Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие что

Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие что

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Весь первый этаж 16-этажного дома занимают магазины, а на каждом из остальных этажей любого его подъезда расположено по 4 квартиры. На каком этаже этого дома находится квартира 165?

На графике представлено изменение биржевой стоимости акций газодобывающей компании в первые две недели ноября. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — стоимость акции в рублях. 2 ноября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 6 ноября, а 13 ноября — остальные 4. Известно, что цена акций убывала линейно. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён треугольник. Найдите радиус его описанной окружности.

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Сторона AB треугольника ABC c тупым углом C равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Функция определена на промежутке На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной пирамиды SABC равен 33.

Найдите значение выражения если

При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решeтку с периодом нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума связаны соотношением Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Источник

Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие что

Первый тур ( 10 минут; каждая задача – 6 баллов ).

Отметим, что контрпримеры можно подбирать, исходя из следующих соображений. Так как a > b, то 9a > 9b. Для того, чтобы выполнялось неравенство 10а £ 9b, надо выбрать а

1.2. Диагональ четырехугольника делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найдите все возможные значения углов этого четырехугольника.

1) BD – общая гипотенуза (см. рис. 1а). Тогда АВСD – квадрат, то есть все его углы – прямые.

1.3. Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом простого числа? Ответ обоснуйте.

Ответ : нет, не может.

Существует только одна пара простых чисел, удовлетворяющих первому условию: 3 и 2. Но второму условию она не удовлетворяет, так как 5 не является квадратом натурального числа.

Второй тур ( 15 минут; каждая задача – 7 баллов ).

Сложим данные равенства почленно. Получим: ( a + b + с )( a + b + b + c + c + a ) = 18. Тогда 2( a + b + с ) 2 = 18, то есть ( a + b + с ) 2 = 9.

Ответ : AE : DE = 2 : 1.

2.3. Цену на яблоки подняли на 20%. Однако для того, чтобы записать новую цену килограмма яблок, продавцу оказалось достаточным поменять местами цифры числа, записанного на ценнике. Сколько рублей стоили яблоки до их подорожания, если эта цена была меньше 100 рублей?

Третий тур ( 20 минут; каждая задача – 8 баллов ).

3.1. Известно, что m 2 + 9 mn + n 2 делится на 11 (числа m и n – целые). Докажите, что m 2 – n 2 также делится на 11.

Так как m 2 + 9 mn + n 2 делится на 11, то m 2 + 9 mn + n 2 – 11 mn = m 2 – 2 mn + n 2 = ( m – n ) 2 также делится на 11. Число 11 – простое, поэтому m – n кратно 11. Следовательно, m 2 – n 2 = ( m – n )( m + n ) также делится на 11.

3.3. В шахматном турнире каждый участник встречался с каждым один раз (победа – 1 очко, поражение – 0, ничья – пол-очка). Единоличным победителем стал Иванов. Петров сказал: «Можно удалить из турнирной таблицы любого участника и аннулировать очки, набранные во встречах с ним, и тогда единоличным победителем будет уже не Иванов, а кто-нибудь другой». Прав ли Петров? Ответ обоснуйте.

Ответ : нет, не прав.

Заметим, что при удалении одного участника из таблицы количество очков у любого из оставшихся участников не может увеличиться. Это означает, что смена единоличного победителя происходит только в том случае, когда Иванов из-за выбытия участника потерял хотя бы очко. Следовательно, у выбывшего участника Иванов выиграл.

Предположим, что Петров прав. Тогда Иванов выиграл у каждого участника турнира. Но в этом случае он останется победителем при удалении любого участника, так как все равно наберет максимальное количество возможных очков.

Полученное противоречие показывает, что Петров не прав.

Четвертый тур ( 25 минут; каждая задача – 9 баллов ).

4.1. В нескольких кошельках лежат одинаковые суммы денег. Если бы количество кошельков было на 1% меньше, а денег в каждом кошельке – на копейку больше, то общая сумма денег была бы меньше. А если бы, наоборот, количество кошельков было больше на 1%, а денег в каждом кошельке – на копейку меньше, то общая сумма денег также была бы меньше. Во сколько раз увеличится общая сумма денег, если количество кошельков не менять, но в каждый кошелек добавить по рублю?

Первый способ («арифметический»). Из первого условия следует, что из каждой сотни кошельков убирается один, а в остальные кошельки добавляется 99 копеек. Поскольку общая сумма денег при этом становится меньше, то в каждом кошельке должно лежать больше, чем 99 копеек.

Из второго условия следует, что к каждой сотне кошельков прибавляется один, но сумма денег в этих кошельках уменьшается на 101 копейку. Поскольку общая сумма денег также уменьшится, то в каждом кошельке должно лежать меньше, чем 101 копейка.

Таким образом, в каждом кошельке лежит по 100 копеек, то есть по рублю. Если в каждый кошелек добавить еще по рублю, то количество денег в нем удвоится, значит, удвоится и общая сумма денег.

Если в каждый кошелек добавить по рублю, то общая сумма денег станет равна n ( x + 100) копеек. При x = 100 искомое отношение равно: = 2.

4.3. Выберем произвольным образом 55 различных натуральных чисел из первой сотни. Докажите, что среди них найдутся два числа, разность между которыми равна 9.

Если мы выбираем числа, разность между которыми не равна 9, то из каждой группы нельзя брать числа, стоящие рядом. Так как в первой группе 12 чисел, а в остальных – по 11, то из любой группы мы сможем взять не более шести чисел, то есть всего не более 54 чисел. Добавление любого числа обязательно даст пару чисел, разность между которыми равна 9.

Источник

Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие что

а) Существует ли такое натуральное число n, что числа n 2 и (n + 17) 2 имеют одинаковые остатки при делении на 69?

б) Существует ли такое натуральное число n, что числа n 2 и (n + 17) 2 имеют одинаковые остатки при делении на 68?

в) Пусть k(m) — количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n 2 и (n + m) 2 имеют одинаковые остатки при делении на 68, причем m — двузначное натуральное число. Определите наименьшее значение k, отличное от нуля.

а) Разность этих чисел равна

Если выбрать n так, чтобы (то есть ), то полученное число будет кратно 69, а изначальные два будут давать одинаковые остатки от деления на 68.

б) Одно из этих чисел четно, а другое нечетно. Значит, они не могут давать одинаковые остатки от деления на четное число.

в) Как и в пункте а) получим, что кратно 68. Если m нечетно, то это произведение двух нечетных чисел и оно не кратно 68. Пусть тогда

кратно 68. То есть кратно 17. Если x кратно 17, то все такие числа кратны 17, что нам невыгодно. Значит, кратно 17. Подходящие n попадаются через каждые 17 чисел. В качестве x можно выбирать числа от 5 до 49 (поскольку 2x — двузначное число).

Среди чисел от 100 до 984 ровно 52 числа с каждым остатком от деления на 17. А среди чисел от 985 до 999 нет, например, числа с остатком 14 (таким числом было бы 1000). Поэтому если выбрать (то есть ), то будет 52 подходящих числа.

Источник

Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие что

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Сторона AB треугольника ABC c тупым углом C равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Найдите значение выражения если

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной пирамиды SABC равен 33.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решeтку с периодом нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума связаны соотношением Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Источник

Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие что

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

На графике представлено изменение биржевой стоимости акций газодобывающей компании в первые две недели ноября. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — стоимость акции в рублях. 2 ноября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 6 ноября, а 13 ноября — остальные 4. Известно, что цена акций убывала линейно. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён треугольник. Найдите радиус его описанной окружности.

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Сторона AB треугольника ABC c тупым углом C равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Функция определена на промежутке На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной пирамиды SABC равен 33.

Найдите значение выражения если

При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решeтку с периодом нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума связаны соотношением Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Источник