Треугольник равнобедренный и равносторонний в чем разница
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник (понятие, определение):
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.
По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Рис. 1. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
Свойства равностороннего треугольника:
1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.
2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.
3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.
Рис. 3. Равносторонний треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.
6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.
Рис. 4. Равносторонний треугольник
AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1
Признаки равностороннего треугольника:
– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;
– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.
Формулы равностороннего треугольника:
Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равносторонний треугольник
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Формула радиуса описанной окружности (R):
,
.
Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:
.
Формулы площади (S) равностороннего треугольника:
.
Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:
.
Чем отличается равнобедренный треугольник от равностороннего?
Всякий треугольник, имеющий две равные по длине стороны, называется равнобедренным. В таких треугольниках равные стороны называются боковыми, а третью именуют основанием.
Если в треугольнике равны все три стороны, то такой треугольник называют равносторонним. Причем равносторонний треугольник считается частным видом равнобедренного.
Кстати, в равностороннем треугольнике все внутренние углы равны 60°, а в сумме они составляют 180°. Кроме того, в таком треугольнике совпадают такие точки, как центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей, а также ортоцентр (точка пересечения высот).
У равнобедренного равны не менее двух сторон, а у равностороннего равны все три стороны между собой. Так что любой равносторонний автоматически является равнобедренным, но не любой равнобедренный будет равносторонним.
Отличие между равнобедренным и разносторонним треугольником оговаривается в самих названиях.
Также отличие заключается в том, что в равностороннем треугольнике все три угла одинаковой величины/равны (по 60 градусов).
У равнобедренного же треугольника равны лишь два угла, которые образованы двумя одинаковыми сторонами и основанием.
В равнобедренном треугольнике две стороны и углы при основании равны. В равностороннем равны все стороны и углы. И углы равны 60 градусам.
Гимназия 1503
четвёртый класс
И всё-таки она вертится…
Как хорошо, когда задача имеет несколько решений. Есть место для творчества.
Как поднимается настроение, когда решение задачи неявное и не лежит на поверхности. Можно выйти за рамки и почувствовать себя свободным.
На уроке математики у нас возникла дискуссия на тему — является ли равносторонний треугольник равнобедренным. Одни утверждали, что да, другие с ними спорили.
Пришлось обратиться к самым умным сайтам в интернете и побеспокоить дедушек с математическим образованием.
И вот что мы выяснили.
Определение: равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны по длине.
Из определения равнобедренного треугольника следует, что правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным.
Если взять длины сторон, как признак, и разделить треугольники по типам, то типы будут следующие: разносторонний, равнобедренный и частный случай равнобедренного — равносторонний.
Условие равенства двух сторон является необходимым и достаточным, чтобы считать треугольник равнобедренным.
Условие достаточности может выполняться и не выполняться в остроугольном, тупоугольном и прямоугольном треугольнике. Но в равностороннем треугольнике оно выполняется всегда.
Следовательно равносторонний треугольник всегда является равнобедренным.
Рассмотрим рисунок и вспомним определение.
АВ=ВС — следовательно, Δ АВС является равнобедренным (по определению).
ВС=СА — следовательно, Δ АВС является равнобедренным (по определению).
СА=АВ — следовательно, Δ АВС является равнобедренным (по определению).
Как видим, равносторонний треугольник АВС является не просто равнобедренным, а трижды равнобедренным.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Равнобедренные и равносторонние треугольники
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Равнобедренные и равносторонние треугольники Частный репетитор Мухина Инна Игоревна
На рисунке изображены равнобедренные треугольники. Проверь это с помощью линейки. Правильный ответ Неправильный ответ Неправильный ответ
Чем отличается треугольник под номером 3 от всех остальных? Что можно сказать о длине сторон этого треугольника? Треугольник, у которого все стороны равны, называется РАВНОСТОРОННИМ. Назови номер равностороннего треугольника. Правильный ответ Неправильный ответ Неправильный ответ
Построй отрезок длиной 4 см. Построй две окружности радиусом 4 см, центры которых находятся в концах построенного отрезка. Проведи радиусы этих окружностей в одну из точек пересечения. У тебя должен получиться такой чертёж. Правильный ответ Неправильный ответ Неправильный ответ
Правильный ответ Неправильный ответ Неправильный ответ
Какую длину имеют стороны получившегося при построении треугольника? Как можно назвать такой треугольник? Можно ли этот треугольник также назвать равнобедренным? Правильный ответ Неправильный ответ Неправильный ответ
Можно ли равносторонний треугольник назвать равнобедренным? Почему? Правильный ответ Неправильный ответ Неправильный ответ
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
На рисунке изображены равнобедренные треугольники. Проверь это с помощью линейки.
Чем отличается треугольник под номером 3 от всех остальных?
Что можно сказать о длине сторон этого треугольника?
Треугольник, у которого все стороны равны, называется РАВНОСТОРОННИМ.
Назови номер равностороннего треугольника.
Номер материала: ДБ-1469066
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Утверждено стратегическое направление цифровой трансформации образования
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
До конца 2024 года в РФ построят около 1 300 школ
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах
Время чтения: 2 минуты
Трехлетнюю олимпиаду среди школ запустят в России в 2022 году
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.