю. Если функция y = f ( x ) и ее производная непрерывны на отрезке [ a ; b ], то кривя AB имеет длину, равную

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r (φ), α ≤ φ ≤ β. Предположим, что непрерывны на отрезке [α;β]. Тогда длину AB можно вычислить по формуле:

Решение. Сначала найдемдлины дуги окружности от точки (0; R ) до точки ( R ;0). Так как

Таким образом, длина окружности равна 2π R (единиц длины). Заметим, что данная формула часто применялась в школьном курсе математики, но принималась без доказательства

3. Вычисление объёмов тел

которая называется формулой объёма тела по площадям параллельных сечений (рис. 4.5).

Искомый объём ищем по формуле

4. Вычисление площади поверхности вращения

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), t ₁ ≤ t ≤ t ₂, то формула для площади поверхности вращения принимает вид:

5. Вычисление несобственных интегралов

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке [ a ;+∞). Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом 1–го рода с бесконечным верхним пределом и обозначают

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке (–∞; b ]. Если существует конечный предел его также называют несобственным интегралом 1–го рода с бесконечным нижним пределом и обозначают
Таким образом, по определению

В этих случаях говорят, что несобственные интегралы 1–го рода сходятся. Если же указанные пределы (4.66) и (4.67) не существуют или они бесконечны, то говорят, что несобственные интегралы 1–го рода расходятся.

Несобственный интеграл 1–го рода с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой

где c – произвольное число. Интеграл левой части равенства (4.68) считается сходящимся лишь в том случае, когда сходятся оба интеграла правой части.

Пример 4.24. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их на сходимость:

следовательно, согласно (4.66) интеграл сходится.

2). По (4.67) имеем: интеграл расходится, так как последний предел не существует

Если функция f ( x ) ≥ 0 непрерывна на промежутке [ a ;+∞) и интеграл сходится, то он численно представляет собой площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис. 4.7).

Если интеграл правой части равенства (4.69) существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

(4.70)

Пример 4.25. Вычислить

Решение. При x =0 функция терпит бесконечный разрыв:
следовательно, по формуле (4.70) интеграл расходится

Если функция терпит разрыв во внутренней то чке с отрезка [ a ; b ], то несобственный интеграл 2–го рода от разрывной функции определяется формулой

Здесь интеграл левой части равенства (4.71) называется сходящимся, если оба несобственных интеграла правой части сходятся.

С помощью несобственных интегралов можно вычислять объёмы бесконечных тел вращения. Формулы в данном случае имеют вид, аналогичный (4.62) и (4.63).

6. Механические приложения определенного интеграла

Предположим, что материальная точка M перемещается вдоль оси 0 x под действием переменной силы, направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки M из положения x = a в положение x = b ( a b ), находится по формуле:

Пример 4.26. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,08 м, если сила 100 Н растягивает эту пружину на 0,01 м?

где g – ускорение свободного падения, γ – плотность жидкости.

Статическим моментом S_x системы материальных точек относительно оси 0х называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:

Аналогично определяется статический момент S_y этой системы относительно оси 0 y :

Аналогично определяется статический момент S_y этой кривой относительно оси 0 y :

Следовательно, Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то Итак, центр тяжести имеет координаты

Будем считать, что поверхностная плотность пластины постоянна (γ = const ). Тогда статические моменты плоской фигуры относительно осей координат соответственно равны:

Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Ox ), что y_c =0.

7. Экономическое приложение определенного интеграла

Рассмотрим одну из многочисленных задач экономики, решаемых с помощью определенного интегрирования.

Пример 4.30. Найти объём сливочного масла (кг), изготовленного молокоцехом за год (306 семичасовых рабочих дней), если ежедневная производительность этого цеха задана функцией где t – время в часах.

Решение. Учитывая (4.82), найдем сначала объём V сливочного масла, произведенного молокоцехом за один семичасовой рабочий день (0 ≤ t ≤ 7):

Так как количество рабочих дней в году равно 306, то объём масла, произведенного за год, составит (кг) или V = 44 тонны 114 кг

Источник