геометрические приложения двойных интегралов

Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло

Главная > Реферат >Математика

1.Геометрические приложения интегралов

1.1 Геометрические приложения двойных интегралов………….. 3

1.2 Геометрические приложения тройных интегралов………….. 5

1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов… 6

1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов….. 8

2. Физические приложения интегралов

2.1 Физические приложения двойных интегралов……………… 10

2.2 Физические приложения тройных интегралов……………… 12

2.3 Физические приложения криволинейных интегралов……. 14

2.4 Физические приложения поверхностных интегралов……… 18

1.Геометрические приложения интегралов

1.1 Геометрические приложения двойных интегралов

1)Площадь плоской фигуры

Площадь области типа I (элементарной относительно оси О y ) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси О x ) (рисунок 2) описывается формулой

3) Площадь поверхности

Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.

Следовательно, координаты точек пересечения равны

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:

1.2 Геометрические приложения тройных интегралов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен

В сферических координатах, соответственно, используется формула

Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем

1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов

Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox

1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом

Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора

то площадь поверхности будет равна

где D ( u,v ) − это область, в которой задана поверхность.

Если поверхность S задана в явном виде функцией z ( x,y ), то площадь поверхности выражается формулой

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью

Площади заданной поверхности равна

Переходя к полярным координатам, находим ответ:

Источник

Реферат: Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло

1.Геометрические приложения интегралов

1.1 Геометрические приложения двойных интегралов………….. 3

1.2 Геометрические приложения тройных интегралов………….. 5

1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов… 6

1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов….. 8

2. Физические приложения интегралов

2.1 Физические приложения двойных интегралов……………… 10

2.2 Физические приложения тройных интегралов……………… 12

2.3 Физические приложения криволинейных интегралов……. 14

2.4 Физические приложения поверхностных интегралов……… 18

1.Геометрические приложения интегралов

1.1 Геометрические приложения двойных интегралов

1)Площадь плоской фигуры

Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy ) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx ) (рисунок 2) описывается формулой

Рис.1	Рис.2

В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен

Для области R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен

Если в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z ₁ = f (x,y ) и z ₂ = g (x,y ) с основанием R равен

Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

Рис. 3

Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.

Следовательно, координаты точек пересечения равны

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:

1.2 Геометрические приложения тройных интегралов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен

В сферических координатах, соответственно, используется формула

Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем

1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов

Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

· Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;

· Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

где − производная, а − компоненты векторной функции .

Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением , и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.

Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде , то площадь соответствующей области равна

Рис.1	Рис.2

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox

1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом

Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора

то площадь поверхности будет равна

где D (u,v ) − это область, в которой задана поверхность.

Если поверхность S задана в явном виде функцией z (x,y ), то площадь поверхности выражается формулой

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью

Площади заданной поверхности равна

Переходя к полярным координатам, находим ответ:

2. Физические приложения интегралов

2.1Физические приложения двойных интегралов

Масса и статические моменты пластины

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой

Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :

Моменты инерции пластины

Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :

Полярный момент инерции пластины равен

Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

Среднее значение функции

Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми (рисунок 2) и имеющего плотность .

2.2 Физические приложения тройных интегралов

Масса и статические моменты тела

Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M (x,y,z ) задана функцией ρ (x,y,z ). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями

а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам

Как видно, справедливы соотношения

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл

Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:

Если тело вращается вокруг оси, не совпадаюшей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Гравитационный потенциал и сила тяготения

Ньютоновым потенциалом тела в точке P (x,y,z ) называется интеграл

где ρ (ξ,η,ζ ) − плотность тела, и .

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ (ξ,η,ζ ) по формуле

где G − гравитационная постоянная.

2.3 Физические приложения криволинейных интегралов

С помощью криволинейных интегралов вычисляются

2) Центр масс и моменты инерции кривой;

3) Работа при перемещении тела в силовом поле;

4) Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);

5) Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции , то ее масса описывается формулой

или в параметрической форме

Центр масс и моменты инерции кривой

Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода

где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение означает скалярное произведение векторов и .

Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поля задано в координатной форме в виде

то работа поля вычисляется по формуле

Где

Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

где − потенциал поля.

Рис.1	Рис.2

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой

Рис.3

Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A (1,1) до B (2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .

где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна

2.4 Физические приложения поверхностных интегралов

Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле

Центр масс и моменты инерции оболочки

Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности . Координаты центра масс оболочки определяются формулами

− так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x = 0, y = 0 и z = 0, соответственно.

Моменты инерции оболочки относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются, соответственно, формулами

Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz, xz определяются формулами

Сила притяжения поверхности

Рис.1	Рис.2

Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле

Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать

Поток жидкости и поток вещества

Аналогично, поток векторного поля , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением

Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.

Поток электрического смещения через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:

где , − напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды, − диэлектрическая проницаемость вакуума.
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.

Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .

Проекция D (x,y ) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать

Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем

Сделаем подстановку . Тогда . Здесь u = 1 при r = 0, и при r = 1. Следовательно, интеграл равен

Источник