вычеты математика для чайников

Вычеты математика для чайников

Обозначается вычет

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С_-1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z—z₀) для z₀, принадлежащей области комплексных чисел:

ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.

Если конечная особая точка z₀ является устранимой особой точкой функции f(z), то

ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.

ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.

ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.

ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Вычеты. Основная теорема о вычетах

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

] в лорановском разложении этой функции в точке z0. Отсюда, в частности, вытекает, что вычет в устранимой особой точке равен нулю. Укажем некоторые формулы для вычисления вычета в полюсе функции /(г).

Поэтому по теореме Коши для многосвязной области имеем Из этой формулы, пользуясь определением вычета получаем требуемое равенство (5). 6.1. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Говорят, чтофункция f(z) является аналитической в бесконечно удаленной точке z = оо, если функция аналитична вточке С =0. Это следует понимать так: функцию g(0= f (f) можно доопределить до аналитической, положив Например, функция аналитична в точке z = оо, поскольку функция аналитична в точке С = 0.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть функция /(г) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z = оо). Точка z = оо называется изолированной особой точкой функции /(г), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек функции f(z). Функция имеет в бесконечности неизолированную особенность: полюсы zk = к-к этой функции накапливаются в бесконечности, если к оо. Говорят, что z — оо является устранимой особой тонкой, полюсом или существенно особой точкой функции f(z) в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует lim f(z).

Критерии типа бесконечно удаленной точки, связанные с разложением Лорана, изменяюгся по сравнению с критериями для конечных особых точек. Теорема 22. Если z — оо является устранимой особой точкой функции /(z), то лоранов-ское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит полож и тельных степеней z;eaiu z — оо — полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z, в случае существенной особенности — бесконечное число положительных степеней z.

При этом лорановским разложением функции /(z) в окрестности бесконечно удаленной точки будем называть разложение в ряд Лорана, сходящийся всюду вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z — 0 (кроме, быть может, самой точки z — оо). Пусть функция f(z) — аналитична в некоторой окрестности точки z = оо (кроме, быть может, самой этой точки). Вычетом функции /(z) в бесконечности называют величину пае 7 — достаточно большая окружность \z\ = р, проходимая по часовой стрелке (так, что окрестность точки z — оо остается слева, как и в случае конечной точки г = го).

И з этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при z

Известные тейлоровские разложения функций е1, cosz, sinz, chz, shz можно рассматривать также и как лорановские разложения в окрестности точки z — оо.

Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то перечисленные функции имеюгвточке z = оо существенную особенность. Теорема 23. Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю. Так что, если — конечные особые точки функции f

Пример 4:

Вычислить интеграл Полюсами (конечными) подынтегральной функции являются корни zt уравнения гя = —1, которые все лежат внутри окружности В окрестности точки г = оо функция /(z) имеет следующее разложение: ИЗ КОТОРОГО ВИДНО, ЧТО В силу теоремы 6.2. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов. Интегралы от рациональных функций Теорема 24. Пусть f(x) — рациональная функция, т. е. где — многочлены степеней пит соответственно.

Пример 5:

Пример 6. Вычислить интеграл Применяя подстановку z = е,г. после простых преобразований (см. формулы (II)) получим, что Внутри единичного круга при условии находится только один полюс (второго порядка) Вычет функции Интегралы вида гдеД(х) — правильная рациональная дробь, а > 0 — вещественное число. При вычислении таких интегралов часто бывает полезной следующая лемма. Лемма Жордана. Пусть функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости исключением конечного числа изолированных особых точек, и при \ стремится к нулю равномерно относительно arg z.

где 7л — верхняя полуокружность Условие равномерного стремления /(г) к нулю означает, что на полуокружности 7R Оценим исследуемый интефал. Замечая, что на 7Л В силу известного неравенства (см. рис. 31) справедливого при (для доказательства достаточно заметить, что и, значит, функция ^ убывает на полуинтервале Сопоставляя формулы (13) и (14), заключаем, что 4 Введем вспомогательную функцию Пример 7. Вычислить интеграл Нетрудно видеть, что если г = х, то Jmh(z) совпадает с подынтегральной функцией.

Отсюда откуда Упражнения Найдите действительную и мнимую части функдаи: Найдите образы действительной и мнимой осей при отображении: Докажи те, что функция непрерывна на всей комплексной плоскости: Пользуясь условиями Коши—Римана, выясните, является ли функция аналитической хотя бы в одной точке или нет: Восстановите аналитическую в окрестности точки 20 функцию /(г) по известной действительной части и (или по известной мнимой части v(x, у)) и значению f(z0):

Покажите, что следующие функци и являются гармоническими: Может ли данная функция быть действительной или мнимой частью аналитической функции Найдите действительную и мнимую части функции: Найдите модуль и главное значение аргумента функции в указанной точке zq: Найдите логарифмы следующих чисел: Решите уравнение: 38. Вычислите интеграл /— линия, соединяющая точки z\ = 0 отрето к прямой, б) дуга параболы ломаная 39. Вычислите интеграл — полуокружность Вычислите интегралы: 43.

Вычислите интеграл / где 7 — верхняя половина окру*« ости |z| = 1 (выбирается Вычеты Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов Интегралы от рациональных функций Лемма Жордана Вычисление интегралов Френеля ветвь функци и л/z, для которой 44. Вычислите интеграл / ^ dz, где 7 — отрезок прямой, идущий из точки zj = 1 в точку.

Вычислите интегралы: Найдите радиус сходимости ряда: Рашожите функцию в ряд Тейлора и найдите радиус сходимости полученного ряда: постепеням z + I. 55. cosz постепеням 56.—-— постепеням z + 2. 57.—^— постепеням z. 58. sh2 z постепеням z. Найдите нули функции и определите их порядки: z Определите область сходимости ряда: Разложите в ряд Лорана в окрестности точки г = 0: Разяожитс в ряд Лорана в уюзан ном кольце: Найдите особые точки и определит е их характер:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Электронная библиотека

Пусть функция w = f(z) – аналитическая в окрестности точки z₀, за исключением самой точки (т.е. z₀ – изолированная особая точка функции w = f(z)).

Вычет обозначается: или res f(z₀) (происходит от слова resudi – остаток):

. (2.84)

Теорема: Вычет относительно устранимой особой точки равен нулю.

Доказательство: Пусть z₀ – устранимая точка, тогда функция

будет аналитическая в окрестности z₀ и по теореме Коши что и требовалось доказать.

. (2.85)

Доказательство: Опишем из каждой особой точки z_К (k = 1, 2,…,n) как из центра, окружности К_к настолько малого радиуса, чтобы они целиком лежали в и не содержали других особых точек функции f(z) (рис. 2.25).

В многосвязной области f(z) будет аналитической. По теореме Коши:

Умножим и разделим правую часть последнего равенства на 2p I получим:

Что и требовалось доказать.

Найдем вычет относительно простого полюса. Пусть f(z) имеет в точке простой полюс, тогда

Как отмечено ранее она аналитическая в окрестности z₀ и по формуле Коши

Вывод: вычет относительно простого полюса находят по формуле:

Найти вычет функции относительно точки z = 0.

Решение. Для функции точка z = 0 – простой полюс. Поэтому

Формула (2.88) получается сразу:

Решение. Согласно формуле (2.88)

так как z = 0 – простой полюс.

Решение. Функция имеет две особые точки z = 0 и z = 2; обе точки попадают в область, ограниченную окружностью |z| = 3.

Точка z = 0 – устранимая, так как

а вторая – простой полюс (сделайте рисунок).

Вычет относительно устраненной точки равен нулю. Вычет относительно точки z = 2 находим по формуле (2.88):

По основной теореме Коши о вычетах (2.85), получим:

Вывод формулы для нахождения вычета относительно кратного полюса аналогичен рассуждениям, проведенным для случая простого полюса, а именно: если f(z) имеет в точке z₀ кратный полюс, то для функции (k – кратность полюса) точка z₀ устранимая. Тогда функция

аналитическая в окрестностях z₀. Значит,

Но на контуре поэтому

Вывод: получена формула для нахождения вычета функции относительно полюса порядка k:

Пример 4

Задачи для упражнений

Вычислить интегралы, используя основную теорему Коши о вычетах:

Источник

GOUSPO студенческий портал!

форум, учебники, лекции, и многое другое

Основы алгебры вычетов.

Тема 9. Основы алгебры вычетов.

План:

2.Сравнение по модулю.

3. Свойства сравнимости

Цель. Знакомство с понятиями класса вычетов, отношением сравнимости и его свойствами.

Теоретические сведения

1. Понятие вычета.

Вычетом числа a по модулю m называется остаток от деления a на m

Из определения видно, что вычеты связаны с делением с остатком.

Разделить натуральное число a на нату­ральное число b с остатком означает yнайти неотрицательные числа два числа q и г, причем г (а ± с) º (b ± d)(mod p).

Слагаемые можно переносить из одной части сравне­ния в другую с противоположным знаком.

3. Сравнения можно перемножать:

4. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число k:

5. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же число:

6. Обе части сравнения можно возвести в степень (следствие свойства 3):

Понятие сравнения ввел К.Ф.Гаусс в работе Ариф­метические исследования (1802). Алгебра вычетов возникает в тех случаях, когда рассматриваются некоторые циклически повторя­ющиеся события, например время в течение дня, повторяющееся каждые 24 часа, углы по окружности, повторяющиеся через пе­риод 2к, и т.д.

Алгебра вычетов один из тех разделов математики, которые рождались как некоторые формальные рассуждения и только спустя годы нашли свое практи­ческое применение.

Задание 9-2. Для степени y=2 n (n–натуральное число) установить классы сравнимости. Установить зависимость последней цифры этой степени от ее показателя.

Решение и комментарии.

Как известно, натуральные степени числа 2 оканчиваются циф­рами <2, 4, 8, 6>. См. таблицу нескольких степеней числа 2.

Опреде­лим функцию, которая ставит в соответствие каждому натуральному числу п последнюю цифру числа 2 я :

цифра 2 т1222443884166532266447128882566

Эта функция f(n) периодична с периодом 4. Это значит, что для целого числа k: f(n)=f(n+4)= f(n+4k),.

Причем справедливы так же равенства: f(n)=f(n-4)= f(n-4k)

Но это задача на делении с остатком числа n на 4:

n=4k+m, k- частное, т остаток.

Очевидно, последняя цифра числа 2 зависит от остатка, полученного при делении показателя n степени 2 n на 4.

Отразим этот факт в записи функции: f(n)= f(n mod 4)

Из этой формулы можно установить, если f(n mod 4)=0, то

При делении чисел на 4 nÎN, останки могут быть: 0,1,2,3. Таким образом, в частности, множество всех возможных показателей степени 2 n для любого n состоит из четырех подмножеств: 4k, 4k+ 1, 4k+ 2, 4k+3.

Задание 9-3. Установить последнюю цифру степени y=2 2007

Решение. Имеем 2007=501·4+3, значит f (2007)=f (3)=2 3 =8. Ответ 8.

Требования к знаниям умениям и навыкам

Студенты должны знать определения вычета. Иметь представление о выполнении операций над вычетами. Иметь представление о числовом и цифровом кодировании.

Источник

Материал для подготовки к разделу «Арифметика вычетов»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

1. Арифметика вычетов

В отличие от (1) операция означает остаток от деления (например, ). Эта операция называется приведением по модулю.

Далее приведены свойства функции сравнения:

Сравнения по одинаковому модулю можно почленно складывать.

Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень.

Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, взаимно простой с модулем.

Обе части сравнения и его модуль можно умножить на одно и то же целое число или разделить на их общий делитель.

Если сравнение имеет место по нескольким разным модулям, то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному этих модулей.

Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая часть сравнения должна делиться на то же число.

К обеим частям сравнения можно прибавить одно и тоже число; обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число.

Свойство операции приведения по модулю:

Проверим свойство операции приведения:

Найдем при помощи свойства операции приведения по модулю:

Такой прием называется цепочкой разложения, в основе которой лежит двоичное представление числа.

Свойства классов вычетов:

Любые чисел попарно не сравнимые по модулю образуют полную систему вычетов.

Полная система вычетов – это совокупность вычетов, взятых по одному из каждого класса эквивалентности.

Рис. 1. Иллюстрация к образованию классов вычетов по модулю 8

На рис. 1 изображен процесс «наматывания» цепочки целых чисел на колечко с делениями, при этом на одно деление автоматически попадают сравнимые между собой числа.

Свойства функции Эйлера:

Алгоритм Евклида (применяется при небольших для нахождения : ).

Выполним следующие деления с остатком:

Найдем линейное разложение НОД’а: :

Отрицательным моментом этого метода является то, что необходимо возводить в степень.

Свойства данного числа :

По любому простому модулю существует первообразный корень.

Значит, первообразными корнями по модулю являются 3 и 5.

Таким образом, в данном параграфе мы раскрыли основные понятия арифметики вычетов, такие как сравнения в кольце целых чисел, основные теоремы и свойства сравнений.

Итак, рассмотрим сравнение: по степеням простого числа 7. При n =1 сравнение имеет два решения:

Таким образом, получаем решение

Аналогично при n =3 получаем и из сравнения

Этот процесс мы можем продолжать бесконечно.

Мы получим последовательность

Она обладает свойствами:

Итак, процесс построения последовательности

Чем-то напоминает процесс извлечения квадратного корня из 2.

При возрастании n становится сколь угодно 7-близкими к 2.

Можно предположить, что наша последовательность так же определяет число a некоторой новой природы, причем такое, что =2.

Сравнение показывает, что

То же самое, что и последовательность Последовательность, все члены которой удовлетворяют условиям и 0, будем называть канонической.

Следовательно, всякая каноническая последовательность имеет вид

Теорема. Всякое отличное от нуля p-адическое число однозначно представляется в виде

Объяснение р-адических чисел с помощью ввода новых математических объектов

«Квазибесконечным числом» (КБЧ) называется бесконечная последовательность цифр (из какой-либо системы счисления, например десятичной), идущая справа налево.

Эти числа названы «квазибесконечными», потому что они кажутся бесконечными, но на самом деле не являются таковыми.

Рассмотрим те КБЧ, в которых влево от некоторой позиции идут одни нули, например:

Нетрудно заметить, что такие числа при сложении и умножении ведут себя как обычные неотрицательные целые числа.

1) Каждую цифру x _i заменить на (N−1)−x _i (где N — основание системы счисления)

Например, в десятичной системе:

В двоичной системе:

Таким образом, те КБЧ, в которых влево от некоторой позиции идут одни только наибольшие цифры данной системы счисления, можно отождествить с обычными отрицательными целыми числами.

Сумма двух КБЧ вычисляется справа налево по обычному методу сложения столбиком (вычисляется сумма двух цифр очередного разряда, прибавляется единица при наличии переноса из предыдущего разряда, затем определяется цифра суммы данного разряда и наличие переноса в следующий разряд). [В нижеприведённых таблицах наличие переноса обозначается чертой над соответствующей цифрой.] Например:

Аналогично вычисляется разность двух КБЧ (только вместо переноса здесь заимствование из следующего разряда). Умножение также вычисляется по обычном методу умножения столбиком, как сумма бесконечного ряда слагаемых. Деление осуществляется подбором цифр справа налево, используя тот факт, что для вычисления n последних (правых) цифр произведения достаточно перемножить числа, образованные n последними цифрами сомножителей. (Деление выполняется проще, если основание системы счисления – простое число, иначе возникают неоднозначности в подборе цифр)

Естественно предположить, что всякое периодическое КБЧ (т. е. такое, в котором слева от некоторого разряда идёт бесконечно повторяющаяся последовательность цифр) представляет некоторую дробь (т. е. при умножении периодического КБЧ на некоторое конечное число можно получить конечное число).

Теорема. Если основание системы счисления N – простое число, то для любого числа x, не кончающегося на 0, существует обратное число x −1 (т. е. такое, что x · x −1 =1).

Далее, исходя из алгоритма умножения столбиком, для очередной цифры x _i мы подберём цифру y _i по уравнению

(вычисления осуществляются по модулю N; C –«довесок», образующийся от перемножения предыдущих цифр).

Поскольку x ₀ ≠ 0, то это уравнение всегда разрешимо. Теорема доказана.

Следствие. Если основание системы счисления – простое число, то можно делить (без остатка) на любое число, не кончающееся на 0.

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Наглядности ради, p- адические числа можно уподобить ветвям и листьям огромного раскидистого дерева. Если представить, что такое дерево выросло из некоторой определенной точки на числовой прямой, то обнаруживается удивительное соответствие этих множеств. То есть ветвей и листьев на математическом дереве настолько много, что для любой точки на числовой оси можно найти соответствующую величину и на древовидной структуре – продвигаясь по дереву согласно строго определенным правилам.

В данном параграфе мы выяснили, что такое p-адические числа. Они почти не отличаются от вышеописанных квазибесконечных чисел, однако имеют следующие особенности: основание системы счисления – всегда простое число; цифры записываются в обратном порядке по сравнению с вышеописанным (т. е. бесконечный хвост уходит вправо, а не влево; однако это лишь форма записи, суть от этого не меняется).

3. Арифметика вычетов по модулю m

При сложении двух однозначных чисел может получиться либо однозначное число, например 1 + 4 = 5, 7 + 2 = 9, либо двузначное число, например 3 + 9 = 12, 5 + 8 = 13, 7 + 9 = 16, 4 + 6 = 10. Условимся, если сумма двузначная, оставлять только последнюю цифру и писать 3+9=2, 5+8=3, 7+9=6, 4+6=0.

При таком новом определении операции сложения сумма любых двух однозначных чисел есть снова однозначное число.

При перемножении двух однозначных чисел может получиться либо однозначное число: 2*3 = 6, 1*8 = 8, 3*3 = 9, либо двузначное число: 6 * 7 = 42, 7* 8 = 56, 9 * 9 = 81. В случае, если произведение двузначно, будем брать только последнюю цифру и писать 6*7 = 2, 7*8 = 6, 3*3 = 9.

При этом новом определении операции умножения произведение двух однозначных чисел всегда является однозначным числом. Введенные нами операции отличаются от действий, которые мы привыкли называть сложением и умножением и обозначать знаками «+» и «*». Строго говоря, следовало бы поэтому ввести для этих новых операций новые названия и новые знаки. Однако оказывается, что все формулы обычной алгебры, содержащие только знаки «+», «*» и любое число скобок, сохраняются и для новых операций.

В частности остаются верными формулы:

а+(в+с)=(а+в)+с, а+в=в+а, а(вс)=(ав)с, а(в+с)=ав+ас, а также формулы

и другие. Поэтому употребление привычных знаков в новом смысле не может повести к недоразумениям.

Итак, мы построили новую арифметику, отличную от арифметики, изучаемой в школе, но при всем этом во многом похожую на нее. Эта новая арифметика окажется нам полезной при решении многих задач из обычной арифметики и алгебры.

Нашу новую арифметику мы будем называть арифметикой вычетов по модулю 10, или 10-арифметикой, потому что в ней только 10 чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Составим таблицы сложения и умножения в 10-арифметике:

Сделаем еще одно важное замечание: если в любом правильном числовом равенстве из обыкновенной арифметики, содержащем, кроме чисел, только знаки сложения, умножения и скобки, заменить каждое число его последней цифрой, то получится равенство, верное в смысле 10-арифметики.

В 7-арифметике семь чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сложение и умножение в 7-арифметике определяются следующими правилами: чтобы сложить два числа, надо найти их сумму в смысле обычной арифметики и затем взять остаток от деления этой суммы на 7; чтобы перемножить два числа, надо найти их обычное произведение и взять остаток от деления его на 7. Например, 3+5=1, 4+6=3, 3+4=0, 5*3=1, 3*6=4, 2*6=5.

Например, в 7-арифметике 2-5=4, либо 5+4=2.

Мы будем называть ряд рядом без повторений, если он не может совместиться с собой при повороте на угол, больший 0, но меньший 360 градусов.

Из приведенных на рис. 2 рядов первый и третий являются рядами без повторений. Второй ряд является рядом с повторениями, ибо он совмещается с собой при повороте на 180 градусов. Заметим, что если в некотором круговом ряде встречается дважды одна и та же пара соседних элементов, то этот ряд является рядом с повторениями.

Треугольником Паскаля называется следующая бесконечная таблица чисел:

Каждое число в этой таблице равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа. Треугольник Паскаля симметричен относительно своей биссектрисы. Строки треугольника нумеруются сверху с нулевой строки.

Составим 3-арифметический треугольник Паскаля

Мы видим, что он (по крайней мере в той его части, которая изображена на схеме) составлен из треугольников трех типов, обращенных вершинами вверх:

Треугольники, с одинаковым числом строк можно складывать между собой и умножать на число.

Список использованной литературы

Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике [Текст] / Н.В. Богомолов. – М.: Дрофа, 2009. – 206 с.

Бухштаб, А.А. Теория чисел [Текст] / А.А. Бухштаб. – М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике [Текст] / М.Я. Выгодский. – М.: Дрофа, 2006. – 509 с.

Журбенко, Л.Н. Математика в примерах и задачах [Текст] / Л.Н. Журбенко. – М.: Инфра-М, 2009. – 373 с.

Иванов, О.А. Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей [Текст] / О.А. Иванов. – М.: МЦНМО, 2009. – 384 с.

Карп, А.П. Задания по алгебре и началам анализа для организации итогового повторения и проведения аттестации в 11 классе [Текст] / А.П. Карп. – М.: Просвещение, 2005. – 79 с.

Куланин, Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике [Текст] / Е.Д. Куланин. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 624 с.

Лейбсон, К.Л. Сборник практических заданий по математике [Текст] / К.Л. Лейбсон. – М.: Дрофа, 2010. – 182 с.

Манова, А.Н. Математика. Экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ: уч. пособие [Текст] / А.Н. Манова. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012. – 541 с.

Михелович, Ш.Х. Теория чисел [Текст] / Ш.Х. Михелович. – М.: Высшая школа, 1967. – 336 с.

Сергеев, И.Н. ЕГЭ: 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С [Текст] / И.Н. Сергеев. – М.: Экзамен, 2012. – 301 с.

Соболев, А.Б. Элементарная математика [Текст] / А.Б. Соболев. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. – 81 с.

Источник