геометрические приложения определенного интеграла площадь криволинейной трапеции

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры.

1. Рассмотрим на плоскости Oxy криволинейную трапецию, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [a, b] функцией y=f(x), снизу отрезком [a, b] и по бокам вертикальными прямыми x=a, x=b.

Величина площади криволинейной трапеции, равна определенному интегралу от функции y=f(x) на отрезке [a, b]:

(9)

2. Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(x) соответственно, непрерывными на отрезке [a, b], то площадь S, криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(x):

(10)

Объем тела вращения.

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [a, b] функцией y=f(x). Объем этого тела вращения определяется формулой:

(11)

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy, то, выражая x через y как обратную функцию, получаем аналогичным образом формулу для объема тела вращения:

(12)

Некоторые приложения определенного интеграла в экономике

Рассмотрим экономические задачи, в которых придется воспользоваться умением брать интегралы.

Найти дневную выработку P за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле

где t – время в часах, – размерность производительности (объем продукции в час), – размерность времени (ч). Эта формула вполне отражает реальный процесс работы: производительность сначала растет, достигая максимума в середине рабочего дня при t=4 ч, а затем падает.

Решение. Полагая, что производительность меняется в течение дня непрерывно, т. е. p является непрерывной функцией аргумента t на отрезке [0, 8], дневную выработку P можно выразить определенным интегралом:

,

где – множитель, имеющий размерность единицы продукции. Если бы в течении всего дня работа велась ритмично и с максимальной производительностью то дневная выработка составила бы или примерно на 21% больше.

Выпуска оборудованияприпостоянномтемпе роста.

Производство оборудования некоторого вида характеризуется тем­пом роста его выпуска, где средний темп роста выпуска оборудова­ния

(13)

причем – прирост выпуска этого оборудования за промежуток времени , а y – уровень его производства за единицу времени на момент времени t. Найдем общее количество оборудования, произведенного к мо­менту времени t, полагая, что K – известная постоянная величина (единицей времени является год) и в начальный момент времени t=0 уровень ежегодного производства оборудования составлял .

Решение. Будем считать, что y является непрерывной функцией от времени t. Перей­дем к пределу при в равенстве (13):

Суммарное количество оборудования, выпущенного за промежуток времени t, находится по формуле

Например, при K=0,05 (5% ежегодного темпа роста) общее количество оборудования, выпущенного за 10 лет, составит

Несобственные интегралы

При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что выполняются следующие условия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция f(x) на отрезке [a, b] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то интегралы называются несобственными. При этом определение определенного интеграла (5) теряет смысл.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода).

Определение 6. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке называется предел . Обозначается .

= . (14)

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке :

= . (15)

Если пределы в правых частях формул (14), (15) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если не существуют или бесконечны, – то расходящимися.

Аналогично вводится несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке :

(16)

Интеграл (16) называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Интегралы (14) – (16) называются также несобственными интегралами первого рода.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл означает, что фигура ограниченная кривой , прямыми x=a, y=0 и бесконечно вытянутая вдоль оси Ox, имеет конечную площадь S. Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для сходящихся несобственных интегралов (15) и (16).

Несобственный интеграл от неограниченных функций (второго рода).

Пусть функция неограниченна на конечном промежутке , причем .

Определение 7. Несобственным интегралом от функции f(x) непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке x=b, или несобственным интегралом второго рода называется предел интеграла при :

(17)

Аналогично если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке x=a, то полагают

(18)

Если же функция f(x) имеет разрыв второго рода в некоторой точке , то

(19)

Если пределы в правых частях формул (17) – (19) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках a, b, и с называются сходящимися, в противном случае – то расходящимися.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл второго рода означает, что фигура ограниченная кривой , прямыми x=a, x=b и бесконечно вытянутая вдоль оси Oy при , имеет конечную площадь S.

Дифференциальные уравнения

План

Общие сведения о дифференциальных уравнениях.

Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия, теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Я. Бернулли.

Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия, теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 2-го порядка). Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения второго порядка. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики.

Источник

Геометрические приложения определенного интеграла площадь криволинейной трапеции

1. С помощью точек разобьем отрезок [ a ; b ] оси 0 x на n частичных отрезков

2. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f ( c_i ).

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма (4.48) называется интегральной суммой для функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. Обо­значим через γ длину наибольшего частичного отрезка:

1. Найдем предел интегральной суммы (4.48) при n →∞ так, что γ→0. Если при этом указанный предел I существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a ; b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек c_i , то число I называется определенным интегралом функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] и обозначается

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f ( x ) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, отрезок [ a ; b ] – областью (отрезком) интегрирования.

Функция y = f ( x ), для которой на отрезке [ a ; b ] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке. Сформулируем теорему существования определенного интеграла.

Теорема 4.4 (Коши). Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то определенный интеграл существует

Примечание. Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности, для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва

Укажем некоторые основные свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл не зависит от того, по какой переменной он

вычисляется, то есть

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа c :

4. Если c – постоянное число и функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ], то

5. Если функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) интегрируемы на отрезке [ a ; b ], то их с умма также интегрируема на этом отрезке и имеет место равенство:

6. Если функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ] и то

(4.52)

Теорема 4.5 (Ньютона­–Лейбница). Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и F ( x ) – какая–либо ее первообразная на [ a ; b ], то имеет место формула

Пример 4.17. Вычислить определенный интеграл

Решение. Используя формулы (4.7) и (4.53), получим:

Пример 4.18. Вычислить определенный интеграл

Решение. Используя формулы (4.7), (4.36), (4.50) и (4.53), получим:

Примечание. Как видно из примера 4.18, при вычислении определенного интеграла методом подстановки, нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной (осуществлять обратную замену). Основываясь на первом свойстве определенного интеграла, его можно вычислить через введенную переменную. При этом находят пределы интегрирования для новой переменной, подставляя в формулу замены пределы интегрирования первоначальной переменной

Рассмотрим основные геометрические и физические приложения определенного интеграла.

1. Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольных координатах площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс ( f ( x )≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу (рис. 4.1):

Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси 0 x ( f ( x )

Пример 4.19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и (рис. 4.2).

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

Для вычисления искомой площади воспользуемся формулой (4.56), где f ₁ ( x ), f ₂ ( x ) – уравнения парабол, ограничивающих фигуру

Площадь S криволинейного сектора, то есть плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r (φ) и двумя лучами φ = α и φ = β (α r и φ – полярные координаты (рис. 4.3), равна:

Пример 4.20. Вычислить площадь фигуры, ограниченной «трёхлепестковой розой» (рис. 4.4).

Решение. Сначала по формуле (4.58) найдем всей площади искомой фигуры, представляющую собой площадь половины лепестка «розы»

2. Вычисление длины дуги плоской кривой

Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина ее наибольшего звена стремится к нулю. Если функция y = f ( x ) и ее производная непрерывны на отрезке [ a ; b ], то кривя AB имеет длину, равную

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r (φ), α ≤ φ ≤ β. Предположим, что непрерывны на отрезке [α;β]. Тогда длину AB можно вычислить по формуле:

Решение. Сначала найдемдлины дуги окружности от точки (0; R ) до точки ( R ;0). Так как

Таким образом, длина окружности равна 2π R (единиц длины). Заметим, что данная формула часто применялась в школьном курсе математики, но принималась без доказательства

3. Вычисление объёмов тел

которая называется формулой объёма тела по площадям параллельных сечений (рис. 4.5).

Искомый объём ищем по формуле

4. Вычисление площади поверхности вращения

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), t ₁ ≤ t ≤ t ₂, то формула для площади поверхности вращения принимает вид:

5. Вычисление несобственных интегралов

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке [ a ;+∞). Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом 1–го рода с бесконечным верхним пределом и обозначают

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке (–∞; b ]. Если существует конечный предел его также называют несобственным интегралом 1–го рода с бесконечным нижним пределом и обозначают
Таким образом, по определению

В этих случаях говорят, что несобственные интегралы 1–го рода сходятся. Если же указанные пределы (4.66) и (4.67) не существуют или они бесконечны, то говорят, что несобственные интегралы 1–го рода расходятся.

Несобственный интеграл 1–го рода с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой

где c – произвольное число. Интеграл левой части равенства (4.68) считается сходящимся лишь в том случае, когда сходятся оба интеграла правой части.

Пример 4.24. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их на сходимость:

следовательно, согласно (4.66) интеграл сходится.

2). По (4.67) имеем: интеграл расходится, так как последний предел не существует

Если функция f ( x ) ≥ 0 непрерывна на промежутке [ a ;+∞) и интеграл сходится, то он численно представляет собой площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис. 4.7).

Если интеграл правой части равенства (4.69) существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

(4.70)

Пример 4.25. Вычислить

Решение. При x =0 функция терпит бесконечный разрыв:
следовательно, по формуле (4.70) интеграл расходится

Если функция терпит разрыв во внутренней то чке с отрезка [ a ; b ], то несобственный интеграл 2–го рода от разрывной функции определяется формулой

Здесь интеграл левой части равенства (4.71) называется сходящимся, если оба несобственных интеграла правой части сходятся.

С помощью несобственных интегралов можно вычислять объёмы бесконечных тел вращения. Формулы в данном случае имеют вид, аналогичный (4.62) и (4.63).

6. Механические приложения определенного интеграла

Предположим, что материальная точка M перемещается вдоль оси 0 x под действием переменной силы, направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки M из положения x = a в положение x = b ( a b ), находится по формуле:

Пример 4.26. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,08 м, если сила 100 Н растягивает эту пружину на 0,01 м?

где g – ускорение свободного падения, γ – плотность жидкости.

Статическим моментом S_x системы материальных точек относительно оси 0х называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:

Аналогично определяется статический момент S_y этой системы относительно оси 0 y :

Аналогично определяется статический момент S_y этой кривой относительно оси 0 y :

Следовательно, Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то Итак, центр тяжести имеет координаты

Будем считать, что поверхностная плотность пластины постоянна (γ = const ). Тогда статические моменты плоской фигуры относительно осей координат соответственно равны:

Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Ox ), что y_c =0.

7. Экономическое приложение определенного интеграла

Рассмотрим одну из многочисленных задач экономики, решаемых с помощью определенного интегрирования.

Пример 4.30. Найти объём сливочного масла (кг), изготовленного молокоцехом за год (306 семичасовых рабочих дней), если ежедневная производительность этого цеха задана функцией где t – время в часах.

Решение. Учитывая (4.82), найдем сначала объём V сливочного масла, произведенного молокоцехом за один семичасовой рабочий день (0 ≤ t ≤ 7):

Так как количество рабочих дней в году равно 306, то объём масла, произведенного за год, составит (кг) или V = 44 тонны 114 кг

Источник