известно что число 177 является

Известно что число 177 является

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено

а) Если частное равно то что верно, например, при — частное числа и суммы его цифр равно

б) Если частное равно то Так как a

Учитывая, что получаем:

откуда

Частное числа и суммы его цифр равно Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно

Ответ : а) да; б) нет; в) 91.

В пункте а) можно решить без подбора, точной методикой:

100a+10b+c=90a+90b+90c, тогда 10a-80b=89c и 10(a-8b)=89c.

Число 89*с не делится нацело на 10, так как с натуральное число от 1 до 9 или 0, число a-8b является целым, так как числа a и b натуральные. Значит, a-8b=c=0, откуда a-8b=0. Тогда так как a

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего очков.

б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.

в) Всего детей было играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой партий и разыграли очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум очков, а играя между собой, девочки распределили очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно Тем самым, имеем: Следовательно, девочек не могло быть больше одной.

Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

Приведём похожее решение.

а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.

б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.

в) Пусть девочек а мальчиков В партиях между собой девочки набрали очков, а мальчики в партиях между собой набрали очков. Всего состоялось партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: откуда или Ясно, что отсюда то есть или Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.

Источник

Известно что число 177 является

Четырёхзначное число A состоит из цифр 2, 4, 7, 9, а четырёхзначное число B — из цифр 4, 5, 8, 9. Известно, что Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 2500.

Заметим, что поскольку и число A состоит из цифр 2, 4, 7, 9, число B является чётным числом и оканчивается на 4 или 8. Если число B оканчивается цифрой 4, то число A может оканчиваться на 2 или 7, если число B оканчивается цифрой 8, то число A может оканчиваться на 4 или 9. Число должно быть больше 2500. Этим условиям удовлетворяют числа 2749, 2947, 2974, 4297, 4729, 4792 и 4927.

Ответ: 2749, 2947, 2974, 4297, 4729, 4792 и 4927.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 0, 3, 5, 8, а четырёхзначное число B — из цифр 0, 1, 6, 7. Известно, что Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Заметим, что поскольку и число A состоит из цифр 0, 3, 5, 8, число B является чётным числом и оканчивается на 0 или 6. Если число B оканчивается цифрой 0, то число A может оканчиваться на 0 или 5, если число B оканчивается цифрой 6, то число A может оканчиваться только на 8, поскольку если число A оканчивается на 3, то невозможно составить четырёхзначное число A Ответ: 3085, 3508, 3580 и 3805.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 2, 3, 7, 8, а четырёхзначное число B — из цифр 4, 5, 6, 7. Известно, что Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 2500.

Заметим, что поскольку и число A состоит из цифр 2, 3, 7, 8, число B является чётным числом и оканчивается на 4 или 6. Если число B оканчивается цифрой 4, то число A может оканчиваться на 2 или 7, если число B оканчивается цифрой 6, то число A может оканчиваться на 3 или 8. Число должно быть больше 2500. Этим условиям удовлетворяют числа 2738, 2837, 2873, 3287, 3728, 3782 и 3827.

Ответ: 2738, 2837, 2873, 3287, 3728, 3782 и 3827.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 3, 4, 8, 9, а четырёхзначное число B — из цифр 6, 7, 8, 9. Известно, что B = 2A. Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 3500.

Заметим, что поскольку B = 2A, число B четное. Оно состоит из цифр 6, 7, 8, 9, поэтому заканчивается на 6 или 8. По условию, число A большее 3500, поэтому число В больше 7000, то есть не начинается с 6. Составим все такие числа, разделим их на 2 и проверим, что полученное число записано цифрами 3, 4, 8, 9. Находим варианты для B: 9876, 9786, 8976, 8796, 7896, 7986, 9768, 9678, 7968, 7698. Делением устанавливаем, что числа А могут быть равны: 4938, 4893, 4488, 4398, 3948, 3993, 4884, 4839, 3984, 3849 и только они. Из найденных чисел цифрами 3, 4, 8, 9 записываются числа 4938, 4893, 4398, 3948, 4839, 3984 и 3849.

Ответ: 3849, или 3948, или 3984, или 4398, или 4839, или 4893, или 4938.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 1, 4, 6, 9, а четырёхзначное число B — из цифр 2, 3, 8, 9. Известно, что B = 2A. Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 1500.

Заметим, что поскольку B = 2A, число B четное. Оно состоит из цифр 2, 3, 8, 9, поэтому заканчивается на 2 или 8. Составим все такие числа, разделим их на 2 и проверим, что полученное число записано цифрами 1, 4, 6, 9 и больше 1500. Находим варианты для B: 9832, 9382, 8932, 8392, 3892, 3982, 9328, 9238, 3928, 3298, 2938, 2398. Делением устанавливаем, что числа А могут быть равны: 4916, 4691, 4196, 1946, 4619, 1964, 1649, 1469 и только они. Число 1469 меньше 1500, остальные числа удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 4916, 4691, 4196, 1946, 4619, 1964 и 1649.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 1, 2, 6, 7, а четырёхзначное число B — из цифр 2, 3, 4, 5. Известно, что В = 2А. Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 1500.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 0, 1, 5, 6, а четырёхзначное число B — из цифр 0, 1, 2, 3. Известно, что Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Наибольшая возможная первая цифра B — 3, поэтому первой цифрой А может быть только 1. Поскольку и число A состоит из цифр 0, 1, 5, 6, число B является чётным числом и заканчивается на 0 или 2.

Если число B заканчивается на 0, то число A может заканчиваться на 0 или 5, то есть имеет вид 1××0 или 1××5. Проверка показывает, что числа 1560, 1065 и 1605 подходят, а число 1650 — нет.

Если число B заканчивается цифрой 2, то число A может заканчиваться на 1 или 6. Но 1 стоит на первом месте, поэтому в этом случае число А имеет вид 1××6. Проверка показывает, что число 1056 не подходит, а число 1506 подходит.

Следовательно, искомыми числами являются 1065, 1506, 1560 и 1605 и только они.

Источник

Известно что число 177 является

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

а) Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.

б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если то левая часть больше 246: следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

Приведем другое решение.

а)

б) Так как Число не может быть равно или быть больше. Число удовлетворяет условию.

в) — не удовлетворяет.

Так как имеем — много есть таких прогрессий. Имеем — есть такая прогрессия.

Ответ: а) да; б) 41; в) 3; 6.

Аналоги к заданию № 502119: 501512 502139 Все

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

в) Пусть S₄ = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди … равны соответственно. Тогда и

где

Решая систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными, находим: Значит,

б) Если где то В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому не может быть равным 4547.

в) Если где то Кроме того, поскольку получаем:

Вычтем из первого полученного равенства второе: Значит, делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При получаем:

При получаем:

Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917.

В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой — пятую, и так далее.

а) Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б) Докажите, что 11‐я строка совпадает с 12‐й.

в) Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐я строка не совпадает с 11‐й.

а) Очевидно, что начиная со второй строчки, все числа в таблице не больше 1000. Кроме того, каждое число не больше написанного под ним. Поэтому сумма чисел в третьей строчке не меньше, чем во второй и т.д., и каждая из этих сумм не больше миллиона. Следовательно, поскольку все время суммы возрастать не могут, в каких-то соседних строчках суммы совпадут, а тогда совпадут и сами строчки.

б) Докажем, что если в -ой строчке при число отлично от написанного над ним, то оно не меньше, чем Действительно, для это очевидно, так как все числа второй строки натуральные. Пусть это уже проверено для всех строк с номерами, меньшими Пусть в -ой строчке написано число а под ним написано число большее Тогда в -ой строчке написано чисел, равных Ясно, что в -ой строчке будет написано несколько групп одинаковых чисел, по в каждой группе, причем числа из разных групп различны. Отсюда вытекает, что делится на то есть Кроме того, по крайней мере одно из чисел в этих группах отличается от а значит, по предположению индукции Итак, Наше утверждение доказано по индукции для всех Если предположить, что 11-я строчка отлична от 12-й, то какое-то число в 12-й строчке будет больше, чем что невозможно.

в) Приведем такой пример:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1 512, ……………………………., 512, 488, …, 488

В первой строчке 0 и 1 встречаются по одному разу, 2 — два раза, 4 — четыре раза, 8 — восемь раз, …., 256 — 256 раз, 488 — встречается 488 раз, в 11 строчке встречается 512 раз число 512 и 488 раз число 488.

Источник