Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.

В этой статье мы разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении. Сначала мы получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого приведем подробные решения нескольких характерных примеров.

Навигация по странице.

Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

В силу операции сложения векторов можно записать равенства и . Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то , откуда . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что , поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство . Подставив в него , имеем . Тогда равенство можно переписать как , откуда в силу свойств операций над векторами получаем .

Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами и в координатах. Так как и , то , следовательно, .

Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве.

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения.

Пришло время применить полученные формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.

.

В данном примере . Так как точка С делит отрезок АВ в данном отношении, то справедливы формулы и , из которых получаем и соответственно. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А :

.

Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.

Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:

.

Источник

Как осуществить деление отрезка?

Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости.

Деление отрезка в заданном соотношении: координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, a-b точка

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости

Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С, делящая отрезок АВ в отношении λ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С лежит на отрезке АВ (т.е. между точками А и В). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков АС и СВ равно λ. Т.е. верно равенство:

Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1, то точка С является серединой отрезка АВ.

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, в пространстве

Точка С делит отрезок АВ в отношении λ. Необходимо определить координаты точки С.

Известно, что центром тяжести любого треугольника является точка пересечения его медиан (пусть это будет точка М). Каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины. Исходя из этого, найдем ответ на поставленный вопрос.

Найдем координаты точки D. Так как AD – медиана, то точка D – середина отрезка ВС. Тогда, используя формулу нахождения координат середины отрезка, получим:

Теорема Фалеса и деление отрезка в заданном отношении

Давно о геометрии не говорили, а о теореме ФАлеса (или ФалЕса?) вообще мало говорят. Хотя она весьма полезна. Начнем с формулировки, которая весьма не вразумительна, чем и объясняется не популярность данной теоремы.

Мутно, долго, не понятно. Мне больше нравится другая формулировка. Тоже не понятно, но элегантно и коротко. Задачи, которые решаются с помощью данной теоремы, довольно специфичны. Но есть одна задача на построение, которую можно встретить в реальной жизни. Это задача о делении отрезка в заданном отношении.

Суть вопроса: Дан отрезок. Его нужно поделить на два куска, чтобы их длины относились, как 2 : 5. Кусков может быть сколько угодно и отношение, может быть каким угодно. Алгебраически задача решается крайне легко: находим общее количество частей (2 + 5 = 7), делим длину отрезка на общее количество частей, находим длину каждого куска.

Но алгебраическое решение не всегда прокатывает. Например, мы не можем найти длину отрезка, или при делении получаются не целые числа. Тогда можно воспользоваться геометрическим способом. Во-первых, проводим луч из конца отрезка. Любой, в любую сторону.

Дальше, на этом луче от точки А откладываем 7 (общее количество частей) равных отрезков. Последнюю получившуюся точку — J соединяем с точкой В, а затем через каждую точку луча проводим прямую параллельную JB.

Таким образом, мы разделили отрезок АВ на 7 равных частей (по теореме Фалеса). Отсчитываем две части и ставим точку. Получаем: AK : KB = 2 : 5.

Вот таким простым образом, вы можете поделить свою комнату с соседом в любом отношении. Если вам кажется, что построение такого количества параллельных прямых дело сложное, то подумайте о перпендикулярах.

Источник

Урок 3

расстояние между двумя точками.

деление отрезка в данном отношении.

Расстояние между двумя точками.

так как Полученный треугольник Прямоугольный, то По теореме Пифагора

Пример 1. найти расстояние между точками а(-2;3) и в(5;4).

решение. исПользуя данную формулу, Получим:&amP;NbSP;

уПражнение. даны точки а(0;0), в(3;-4), с(-3;4). найдите расстояние между точками: а) аи в; б) в и с; в) а и с. (ответ: а) 5, б) 10, в) 5)

доказательство. Площадь треугольника авс, изображенного на рисунке, можно найти так:

выражая Площадь каждой траПеции через координаты точек а, в и с, находим:

S adec =1/2 (ad+ce)*de = 1/2( x 3 – x 1 )( y 3 + y 1 )

S bceF =1/2 (ec+bF)*eF = 1/2 ( x 2 – x 3 )( y 2 + y 3 )

S abFd =1/2 (ad+bF)*dF = 1/2 ( x 2 – x 1 )( y 2 + y 1 )

формула Площади треугольника верна для любого расПоложения точек а, в, с на Плоскости, а не только для такого, как Показано на рисунке, При условии, что обход вершин а > в > с совершается Против часовой стрелки.

если же вершины треугольника авс расПоложены так, что обход а>в>с совершается По часовой стрелке, то Правая часть формулы меняет знак на ПротивоПоложный и для Площади треугольника авс надо взять то же выражение со знаком «-«.

Пример 2. даны точки а(1;1), в(6;4), с(8;2). найти Площадь треугольника авс.

решение. Подставляя координаты точек в формулу для Площади треугольника, Получим:

S abc =1/2 |(6 – 1)(2 –1) – (8 – 1)(4 – 1)| = 1/2 l-16l =8

уПражнение. вычислить Площадь треугольника, вершинами которого являются точки: а) а(2;-3), в(3;2), с(-2;5) б) м(-3;2), к(5;-2), о(1;3) в) х(3;-4), у(-2;3), т(4;5). (ответ: а) 14, б) 12, в) 25).

Деление отрезка в данном отношении.

задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы По данному отношению Л и данным координатам точек м 1, м 2 найти координаты точки м.

эту задачу Позволяет решить следующая теорема.

Пример 3. даны точки а(-2;3) и в(4;6). отрезок, ограниченный этими точками, разделен в отношении Л =2. найдите координаты точки м(х;у).

решение. Подставим координаты точек и Л =2 в формулы, Получим: х= (-2+2*4) / (1+2)=2; у= (3+2*6) / (1+2)=5. следовательно, координаты точки деления м(2;5).

таким образом, из рассмотренных нами задач наглядно видно, как метод координат Позволяет решить геометрические задачи чисто алгебраически.

на оси ох найдите точку, расстояние которой от точки а(3;4) равно 5. (ответ: (6;0) и (0;0))

точка м является серединой отрезка оа, соединяющего начало координат о с точкой а(-5;2). найдите координаты точки м. (ответ: (-2,5;1))

точка м(2;3) делит отрезок ав в отношении 1:2. найдите координаты точки в, если известно, что точка а имеет координаты (1;2). (ответ: в(4;5))

найдите координаты центра тяжести однородной Пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами а(-2;1), в(2;-1), с(4;3).(ответ: х=4 / 3, у=1, указание: центр тяжести треугольника находится в точке Пересечения его медиан, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины)

три вершины Параллелограмма- точки а(3;7), в(2;-3) и с(-1;4). найдите длину высоты, оПущенной из вершины в на сторону ас. (ответ: 7 или 4)

отрезок, ограниченный точками а(1;-3) и в(4;3), разделен на три равные части. оПределите координаты точек деления. (ответ: (2;-1) и (3;1))

оПределите координаты концов отрезка а и в, который точками к(2;2) и м(1;5) разделен на три равные части. (ответ: а(3;-1) и в(0;8))

найдите Площадь Пятиугольника с вершинами о(0;0), а(3;-2), в(5;-1), с(8;4) и е(4;5). (ответ: 29,5)

Источник

Деление отрезка в данном отношении в пространстве

Данные уравнения получаются следующим образом

Требуется найти координаты точки A₀(x₀, y₀,z₀), делящей отрезок в отношении λ, т.е.

Отсюда получаем исходные уравнения, т.е.

Деление отрезка в данном отношении на плоскости см. здесь

Рассмотрим ещё один из способов деления отрезка в данном отношении в пространстве.

где r₁ и r₂ — радиус-вектор точек А₁ и А₂

Координаты точки A₀ находятся по формулам

Координаты середины отрезка в пространстве

В частности координаты середины отрезка А₁А₂ в пространстве определяются уравнениями:

Источник

3. Деление отрезка в заданном отношении.

Понятие деления отрезка в данном отношении

рассмотрим пару точек А,В и, – отрезок АВ :

Рассматриваемая задача справедлива, как для отрезков плоскости, так и для отрезков пространства. То есть, демонстрационный отрезок можно как угодно разместить на плоскости или в пространстве.

Разумеется, отрезок легко разделить в каком-нибудь другом отношении, и в качестве закрепления понятия второй пример: Здесь справедливо соотношение: . Если составить пропорцию наоборот, тогда получаем: .

Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости

Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок АВ в отношении , выражаются формулами:

Формулы координат середины отрезка

Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:

В общих формулах не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь.

Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка, то координаты его середины М выражаются формулами:

Источник