геометрические приложения неопределенного интеграла

Презентация по математике на тему «Геометрическое и физическое приложение неопределенного интеграла»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Геометрическое и физическое приложение неопределенного интеграла. Преподаватель ГАПОУ «ЛНТ» Шаммасова А.А.

Цель урока: Формирование представлений о геометрическом и физическом приложениях неопределенного интеграла. Формирование умений применять неопределенный интеграл при составлении уравнений кривых при известном угловом коэффициенте, при решении физических задач на определение уравнения движения тела.

1. Нахождение первообразной по начальным условиям. При интегрировании функции получается совокупность (множество) ее первообразных y=F(x)+C, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым C. С может принимать любые числовые значения, если на первообразную функцию не наложено никаких начальных условий. Чтобы из множества первообразных функций выделить одну определенную функцию, должны быть заданы начальные условия. Начальные условия – это задание частных значений x и y для первообразной функции y=F(x)+C, по которым находится определенное значение С, удовлетворяющее этим начальным условиям.

2. Найти функцию, производная которой: y′=2x – 3, если при x=2 эта функция принимает значение, равное 6. Решение.

3. Найти ∫(cos x – sin x)dx, если при x=π/2 значение первообразной функции равно 6. Решение.

2. Выделение из семейства кривых с одинаковым наклоном линии, проходящей через конкретную точку. Вспомним: Наклон k кривой y=(x) – угловой коэффициент касательной – это тангенс угла наклона касательной к этой кривой в данной точке. Он равен значению производной в этой точке: k=y′. Обратная задача: Зная наклон k кривой в любой ее точке как функцию абсциссы этой точки: k=f(x), найти уравнение кривой. Получили уравнение, содержащее произвольную постоянную С.

Этому уравнению на плоскости соответствует бесконечное множество кривых (семейство кривых), уравнения которых отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Графики функций, получающихся в результате интегрирования, называются интегральными кривыми. Каждый интеграл дает семейство интегральных кривых. Интегральные кривые одного семейства имеют одну и ту же форму и смещены друг относительно друга по вертикали. Сдвиг кривой зависит от постоянной С. Из семейства этих кривых, имеющих один и тот же наклон, нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.

Примеры. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке (x;y) равен 2x. Решение. k=2x Мы нашли семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной в любой точке равен 2x. Эти кривые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С. При С=0 получим параболу y=x² с вершиной в начале координат, при С=1 – параболу y=x²+1 с вершиной в точке (0;1), при С=-2 – параболу y=x²-2 с вершиной в точке (0;-2) и т.д.

2. Составить уравнение линии, если угловой коэффициент касательной в любой точке касания равен y/x. Решение. k=y/x Потенцируя, получим: y=Cx – уравнение семейств прямых, проходящих через начало координат.

3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;1), у которой касательная в любой точке кривой имеет угловой коэффициент, равный ординате точки касания. Решение.

3. Составление уравнения движения тела по заданному уравнению скорости или ускорения его движения. Вспомним (из дифференциального исчисления): V=S′(t) – скорость движущегося тела a(t)=V′(t)=S′′(t) – ускорение движущегося тела S(t) – путь Тогда закон движения тела S(t) по заданной скорости можно найти интегрированием, а по заданному ускорению – двукратным интегрированием.

2. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону V=3t² +4. Найти закон ее движения S, если за время t=2с точка прошла 20м. Решение.

3. Найти закон движения свободно падающего тела при постоянном ускорении g, если в начальный момент движения тело находилось в покое. Решение.

4. Точка движется прямолинейно с ускорением a=6t–12. В момент времени t=0 (начало отсчета) начальная скорость V0=9м/с; расстояние от начала отсчета S0=10м. Найти: 1) скорость и закон движения точки; 2) значения ускорения, скорости и пути в момент t=2с; 3) момент, когда скорость является наименьшей. Решение. 1)

2) При t=2 c: 3) Исследуем функцию, определяющую изменение скорости, на максимум и минимум: Следовательно, скорость является наименьшей при t=2 с.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-521901

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Вопрос о QR-кодах для сотрудников школ пока не обсуждается

Время чтения: 2 минуты

В 16 регионах ввели обязательную вакцинацию для студентов старше 18 лет

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

ЕСПЧ запретил учителям оскорблять учеников

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Занятие Интегральное исчисление Неопределенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства неопределенного интеграла

Главная > Документ

Занятие 2. Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства неопределенного интеграла.

Основные методы интегрирования неопределенного интеграла.

Определенный интеграл и его геометрический смысл.

Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла.

Зная производную или дифференциал функции, можно найти саму эту функцию (восстановить функцию). Такое действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием.

Первообразной функцией по отношению к данной функции называется такая функция , производная от которой равна данной функции, т.е.

Для данной функции первообразных функций бесчисленное множество, т.к. любая из функций , также является первообразной для .

Совокупность всех первообразных для данной функции называется ее неопределенным интегралом обозначается символом:

, где

называется подынтегральным выражением, функция — подынтегральной функцией.

Геометрический смысл неопределенного интеграла. Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, полученных путем параллельного переноса графика функции вдоль оси ординат (рис. 3).

Основные свойства неопределённого интеграла

Свойство 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Свойство 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Свойство 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс const:

Свойство 4. Линейность интеграла.

Таблица основных интегралов

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование – это метод, основанный на применении тождественных преобразований подынтегральной функции, а также основных свойств неопределенного интеграла и табличных интегралов. Наиболее часто используются следующие преобразования подынтегральной функции:

деление числителя на знаменатель почленно;

применение формул сокращенного умножения;

применение тригонометрических тождеств.

Замена переменной (метод подстановки) – это метод, заключающийся во введении новой переменной с целью преобразования данного интеграла в табличный. Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном выражении содержится сложная функция, тогда ее промежуточный аргумент и надо обозначить как новую переменную, например . Далее необходимо выполнить следующие действия:

найти дифференциал новой переменной ;

записать прежний интеграл, используя только переменную , если подстановка сделана правильно, то полученный интеграл должен быть табличным;

используя таблицу интегралов, записать решение для подынтегральной функции ;

осуществить обратную подстановку, заменив переменную .

Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся в использовании формулы:

.

Этот метод применяется в том случае, если интеграл является более простым для решения чем . Как правило, этим методом решаются интегралы вида , где — многочлен, а — одна из следующих функций: , , , , , , .

Рассмотрим некоторую функцию , определённую на промежутке , рис. 4. Выполним 5 операций.

1. Разобьём промежуток точками произвольным образом на частей. Обозначим , а наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через , будем называть рангом дробления.

2. На каждом частичном участке возьмём произвольную точку и вычислим в ней значение функции .

3. Составим произведение

4. Составим сумму . Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана.

5. Измельчая дробление (за счёт увеличения числа точек дробления ) и устремляя при этом ранг дробления к нулю () т.е. (увеличивая число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков ), будем находить предел последовательности интегральных сумм

Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек , то он называется определённым интегралом от функции по промежутку и обозначается так: .

,

причём, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n →+∞ и λ → 0 мы получим:

.

В этом и заключается геометрический смысл определённого интеграла.

Основные свойства определённого интеграла

Свойство 1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю.

Свойство 2. При перемене местами пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный.

Свойство 3. Линейность интеграла.

Свойство 4. Каковы бы ни были числа , если функция интегрируема на каждом из промежутков , , (рис. 5), то:

Теорема. Если функция непрерывна на промежутке , то определённый интеграл от этой функции по промежутку равен разности значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и на нижнем пределах интегрирования, т.е.

Эта формула сводит нахождение определенных интегралов к нахождению неопределенных интегралов. Разность называется приращением первообразной и обозначается .

Рассмотрим основные способы вычисления определённого интеграла: замену переменных (подстановку) и интегрирование по частям.

ввести новую переменную ;

найти дифференциал новой переменной ;

вычислить новые значения пределов интегрирования:

и ;

записать прежний интеграл, используя только переменную и новые пределы и ;

используя таблицу интегралов, записать решение для полученной подынтегральной функции;

применив формулу Ньютона-Лейбница, вычислить значение определенного интеграла.

Замечание. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу.

2. Интегрирование по частям в определённом интеграле сводится к применению формулы:

.

Примеры решения задач

Задание 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

1. . Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянный множитель. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:

.

Задание 2. Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной.

1. . Сделаем замену переменной , тогда . Исходный интеграл примет вид:

Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:

Задание 3. Найти неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям.

1. . Введем следующие обозначения:

Тогда дифференцируя первое выражение и интегрируя второе, получим:

Теперь подставив в формулу метода интегрирования по частям введенные нами обозначения и, получим:

Задание 4. Вычислить определенный интеграл.

. Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.

. Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.

. Решение. На основании свойств определенного интеграла и формулы Ньютона-Лейбница получаем:

Задания для самостоятельного решения

Решить неопределенные интегралы:

;

;

;

;

Источник