вычеты теорема коши о вычетах

Электронная библиотека

Пусть функция w = f(z) – аналитическая в окрестности точки z₀, за исключением самой точки (т.е. z₀ – изолированная особая точка функции w = f(z)).

Вычет обозначается: или res f(z₀) (происходит от слова resudi – остаток):

. (2.84)

Теорема: Вычет относительно устранимой особой точки равен нулю.

Доказательство: Пусть z₀ – устранимая точка, тогда функция

будет аналитическая в окрестности z₀ и по теореме Коши что и требовалось доказать.

. (2.85)

Доказательство: Опишем из каждой особой точки z_К (k = 1, 2,…,n) как из центра, окружности К_к настолько малого радиуса, чтобы они целиком лежали в и не содержали других особых точек функции f(z) (рис. 2.25).

В многосвязной области f(z) будет аналитической. По теореме Коши:

Умножим и разделим правую часть последнего равенства на 2p I получим:

Что и требовалось доказать.

Найдем вычет относительно простого полюса. Пусть f(z) имеет в точке простой полюс, тогда

Как отмечено ранее она аналитическая в окрестности z₀ и по формуле Коши

Вывод: вычет относительно простого полюса находят по формуле:

Найти вычет функции относительно точки z = 0.

Решение. Для функции точка z = 0 – простой полюс. Поэтому

Формула (2.88) получается сразу:

Решение. Согласно формуле (2.88)

так как z = 0 – простой полюс.

Решение. Функция имеет две особые точки z = 0 и z = 2; обе точки попадают в область, ограниченную окружностью |z| = 3.

Точка z = 0 – устранимая, так как

а вторая – простой полюс (сделайте рисунок).

Вычет относительно устраненной точки равен нулю. Вычет относительно точки z = 2 находим по формуле (2.88):

По основной теореме Коши о вычетах (2.85), получим:

Вывод формулы для нахождения вычета относительно кратного полюса аналогичен рассуждениям, проведенным для случая простого полюса, а именно: если f(z) имеет в точке z₀ кратный полюс, то для функции (k – кратность полюса) точка z₀ устранимая. Тогда функция

аналитическая в окрестностях z₀. Значит,

Но на контуре поэтому

Вывод: получена формула для нахождения вычета функции относительно полюса порядка k:

Пример 4

Задачи для упражнений

Вычислить интегралы, используя основную теорему Коши о вычетах:

Источник

Электронная библиотека

Определение. Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых f(z) не является аналитиче­ской, называют особыми точками (в частности, точки, в которых f(z) не определена).

Определение. Точка z₀ называется нулем (корнем) порядка (кратности) аналитической функции f(z),если:

б) существует, конечен и не равен нулю.

Определение. Пусть f(z) аналитическая функция в окрестности точки z₀, за ис­ключением самой точки z₀. В этом случае точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z).

Различают изолированные особые точки одно­значной функции трёх типов:

2) полюс k-го порядка – изолированную особую точку z₀, в которой существует конечный предел, не равный нулю:

3) сущест­венно особую точку – изолированную особую точку z₀, которая не является ни уст­ранимой, ни полюсом. То есть не существует, ни конечный, ни бесконечный.

Теорема (о связи между нулем и полюсом). Если точка z₀ – нуль порядка к функции f(z), то для функции 1/f(z) эта точка является полюсом порядка к.

Пусть f(z) – функция, аналитическая в каждой точке об­ласти D, за исключением конечного числа изолированных осо­бых точек, и L — кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области D и не проходящий через особые точки функции f(z).

Если в области, ограниченной контуром L, не содержится особых точек функции f(z), то по основной теореме Коши

Если же в области, ограниченной контуром L, имеются особые точки функции f(z), то значение этого интеграла, вообще говоря, отлично от нуля.

Вычет f(z) относительно точки z₀ обозначается симво­лом resf(z₀)(Resf(z₀)) или так, что имеем:

Вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю:

Вычет f(z) относительно простого полюса можно найти по формуле:

Вычет f(z) относительно полюса порядка к находят по формуле:

Эта теорема имеет большое значение для приложений.

Од­но из них – это вычисление некоторых интегралов от функции комплексной переменной.

Замечание. В предыдущих рассуждениях о вычетах неявно предпола­галось, что рассматриваются конечные изолированные особые точки (это ясно из того, что интеграл по замкнутому контуру по умолчанию брался в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, а особая точка при этом попадает внутрь конту­ра только в случае, когда она конечна). В случае же, когда рас­сматривается бесконечно удаленная точка, ситуация несколько иная. Точнее, сформулируем это так.

Определение. Вычетом функции f(z) относительно бесконечно уда­ленной точки называют интеграл:

Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах:

Решение

1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):

2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область графически (рис. 2.7).

3) Определим тип рассматриваемой изолированной особой точки z = 0. Найдем предел по формуле (2.41):

Так как предел существует, то z = 0 – полюс первого порядка (простой полюс).

4) Найдем вычет функции относительно простого полюса z = 0, используя формулу (2.44):

5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47):

Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах:

Решение

1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):

2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область (рис. 2.8).

Обе особые точки лежат внутри области интегрирования.

4) Найдем вычеты функции относительно простых полюсов и используя формулу (2.44):

5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47)

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Источник

Вычеты. Основная теорема о вычетах

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

] в лорановском разложении этой функции в точке z0. Отсюда, в частности, вытекает, что вычет в устранимой особой точке равен нулю. Укажем некоторые формулы для вычисления вычета в полюсе функции /(г).

Поэтому по теореме Коши для многосвязной области имеем Из этой формулы, пользуясь определением вычета получаем требуемое равенство (5). 6.1. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Говорят, чтофункция f(z) является аналитической в бесконечно удаленной точке z = оо, если функция аналитична вточке С =0. Это следует понимать так: функцию g(0= f (f) можно доопределить до аналитической, положив Например, функция аналитична в точке z = оо, поскольку функция аналитична в точке С = 0.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть функция /(г) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z = оо). Точка z = оо называется изолированной особой точкой функции /(г), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек функции f(z). Функция имеет в бесконечности неизолированную особенность: полюсы zk = к-к этой функции накапливаются в бесконечности, если к оо. Говорят, что z — оо является устранимой особой тонкой, полюсом или существенно особой точкой функции f(z) в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует lim f(z).

Критерии типа бесконечно удаленной точки, связанные с разложением Лорана, изменяюгся по сравнению с критериями для конечных особых точек. Теорема 22. Если z — оо является устранимой особой точкой функции /(z), то лоранов-ское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит полож и тельных степеней z;eaiu z — оо — полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z, в случае существенной особенности — бесконечное число положительных степеней z.

При этом лорановским разложением функции /(z) в окрестности бесконечно удаленной точки будем называть разложение в ряд Лорана, сходящийся всюду вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z — 0 (кроме, быть может, самой точки z — оо). Пусть функция f(z) — аналитична в некоторой окрестности точки z = оо (кроме, быть может, самой этой точки). Вычетом функции /(z) в бесконечности называют величину пае 7 — достаточно большая окружность \z\ = р, проходимая по часовой стрелке (так, что окрестность точки z — оо остается слева, как и в случае конечной точки г = го).

И з этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при z

Известные тейлоровские разложения функций е1, cosz, sinz, chz, shz можно рассматривать также и как лорановские разложения в окрестности точки z — оо.

Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то перечисленные функции имеюгвточке z = оо существенную особенность. Теорема 23. Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю. Так что, если — конечные особые точки функции f

Пример 4:

Вычислить интеграл Полюсами (конечными) подынтегральной функции являются корни zt уравнения гя = —1, которые все лежат внутри окружности В окрестности точки г = оо функция /(z) имеет следующее разложение: ИЗ КОТОРОГО ВИДНО, ЧТО В силу теоремы 6.2. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов. Интегралы от рациональных функций Теорема 24. Пусть f(x) — рациональная функция, т. е. где — многочлены степеней пит соответственно.

Пример 5:

Пример 6. Вычислить интеграл Применяя подстановку z = е,г. после простых преобразований (см. формулы (II)) получим, что Внутри единичного круга при условии находится только один полюс (второго порядка) Вычет функции Интегралы вида гдеД(х) — правильная рациональная дробь, а > 0 — вещественное число. При вычислении таких интегралов часто бывает полезной следующая лемма. Лемма Жордана. Пусть функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости исключением конечного числа изолированных особых точек, и при \ стремится к нулю равномерно относительно arg z.

где 7л — верхняя полуокружность Условие равномерного стремления /(г) к нулю означает, что на полуокружности 7R Оценим исследуемый интефал. Замечая, что на 7Л В силу известного неравенства (см. рис. 31) справедливого при (для доказательства достаточно заметить, что и, значит, функция ^ убывает на полуинтервале Сопоставляя формулы (13) и (14), заключаем, что 4 Введем вспомогательную функцию Пример 7. Вычислить интеграл Нетрудно видеть, что если г = х, то Jmh(z) совпадает с подынтегральной функцией.

Отсюда откуда Упражнения Найдите действительную и мнимую части функдаи: Найдите образы действительной и мнимой осей при отображении: Докажи те, что функция непрерывна на всей комплексной плоскости: Пользуясь условиями Коши—Римана, выясните, является ли функция аналитической хотя бы в одной точке или нет: Восстановите аналитическую в окрестности точки 20 функцию /(г) по известной действительной части и (или по известной мнимой части v(x, у)) и значению f(z0):

Покажите, что следующие функци и являются гармоническими: Может ли данная функция быть действительной или мнимой частью аналитической функции Найдите действительную и мнимую части функции: Найдите модуль и главное значение аргумента функции в указанной точке zq: Найдите логарифмы следующих чисел: Решите уравнение: 38. Вычислите интеграл /— линия, соединяющая точки z\ = 0 отрето к прямой, б) дуга параболы ломаная 39. Вычислите интеграл — полуокружность Вычислите интегралы: 43.

Вычислите интеграл / где 7 — верхняя половина окру*« ости |z| = 1 (выбирается Вычеты Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов Интегралы от рациональных функций Лемма Жордана Вычисление интегралов Френеля ветвь функци и л/z, для которой 44. Вычислите интеграл / ^ dz, где 7 — отрезок прямой, идущий из точки zj = 1 в точку.

Вычислите интегралы: Найдите радиус сходимости ряда: Рашожите функцию в ряд Тейлора и найдите радиус сходимости полученного ряда: постепеням z + I. 55. cosz постепеням 56.—-— постепеням z + 2. 57.—^— постепеням z. 58. sh2 z постепеням z. Найдите нули функции и определите их порядки: z Определите область сходимости ряда: Разложите в ряд Лорана в окрестности точки г = 0: Разяожитс в ряд Лорана в уюзан ном кольце: Найдите особые точки и определит е их характер:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник